4. Принцип регуляризации

Определение. Семейство операторов R_αf_δ=u_δα называется регуляризирующим для уравнения Au=f, если каждый из них во первых, линеен и непрерывен, а во-вторых, ∃α∈(0,α₀), не очень большое, в пределах которого задача должна быть корректна по Адамару, и, наконец, должно выполняться условие непрерывной зависимости от параметров.

Пусть для уравнения Au=f удалось построить регуляризирующее семейство операторов R_α. Сделаем оценку эффективности регуляризирующего алгоритма. Для этого оценим разность: ||u_δ-u||=||R_αf_δ-u||=||R_αf_δ-R_αf+R_αf-u||≤||R_α(f_δ-f)||+||R_αf-u||=||R_α||δ+γ(u,α). Коэффициент невязки γ(u,α)|_α→0→0, иначе задача построения регуляризирующего семейства операторов R_α не решена. Уравнение Au=f некорректно, поэтому sup||R_α||_α→0→∞. При α=0 оператор R_α должен совпасть с оператором, обратным к оператору A, но оператор A компактен и не имеет конечного обратного. Покажем, что ||u_δ-u|||_δ→0→0. Так как ||u_δ-u||=||R_α||δ+γ(u,α), а γ(u,α)|_α→0→0, то по определению предела . Обозначим inf||R_α||=β. Тогда при сразу получаем, что ||u_δ-u||≤ε для любого сколь угодно малого ε>0. Таким образом, если построено регуляризирующее семейство операторов R_α, то есть принципиальная возможность построения приближённого решения u_δα по приближённым данным с гарантированной точностью. Для этого необходимо найти в явном виде R_α и γ(u,α)|. Значение R_α чаще всего находится легко. А коэффициент невязки γ(u,α), вообще говоря, определить невозможно, если не предположить корректность по Тихонову (но мы решаем существенно некорректную задачу, а в ней речь вообще не идет о корректности по Тихонову).