НОВОСТИ    БИБЛИОТЕКА    ЭНЦИКЛОПЕДИЯ    БИОГРАФИИ    КАРТА САЙТА    ССЫЛКИ    О ПРОЕКТЕ  

предыдущая главасодержаниеследующая глава

6. Регуляризация интегрального уравнения Фредгольма I рода

Рассмотрим интегральное уравнение Фредгольма первого рода Ранее доказано, что оператор является вполне непрерывным при действии L2[a,b]→L2[c,d] и при действии C[a,b]→L2[c,d], а также то, что оператор, обратный к вполне непрерывному оператору, не может быть непрерывным. Поэтому задача решения интегрального уравнения Фредгольма первого рода некорректна. Это значит, что даже при очень малых ошибках в задании f(x) решение может либо отсутствовать, либо очень сильно отличаться от искомого точного решения. Некорректная задача называется регуляризируемой, если существует хоть один регуляризирующий алгоритм её решения. Все математические задачи, сводящиеся к решению операторного уравнения Au=f, могут быть классифицированы следующим образом:

  • корректно поставленные;
  • некорректные и регуляризируемые;
  • некорректные и нерегуляризируемые.

Понятно, что корректно поставленные задачи регуляризируемы, поскольку в качестве регуляризирующего алгоритма можно выбрать обратный оператор.

Рассмотрим регуляризирующий алгоритм решения интегрального уравнения первого рода предложенный А.Н.Тихоновым.

Полагаем, что его ядро K(x,ξ) непрерывно и таково, что в однородном случае уравнение имеет только тривиальное решение u(ξ)=0. Тогда при любой правой f(x)∈F решение либо единственно, либо не существует. Это значит, что интегральный оператор A взаимно-однозначно отображает пространства U→F. Пространство U обычно полагается пространством Соболева Wn2[a,b] с нормой Это гильбертово пространство, как и пространство F. Сходимость в пространстве Wn2[a,b] означает, что сама функция и все её производные, кроме n-й, сходятся равномерно, а n-я - среднеквадратично. То есть при n=0 регуляризация слабая, при n=1 сильная, а если n>1, то регуляризация гладкая порядка (n-1). При больших n решение сильно сглажено. Обычно полагают n=1. В вариационной форме задачу можно представить как и построить сглаживающий функционал где функционал Ωn(u) называется стабилизатором n-го порядка. Его обычно строят так: где pk(ξ) - непрерывные и неотрицательные весовые функции, которые равны единице, если нет причин полагать иначе. Положим для простоты, что ∀ pk(ξ)=1, n=1. Тогда Далее будем полагать, что u ∈C1[a,b]. Ясно, что из сходимости в C1[a,b] не следует сходимость в W2n[a,b], но можно показать, что теорема Тихонова о регуляризации имеет место и в общем случае.

Лемма о компактности. Семейство непрерывно дифференцируемых на сегменте [a,b] функций, таких что ||u||2+||u'||2≤C2, C>0, компактно.

□ Рассмотрим семейство непрерывно дифференцируемых на [a,b] таких функций, что ||u||2+||u'||2≤C2, C>0. Ясно, что ||u||≤C, ||u'||≤C.

Покажем равностепенную непрерывность. Рассмотрим ∀ξ12∈[a,b] а это и означает равностепенную непрерывность. Покажем равномерную ограниченность. Так как то, применяя теорему о среднем, получим , откуда сразу Возьмём произвольную точку ξ∈[a,b]. Тогда u(ξ) можно представить так: Поскольку C0 - константа, наше множество функций равномерно ограничено. Тогда по критерию Арцела это множество функций компактно в пространстве C[a,b].

Запишем с учётом наших упрощений запишем сглаживающий функционал M(α,f,u) Тихонова в таком виде: M(α,f,u)=||Au-fδ||2+α(||u||2+||u'||2), где fδ - непрерывная на [c,d] функция, такая, что ||f-fδ||≤δ, δ∈(0,δ0], δ0>0, а Au=f. Здесь u - точное решение уравнения Фредгольма первого рода с непрерывным по совокупности аргументов и замкнутым ядром K(x,ξ), x∈[c,d], ξ∈[a,b] при точно известной правой части f, где f - непрерывно дифференцируемая на [a,b] функция. Обозначим функцию, на которой достигается минимум функционала Тихонова M=M(α,f,u), через uα(δ)=argminM(α,f,u). Тогда M(α,f,uα(δ)=Mδ. Ясно, что Mδ≤M. Напомним, что оператор A действует из C[a,b] в L2[a,b] при условии, что точное решение u∈C1[a,b].

Теорема Тихонова о регуляризации. Пусть параметр регуляризации α такой, что и, кроме того, Тогда где u - точное решение, а uα(δ) - регуляризированное решение.

Пусть регуляризированное решение uα(δ)|δ →0 не стремится к точному решению u(ξ). Тогда ∃ε>0 и такие, что ||uα(δ)-u||≥ε>0. Так как Mδ≤M=||Au-fδ||2+α(||u||2+||u'||2)≤δ2+α(||u||2+||u'||2), то ||Auα(δ)-fδ||2+α(||uα(δ)||2+||u'α(δ)||2)≤δ2+α(||u||2+||u'||2). Оба члена в левой части неотрицательны. Поэтому , и если α=α(δ), то Тогда ||uα(δ)||2+||u'α(δ)||2≤C0=const. Тогда из доказанной леммы следует, что последовательность компактна в пространстве C[a,b], то есть из неё можно выделить подпоследовательность, которая будет равномерно сходиться к некоторой непрерывной на [a,b] функции u0. Не ограничивая общности, будем полагать, что Тогда

||Auα(δk)-f||2=||Auα(δk)-fδk+fδk-f||2≤||Auα(δk)-fδk||2k2

Но из неравенства ||Auα(δk)-fδ||+α(||uα(δ)||2+||u'α(δ)||2)≤δ2+α(||u||2+||u'||2) следует, что ||Auα(δk)-fδ||2≤δ2k+α(||u||2+||u'||2). Тогда при переходе к пределу при k→∞ сразу получим, что ||Au0-f||2=||Au0-Au||2=0, то есть Au0-Au=0, а это значит, что u0=u. Другими словами, ||uα(δk)-u|||k→∞→0, что противоречит исходному предположению. □

Пример. Рассмотрим интегральное уравнение Его точное решение имеет вид: u(x)=cosx.

Будем искать численное решение уравнения которое при уменьшении параметра α стремится к решению исходного уравнения.

α=10-15


α=10-14


α=10-4


α=1


Существуют и другие методы регуляризации.

Пример. Рассмотрим задачу теплопроводности с обратным временем:

Решение этой задачи: Рассмотрим семейство линейных операторов При n→∞ регуляризированное решение будет сходиться к точному, если f(x) и u(x,t) рассматривать в пространстве L2. В самом деле, операторы определения коэффициентов Фурье fk и суммирования непрерывны, отсюда и непрерывность операторов Rn, а сходимость последовательности Rnf следует из сходимости ряда Фурье в L2.

Другой способ регуляризации - замена исходного некорректного уравнения пусть неустойчивым, но корректным уравнением путём добавления слагаемых, содержащих частные производные, в исходное уравнение, то есть изменения самого уравнения.

Пример. □ Для уравнения теплопроводности с обратным временем рассматривается уравнение ut=-uxx-αux4 с начальными данными u(x,0)=f(x), f(0)=f(π)=0, u(0,t)=0, t∈[0,T]. Дополнительно потребуем, чтобы uxx(0,t)=uxx(π,t)=0. В результате получим решение прямой задачи: Видно, что при α→0 мы получаем решение исходного некорректного уравнения, то есть полученное решение регуляризирует исходную задачу. Так как то норма решения прямой задачи

Nunk dimittis, примерно с этого места и начинается то, что называется теорией обратных некорректных задач и практикой их вычислительного применения. Однако это требует значительно более глубокого знания и функционального анализа, и теории интегральных уравнений, и вариационного исчисления.

предыдущая главасодержаниеследующая глава











© MATHEMLIB.RU, 2001-2021
При копировании материалов проекта обязательно ставить ссылку на страницу источник:
http://mathemlib.ru/ 'Математическая библиотека'
Рейтинг@Mail.ru