1. Корректность по Адамару

Определение. Пусть X и Y - линейные пространства. Линейный оператор A:X→Y называется обратимым, если уравнение Ax=y имеет единственное решение. Совокупность всех векторов y∈Y, для каждого из которых существует вектор x∈X, такой, что Ax=y, называется образом оператора A (множеством значений оператора A) и обозначается ImA или R(A).

Если оператор A обратим, то каждому вектору y∈ImA сопоставляется единственный вектор x∈X, являющийся решением уравнения Ax=y. Оператор, осуществляющий это соответствие, называется обратным к A и обозначается A^-1.

Если существует обратный оператор A^-1, то решение задачи записывается в явном виде: x=A^-1y. То есть необходимо найти элемент x∈X, если задан элемент y∈Y. Ясно, что важное значение приобретает выявление условий, при которых обратный оператор существует.

(Комментарий. Множество значений оператора есть линейное многообразие в Y. В самом деле, пусть y₁∈ImA и y₂∈ImA.Тогда найдутся векторы x₁,x₂∈X,такие, что Ax₁=y₁ и Ax₂=y₂. Поэтому для любых чисел α₁,α₂ верно, что A(α₁x₁+α₂x₂)=α₁Ax₁+α₂Ax₂=α₁y₁+α₂y₂, то есть вектор (α₁y₁+α₂y₂)∈ImA. Ясно, что D(A^-1)=R(A), R(A^-1)=D(A).)

Теорема 1. Пусть оператор A:X→Y линеен и существует A^-1. Тогда A^-1 тоже линеен.

□ Для произвольных y₁,y₂∈Y, α₁,α₂ ∈R обозначим x=A^-1(α₁y₁+α₂y₂)-α₁A^-1y₁-α₂A^-1y₂. Тогда Ax=A(A^-1(α₁y₁+α₂y₂)-α₁A^-1y₁-α₂A^-1y₂)=α₁y₁+α₂y₂-α₁y₁-α₂y₂=0. Теперь A^-1Ax=x=0⇒(A^-1(α₁y₁+α₂y₂)=α₁A^-1y₁+α₂A^-1y₂. □

Определение. Ядром оператора A называется множество kerA=N(A)={x∈D(A):Ax=0}. Очевидно, что N(A) не пусто, так как 0∈N(A).

Определение. Оператор A называется вырожденным, если N(A)≠{0}.

Теорема 2. Пусть оператор A линейный. Обратный оператор A^-1 существует тогда и только тогда, когда оператор A невырожденный.

□ Достаточность. Пусть оператор A невырожденный, т.е. Ax=0 ⇔ x=0(нуль-пространство, ядро оператора A тривиально). Тогда для любых двух элементов x₁ ≠ x₂ имеем A(x₁-x₂)≠0⇒Ax₁≠Ax₂, то есть оператор A взаимно однозначный, а значит, существует обратный оператор A^-1.

Необходимость. Пусть оператор A имеет обратный оператор A^-1. Заметим, что A^-1 - линейный оператор (теорема 1) и докажем что A - невырожденный. Пусть это не так, то есть существует x≠0 такой, что Ax=0. Тогда 0≠x=A^-1Ax=A^-1(Ax)=A^-10=0. Полученное противоречие показывает, что Ax=0⇔x=0, то есть оператор A - невырожденный. □

Следствие. Оператор A обратим, если и только если N(A)={0}.Это значит, что ядро оператора А состоит только из элемента 0.

Hас интересует не только разрешимость уравнения Ax=y, но и непрерывная зависимость решения от правой части уравнения, то есть корректность уравнения.

Теорема 3.Критерий непрерывности обратного оператора. Пусть X и Y - линейные нормированные пространства. Оператор A^-1 существует и непрерывен на R(A), если и только если ∃m>0:∀x∈D(A) и выполняется неравенство ||Ax||≥m||x||.

□ Необходимость. Пусть обратный оператор A^-1 существует и ограничен на R(A). Тогда существует такая постоянная M, что ||A^-1y||≤M||y||. Обозначая y=Ax и сразу получаем ||Ax||≥m||x||.

Достаточность. Из того, что ||Ax||≥m||x|| следует, что уравнение Ax=0 имеет единственное решение x=0. В самом деле, пусть Ax=0. Тогда 0≥m||x||, то есть ||x||≤0, то есть x=0. Тогда из теоремы 2 следует существование обратного оператора A^-1. Полагая в этом неравенстве x=A^-1y, сразу получим ||A^-1y||≤M||y||. □

Определение 3. Пусть X и Y - линейные нормированные пространства Оператор А называется непрерывно обратимым, если ||Ax||≥m||x||, причём A^-1⊂L(X,Y), R(A)=Y.

Определение 4. Если X и Y - метрические пространства и x∈X, y∈Y, то об операторной устойчивости уравнения Ax=y говорят, если ∀ ε >0∃ δ=δ(ε)>0:ρ_X(y₁,y₂)<δ⇒ρ_Y(y₁,y₂)<ε. Для линейных нормированных пространств уравнение Ax=y устойчиво, если ∀ ε >0∃ δ=δ(ε)>0:||x₁-x₂||_X<δ⇒||y₁-y₂||_Y<ε.

Определение 5. Задача решения уравнения Ax=y корректно разрешима по Адамару, если:

2. Решение x'=A^-1y' того же уравнения с возмущённой правой частью y' таково, что ||x-x'||≤||A^-1||||y-y'||. Это означает, что малое изменение правой части y влечет малое изменение решения.

(Комментарий. Если линейный оператор А непрерывно обратим, то задача решения уравнения Ax=y корректно разрешима по Адамару.)

В случае существования непрерывного оператора A∈L(X,Y) имеет место следующая теорема:

Теорема 4. (теорема Банаха о гомеоморфизме.) Пусть где A - биективный непрерывный линейный оператор, X,Y - банаховы пространства и R(A)=Y, тогда существует линейный непрерывный обратный оператор A^-1.

(Комментарий. Два топологических пространства называются гомеоморфными, если существует взаимно однозначное непрерывное отображение любого из них на другое, для которого обратное отображение тоже непрерывно, при этом само отображение называется гомеоморфизмом.)

□ Из биективности отображения следует однозначная разрешимость уравнения Ax=y для любой правой части, то есть существование обратного оператора A^-1. Его линейность следует из теоремы 1. Непрерывность же обратного оператора следует из принципа открытых отображений Банаха: оператор A, как непрерывный оператор, любое открытое множество переводит в открытое. Тогда для оператора A^-1 его прообраз R(A)=Y открыт. Тогда, в соответствии с критерием непрерывности, оператор A^-1 непрерывен. □

Таким образом, если A - биективный непрерывный линейный оператор, такой, что где X,Y - банаховы пространства, и R(A)=Y, то задача решения уравнения Ax=y корректно разрешима по Адамару.