1. Выбор пространств

Мы рассматриваем операторное уравнение общего вида Ax=y, где A - линейный оператор, действующий из, вообще говоря, топологического пространства X в топологическое пространство Y. В реальной задаче выбор передающего и принимающего пространств достаточно серьезная проблема. С одной стороны, ими определяются свойства оператора A, а с другой стороны, выбор пары пространств не произволен, а определяется как физической моделью, так и возможностями измерений в конкретных экспериментах.

(Комментарий. В произвольных банаховых пространствах задача может быть корректной или нет в зависимости от выбора топологий. Обычно используют топологии нормированных пространств L₂, C, Cⁿ, Wⁿ_p.

Пример 2. Пусть A - непрерывный линейный оператор и существует A^-1, то есть решение единственно. Определим в пространстве Y норму элемента y как ||y||=||A^-1y||. Тогда следовательно, оператор A^-1 непрерывен и задача корректна.)

Казалось бы, достаточно подобрать соответствующую пару топологических пространств X и Y так, что топология пространства Y будет сильнее, чем топология пространства X, и обратная задача Ax=y для этой пары пространств будет корректной. Действительно, в задаче Коши для уравнения Лапласа, в задаче Коши для уравнения теплопроводности с обратным временем, а также во многих других задачах подобного типа подобрать пары пространств, в которых задачи станут корректными, сравнительно нетрудно.

Однако такой подход к некорректным задачам оставляет в стороне очень важный с точки зрения приложений аспект. Дело в том, что если уравнение Ax=y рассматривается в связи с математическим моделированием реального физического явления, то правую часть уравнения часто получают на основании показаний физических приборов. Поскольку приборы обладают погрешностями, мы не можем в таких случаях считать правую часть этого уравнения заданной абсолютно точно. Мы можем считать лишь, что нам задан элемент y_δ, удовлетворяющий неравенству ||y-y_δ||≤ δ, где число определяется точностью приборов. При этом норма пространства, в котором нам известна оценка погрешности правой части, не может задаваться произвольно, она диктуется постановкой системы измерений. Как правило, это или норма в пространстве C, то есть нам известна оценка максимальной погрешности измерений, или норма в пространстве L₂, то есть известна оценка средней квадратичной погрешности.

Возможна, хотя и представляет дополнительные технические трудности, постановка системы измерений, когда погрешность мала вместе со своей производной, то есть норма задаётся в пространстве C¹ или W¹₂. Уже здесь оценить погрешность δ, если f(y)∈C¹[a,b], практически невозможно, так как в этом случае и требует измерения величины производной. Постановка же измерений, когда погрешность мала вместе со второй производной (пространства C², W²₂), уже мало реальна.

Обычно работают в пространстве Чебышёва C[a,b], где погрешность измерения правой части или в пространстве Лебега L₂[a,b], где погрешность измерения правой части Поэтому, например, интегральное уравнение Вольтерра I рода, некорректное на паре пространств (C,C¹) всё равно нельзя решать на паре пространств (C,C), где задача его решения корректна. Кроме того, есть уравнения, задача решения которых некорректна в любой разумной паре пространств (это, например, уравнения Фредгольма I рода). Задача решения операторного уравнения первого рода не может быть корректной, так как оператор, обратный вполне непрерывному оператору в бесконечномерном пространстве, не является непрерывным. Мы это позже покажем.

Напомним некоторые факты из теории пространств.