6. Классическое и неклассическое решения

Пусть линейный оператор A задан точно. Тогда прямая задача корректна, если оператор A сюръективен и непрерывен. Для корректности обратной задачи даже в случае биективности и непрерывности оператора A, то есть существования обратного оператора A^-1, требуется непрерывность оператора A^-1, а во многих важных случаях (например, для вполне непрерывных операторов в бесконечномерных пространствах) это не так. Если это не выполняется, задача называется некорректной (поставленной некорректно). Для таких задач понятие "приближенное решение" в классическом смысле теряет смысл, потому что "приближенное решение" подразумевает существование, единственность и устойчивость точного решения, то есть математическую и физическую определённость задачи. Даже если точное решение существует и единственно, то в случае физической неопределённости задачи отсутствует сходимость каким либо образом полученной последовательности приближенных решений к точному решению. Причём эти последовательности могут вообще не сходиться, то есть может случиться так, что с увеличением точности измерений y увеличивается разброс значений результата x (для обратных задач) или, наоборот, результата y (для прямых), то есть одно "приближённое решение" может очень сильно отличаться от другого при незначительном изменении исходных данных. Эта ситуация неисправима принципиально, поэтому применять для решения таких задач численные методы без понимания характера задачи не имеет смысла. Ошибки данных наблюдений будут складываться с возникающими погрешностями вычислений и сильно возрастать в ходе этих вычислений, что приведёт к принципиальному искажению результатов. Так возникает проблема изучения свойств математических уравнений, описывающих физическую задачу, с точки зрения их корректности в приложениях.

(Комментарий. Иногда для этого удобно разделять некорректные задачи I типа, связанные с существованием и единственностью решения, то есть с математической определённостью задачи, и некорректные задачи II типа, связанные с неустойчивостью решения, то есть с её физической неопределённостью. Это вызвано, с одной стороны, тем, что во многих случаях измерений или наблюдений несуществование или неединственность решений не недостаток, а имманентная особенность модели, которую нужно учитывать. С другой стороны, в отношении многих задач физического происхождения обычно мы уверены в существовании решения. Единственность также часто может быть гарантирована, например, для обратной задачи теории потенциала, обратной задачи спектроскопии и инструментальной оптики и ряда других задач. Проблемы, связанные с физической неопределённостью, бывает удобно рассматривать отдельно. Если задача некорректна, то есть математически или физически не определена, что же понимать под "решением" такой задачи и как найти его? Всегда ли можно получить приближённое решение некорректной задачи?)