3. Корректность компактных операторов

Определение. Линейный оператор A, отображающий банахово пространство E в себя (или другое банахово пространство), называется компактным (вполне непрерывным), если каждое ограниченное множество он переводит в предкомпактное.

(Комментарий. Напомним, что множество M метрического пространства X компактно, если из любого бесконечного его подмножества можно выделить последовательность, сходящуюся к элементу из M, и предкомпактно, если замыкание M^_ компактно. Если линейный оператор A компактен, то он переводит любую ограниченную последовательность {x_n} в компактную последовательность {Ax_n}, то есть из любой подпоследовательности последовательности {Ax_n} можно выделить сходящуюся подпоследовательность. Компактность и предкомпактность - это прежде всего свойства пространств. Суть компактности - в исчерпываемости некого бесконечномерного пространства конечномерным приближением с любой наперед заданной точностью. Компактный оператор наследует свойства конечномерного оператора в том смысле, что всегда может быть приближен им.)

Теорема1. Компактный оператор всегда ограничен.

□ Пусть компактный оператор A не ограничен. Тогда найдется последовательность {x_n}, такая, что ||Ax_n||≥n|. Но тогда из неё нельзя выделить сходящуюся подпоследовательность, что противоречит тому, что A - вполне непрерывный оператор. □

(Комментарий. Не любой непрерывный линейный оператор вполне непрерывен. Рассмотрим, например, единичный оператор I:L₂[a,b]→L₂[a,b]:Ix=x ∀ x∈L₂[a,b]. Он, очевидно, ограничен, но не компактен. Покажем это.

Можно показать, что единичный оператор I в любом бесконечномерном банаховом пространстве не компактен. Это следует из теоремы Рисса о некомпактности единичного шара в бесконечномерном - пространстве.)

Теорема2. Если A - компактный оператор, B - ограниченный в банаховом пространстве X, то операторы AB и BA - компактны.

□ Если множество M⊂X ограничено, то множество BM тоже ограничено. Следовательно, множество ABM предкомпактно, а это и означает, что оператор AB компактен. Далее, если M⊂X ограничено, то AM предкомпактно, а тогда в силу непрерывности B множество BAM тоже предкомпактно, то есть оператор BA компактен. □

В качестве основного примера линейного оператора рассмотрим оператор Фредгольма в пространстве L₂[a,b], сопоставляющий функции u(x) новую функцию Au=f(x), определенную с помощью формулы где K(x,ξ) - некоторая непрерывная функция двух переменных. Оператор A называется интегральным, его линейность очевидна из линейности интеграла. Если ядро K(x,ξ) непрерывно по совокупности аргументов, то в соответствии с теоремой о непрерывной зависимости от параметра собственного интеграла, оператор A действует в линейном функциональном пространстве.

Теорема 3. Оператор Фредгольма непрерывен в пространствах C[a,b] и L₂[a,b].

□ 1. Покажем, что оператор Фредгольма непрерывен в пространстве C[a,b]. Таким образом, Но - непрерывная и, следовательно, ограниченная на сегменте [0,1] функция, то есть и □

2. Покажем, что оператор Фредгольма ограничен и, следовательно, непрерывен в пространстве L₂[a,b]. По неравенству Коши Буняковского для каждого фиксированного x∈[0,1], полагая, что можно записать Интегрируем по x: Правая часть неравенства не зависит от u и ограниченна, поэтому □

Теорема 4. Пусть функция K(x,ξ) непрерывна на квадрате x,ξ∈[a,b]. Тогда интегральный оператор Фредгольма компактен в пространствах C[a,b] и L₂[a,b].

□ Докажем сначала компактность интегрального оператора Фредгольма в пространстве C[a,b]. Рассмотрим последовательность u_n∈L₂[a,b].:||u_n||≤M и последовательность .

1. Покажем равностепенную непрерывность последовательности Au_n=y_n(x). На квадрате x,ξ∈[a,b] функция K(x,ξ) равномерно непрерывна по теореме Кантора, так как она непрерывна на замкнутом и ограниченном множестве в R². Значит, Оценим разность: |Δy_n|=|y_n(x')-y_n(x")| при ρ((x',ξ),(x",ξ))<δ: То есть последовательность y_n(x) равностепенно непрерывна.

2. Покажем равномерную ограниченность последовательности Au_n=y_n(x). Пусть Тогда а это и есть равномерная ограниченность. Итак, множество функций y(x)∈C[a,b] равномерно ограничено и равностепенно непрерывно, то есть в соответствии с критерием Арцела оператор A является вполне непрерывным в пространстве C[a,b]. Но, так как из равномерной сходимости следует сходимость в среднем, оператор A является вполне непрерывным и при действии из L₂[a,b] в L₂[a,b]. □

Теорема5. Интегральный оператор Фредгольма не имеет ограниченного обратного. □

Рассмотрим единичный шар B^_(0,1) в гильбертовом пространстве. Шар B^_(0,1) - замкнутое и ограниченное множество, но не компакт. Подействуем на него оператором A. Если A - компактный оператор, то AB^_(0,1) - компакт. Если A^-1 ограничен, то шар A^-1AB^_(0,1)=B^_(0,1) - компакт или предкомпакт, что противоречит некомпактности единичного шара. □

(Комментарий. Итак, задача может оказаться корректной в одной паре пространств и некорректной в другой. Но некорректность интегрального уравнения Фредгольма первого рода не зависит от выбора пространств и устанавливается от противного: если задача корректна, то существует непрерывный оператор A^-1, и, следовательно, тождественный оператор I=A^-1A компактен в соответствующем бесконечномерном пространстве, что невозможно.)

Теорема 6. Вполне непрерывный оператор A:U→F имеет замкнутое множество значений R(A) тогда и только тогда, когда R(A) конечномерно.

□ Пусть A - вполне непрерывный оператор, R(A) замкнуто и бесконечномерно. Тогда в силу теоремы 4 из пункта 2 существует ограниченный обратный оператор A^-1, определенный на всем R(A), и поэтому произведение A^-1A=I будет также вполне непрерывным оператором. Это противоречит теореме Рисса о некомпактности единичного шара в бесконечномерном пространстве. Обратное утверждение очевидно. □

Пример. Покажем, что оператор дифференцирования не компактен при действии C¹[0,1]→C[0,1] и компактен при действии C²[0,1]→C[0,1].

□ 1. Рассмотрим в пространстве C¹[a,b] последовательность Эта последовательность ограничена в C¹[0,1], так как ∀n∈N Однако последовательность образов ее элементов {Ay_n}=πsin2ⁿπx некомпактна в пространстве C¹[0,1]. Чтобы это показать, рассмотрим ||y_n(x)-y_m(x)||≥|y_n(x₀)-y_m(x₀)| ∀x₀ ∈[0,1]. Выберем . Тогда при ,=n+1+k видно, что |y_n(x₀)-y_m(x₀)|=π, то есть ни сама последовательность, ни любая её подпоследовательность даже не фундаментальны. Поэтому оператор дифференцирования не является компактным при действии C¹[0,1]→→C[0,1].

2. Рассмотрим случай C²[0,1]→→C[0,1]. Пусть {y_n(x)} - произвольная ограниченная последовательность в пространстве C²[0,1], то есть Ясно, что и Последовательность состоит из равномерно ограниченных непрерывных функций. Более того, последовательность {z_n} равностепенно непрерывна. Действительно, так как то ∀ε>0 найдётся такое δ=δ(ε)>0, что Поэтому ∀x₁x₂∈[0,1]:|x₁-x₂|≤δ ⇒|y_n"|*|x₁-x₂|≤Mδ≤ε. Это и означает, что последовательность не только равномерно ограниченна, но и равностепенно непрерывна, то есть компактна по критерию Арцела.

(Комментарий. Таким образом, на паре пространств C²[a,b]→C[a,b] прямая задача дифференцирования корректна, обратная не корректна, так как оператор Dx(t) становится компактным и поэтому не имеет ограниченного обратного.)