Глава 4. В поисках абсолюта

Новые осложнения. Успехи, достигнутые в исследовании функций и линий при помощи теории множеств, сделали ее полноправным членом семьи математических наук. Это признание было зафиксировано на состоявшемся в 1897 г. Первом Международном конгрессе математиков, проходившем в швейцарском городе Цюрихе. В докладах виднейших специалистов по математическому анализу А. Гурвица^* и Ж. Адамара^* были показаны самые разнообразные применения множеств, вскрыта их связь с общей теорией так называемых аналитических функций. На проведенном через три года Втором Международном математическом конгрессе Давид Гильберт поставил среди 23 важнейших нерешенных проблем математики и вопросы, связанные с теорией множеств. Высоко оценил работы Кантора в своем выступлении на том же конгрессе Анри Пуанкаре. Говоря о роли интуиции и логики в математике, он сказал, что в теории множеств математика обрела совершенно прочный и надежный фундамент и теперь в математике остаются только натуральные числа и конечные или бесконечные системы таких чисел. По его мнению, математика стала полностью арифметизированной и в ней, наконец, достигнута абсолютная строгость.

^* (Гурвиц Адольф (1859-1919) - немецкий математик, автор работ в области математического анализа, теории функций, алгебры и теории чисел.)

^** (Адамар Жак (1865-1963) - французский математик, автор выдающихся работ в области математической физики, теории функций, теории чисел.)

При такой оценке теории множеств, данной ведущими учеными того времени, неудивительно, что на ее создателя Георга Кантора дождем посыпались академические награды - он был избран почетным членом Лондонского королевского общества, членом-корреспондентом Института науки, литературы и искусства в Венеции, почетным доктором математики университета в Христиании (ныне Осло) и т. д.

Но английская пословица гласит, что "каждая семья имеет свой скелет в шкафу" (то есть свои тайны, до поры до времени неизвестные окружающим). Таким скелетом, вываливающимся из шкафа в самые неподходящие моменты, была на протяжении многих тысячелетий развития математики противоречивость самого понятия бесконечности. С тех пор, как эта противоречивость была осознана Зенопом, делались неоднократные попытки снова привести все в норму, причем каждый раз шкаф пытались сделать все прочнее и надежнее. После первой их них, сделанной Евдоксом и Евклидом, прошло два тысячелетия, прежде чем Вейерштрассу и Кантору пришлось предпринимать вторую попытку. И, как мы видели, самые лучшие математики той эпохи считали, что достигнут полный успех. Однако "скелет" оказался на этот раз весьма беспокойным и вновь вывалился из шкафа уже через два с небольшим десятилетия. Как писал по этому поводу Давид Гильберт, "произошло нечто, аналогичное тому, что случилось при развитии исчисления бесконечно малых. На радостях по поводу новых богатых результатов стали явным образом недостаточно критически относиться к законности умозаключений; поэтому уже при простом образовании понятий и применении умозаключений, постепенно ставших обычными, выявились противоречия, сначала единичные, а потом все более серьезные... На учение Кантора с различных сторон были произведены бурные нападки. Контрдвижение было столь стремительно, что общеупотребительнейшие и плодотворнейшие понятия математики, простейшие и важнейшие ее умозаключения оказались под угрозой и применение их запрещалось".

Первым сигналом о неблагополучии в самих основах теории множеств оказался парадокс, открытый впервые самим Кантором в 1895 г. и опубликованный два года спустя итальянским математиком Бурали-Форти^*. Речь шла о множестве, составленном из всех трансфинитных чисел. По своему определению оно было не хуже, чем любое иное множество, так как являлось многим мыслимым как единое. Но у этого множества оказался существеннейший недостаток. Оно само вполне упорядочено и потому должно выражаться каким-то трансфинитным числом Q. Но тогда Q должно было оказаться больше всех трансфинитных чисел, а потому и больше самого себя, что, очевидно, невозможно.

^* (Бурали-Форти Чезаро (1861 - 1931) - итальянский математик.)

Как выяснилось позднее, столь же противоречиво и множество, составленное из всех множеств. Ведь этому множеству должны принадлежать все его подмножества, что невозможно, так как множество всех подмножеств любого множества имеет большую мощность, чем само это множество.

Еще один удивительный пример противоречиво определенного множества опубликовал в 1903 г. Бертран Рассел^*. Как правило, множества не являются своими собственными элементами (например, множество всех натуральных чисел не является натуральным числом, множество всех треугольников не является треугольником и т. д.).

^* (Рассел Бертран (1872-1970) - английский логик, философ, математик и общественный деятель. Основатель логического течения в обосновании математики, пытающийся свести математику к логике.)

Однако бывают и такие множества, которые содержат себя в качестве одного из своих элементов. Скажем, множество абстрактных понятий само является абстрактным понятием (не правда ли?). Так как такие множества рассматриваются редко, назовем их экстраординарными, а все остальные множества - ординарными.

Образуем теперь множество A, элементами которого являются все ординарные множества. На первый взгляд кажется, что в этом определении нет ничего плохого; не видно, почему фраза "множество всех ординарных множеств" хуже, чем фраза "множество всех треугольников". Но на самом деле здесь возникает серьезное логическое противоречие. Попробуем выяснить, каким же является само полученное множество A - ординарным или экстраординарным. Если оно ординарно, то оно входит в себя как один из элементов (мы ведь собрали вместе все ординарные множества). Но тогда, по определению, оно является экстраординарным. Если же множество A экстраординарно, то по определению экстраординарности оно должно быть своим собственным элементом, а среди элементов множества A есть лишь ординарные множества, экстраординарных множеств мы не брали!

Получилось логическое противоречие - множество A не может быть ни ординарным, ни экстраординарным. Впрочем, такие логические противоречия возникают и в гораздо более простых случаях. Например, одному солдату приказали брить тех и только тех солдат его взвода, которые не бреются сами. Возник вопрос, как ему поступать с самим собой. Если он будет брить себя, то его следует отнести к числу солдат, которые бреются сами, а брить таких солдат он не имеет права. Если же он себя брить не будет, то его придется отнести к числу солдат, которые сами не бреются, а тогда по приказу он должен себя брить.

Известны и другие примеры, когда множество, на первый взгляд вполне определенное, оказывается определенным очень плохо, а лучше сказать - совсем неопределенным. Например, пусть множество A состоит из всех рациональных чисел, которые можно определить при помощи не более чем двухсот русских слов (включая сюда и слова "нуль", "один", "два" и т. д.).

Так как множество всех русских слов конечно (для простоты будем считать, что берутся лишь слова из словаря Ожегова и их грамматические формы), то и множество таких чисел конечно. Пусть это будут числа r₁, r₂,..., r_N. Определим теперь рациональное число r следующим образом:

где n_i (i-й десятичный знак числа r) равен 1, если i-й десятичный знак числа r_i отличен от единицы, в противном же случае n_i = 2.

Число r не совпадает с r₁, так как отличается от него первым десятичным знаком, не совпадает с r₂, так как отличается от него вторым десятичным знаком, и т. д. Поэтому число r не входит в множество A. Между тем это число определено нами при помощи не более чем двухсот слов.

С этим парадоксом тесно связан следующий.

Каково то наименьшее целое число, которое нельзя определить при помощи фразы, имеющей менее ста русских слов?

Такое число существует, поскольку число слов в русском языке конечно, а значит, есть числа, которые нельзя определить фразой, имеющей менее ста слов. Но тогда среди этих чисел есть наименьшее.

С другой стороны, такого числа не существует, ибо оно определяется фразой из менее чем ста слов, напечатанной выше курсивом, а по смыслу этой фразы оно не может быть определено подобным образом.

А вот более сложный пример конечного множества, относительно которого оказывается невозможным сказать, содержит ли оно данный элемент. Разделим все прилагательные в русском языке на два класса. К первому классу отнесем все прилагательные, для которых выражающее их слово само обладает свойством, описываемым этим прилагательным, а ко второму - все остальные прилагательные. Например, прилагательное "русское" отнесем к первому классу, так как слово "русское" принадлежит к словарному запасу русского языка. К тому же классу отнесем и прилагательное "пятисложное", так как в слове "пятисложное" именно пять слогов. А прилагательное "немецкое" отнесем во второй класс, так как слово "немецкое" входит в словарный состав русского, а не немецкого языка. Во второй класс попадет и слово "односложное", так как в этом слове не один, а пять слогов. Туда же попадет и слово "синее", так как это слово само цветом не обладает, а только выражает некоторый цвет.

Казалось бы, все в полном порядке и каждое прилагательное нашло свое место. Но, для того чтобы отличить полученные два класса друг от друга, введем еще два прилагательных. Назовем все прилагательные первого класса автологичными (от греческих слов авто - сам и логос - смысл, закон), а прилагательные второго класса гетер о логичными (гетерос - другой). Слова автологичный и гетерологичный являются прилагательными, и их надо разместить по нашим классам. Со словом автологичный трудностей не возникает - его надо отправить в первый класс, и тогда оно будет обладать именно тем свойством, которое само выражает,- ведь в первом классе собраны именно автологичные слова. А вот слово гетерологичный доставляет те же трудности, что и взводный парикмахер.

Это слово нельзя отнести в класс автологичных слов, так как тогда слово гетерологичный должно было бы само обладать выражаемым им свойством, а оно заключается в том, что этому слову надлежит быть не в первом, а во втором классе. Нельзя отнести слово гетерологичный и во второй класс, так как тогда оно должно было бы не обладать выражаемым им свойством гетерологичности, а потому быть автологичным, в то время как второй класс не содержит авто логичных слов.

Эти и аналогичные им парадоксы восходят к древнему парадоксу "Лжец", который приписывают греческому философу Евбулиду из Милета. Он состоит в том, что человек, говорящий "я лгу", не может быть ни говорящим правду, ни лжецом: если, произнося эти слова, он говорит правду, то он лжет, а если он, произнося эти слова, лжет, то он говорит правду.

Конечно, проще всего было бы сказать, что в теории множеств не рассматриваются столь причудливые множества. Однако, если не дать точного определения, какие же множества следует рассматривать, а какие отбросить, можно оказаться в положении человека, который, беседуя с длинноносым собеседником, сказал, "говоря о носах, я не имею в виду столь несуразно длинные". Это далеко не лучший способ избежать щекотливой темы.

Одна задача почему-то не выходит. Открытие парадоксов теории множеств произвело глубочайшее впечатление на математиков. Если, например, Пуанкаре до этого положительно относился к теории Кантора, то после опубликования теоретико-множественных парадоксов он стал насмешливо отзываться о ней, заявляя, что актуальной бесконечности не существует. Фреге, получив от Рассела письмо, содержавшее его парадокс, оказался вынужден сделать к выходившей уже из печати книге замечание, по сути дела зачеркивающее все ее содержание. Особенно тяжело отразилось открытие парадоксов на самом Канторе - он погрузился в размышления о том, как их устранить и, не достигнув в этом успеха, тяжело заболел и прекратил научную деятельность за много лет до смерти. Гильберт восклицал: "Надо согласиться, что состояние, в котором мы находимся сейчас в отношении парадоксов, на продолжительное время невыносимо. Подумайте: в математике - этом образце достоверности и истинности,- образование понятий и ход умозаключений, как их всякий изучает, преподает и применяет, приводят к нелепостям. Где же искать надежность и истинность, если даже само математическое мышление дает осечку?"

Но на фоне триумфальных успехов математического анализа, основанных на теоретико-множественных концепциях, у большинства математиков выявленные парадоксы теории Кантора не вызывали вначале никакой тревоги, кроме разве что некоторого беспокойства за самые окраинные области математики.

Значительно большей неприятностью оказалось возникновение в теории множеств проблем, не получавших разрешения на протяжении длительного времени. Многие из них были связаны с казавшейся уже навсегда преодоленной пропастью между дискретным и непрерывным, арифметикой и геометрией. Из двух главных видов мощностей, изученных Кантором,- счетной и континуальной - первая шла от арифметики, от понятия натурального числа, а вторая - от понятия континуума, от непрерывности. И, естественно, возник вопрос о взаимоотношении этих мощностей.

Наиболее естественным было предположение, что мощность континуума непосредственно следует за счетной, то есть что не может быть несчетного множества, мощность которого меньше континуальной. Если бы эта гипотеза оказалась верной, мощность континуума заняла бы свое место и на шкале трансфинитных чисел, она выражалась бы первым трансфинитным чистом, идущим за всеми трансфинитными числами счетного типа. Мощность всех счетных трансфинитных чисел получила название алеф первый, и вопрос состоял в том, равна ли этому алефу мощность континуума. Этот вопрос получил название проблемы или гипотезы континуума, и над ним долгие годы думал Георг Кантор. Много раз ему казалось, что проблема решена, однако все попытки в конце концов оказались безуспешными.

Не большего успеха добились и другие ученые, пытавшиеся доказать или опровергнуть гипотезу континуума, и она по праву занимала первое место в списке проблем Гильберта. В течение долгих лет думал о ней Н. Н. Лузин, но и от него решение ускользало, как мираж в пустыне.

Однажды к Лузину привели пятнадцатилетнего мальчика Льва Шнирельмана^*, обладавшего исключительными математическими способностями. Чтобы проверить способности юного математика, Н. Н. Лузин предложил ему тридцать труднейших задач. Решения 29 задач он знал, а одной была... проблема континуума. Но, увы, через неделю молодой математик пришел к Лузину и грустно сказал: "Одна задача почему-то не выходит".

^* (Шнирельман Лев Генрихович (1905-1938) - советский математик, автор выдающихся работ по теории чисел, топологии, топологическим и качественным методам математического анализа.)

Отчаявшись в решении этой проблемы, Лузин говорил своим ближайшим ученикам, что не знает, почему континуум должен обязательно совпадать с алефом первым. "Кто знает,- грустно шутил он,- может быть континуум вообще окажется алефом семнадцатым".

Позднее обнаружились другие проблемы, которые никак не удавалось решить в рамках обычной теории множеств. Среди них были и различные обобщения гипотезы континуума, а также различные ее видоизменения, были и иные предположения, которые также не удавалось ни доказать, ни опровергнуть.

Непонятная аксиома. Неудача, постигавшая всех ученых, думавших над проблемой континуума, привела к тому, что возник вопрос, а можно ли вообще вполне упорядочить множество точек отрезка, есть ли у континуума вообще место на шкале трансфинитных чисел. Кантор с 1883 г. был убежден в том, что ответ на этот вопрос положителен. По его мнению, любое множество, а не только континуум можно было вполне упорядочить. Однако и здесь ему никак не удавалось найти подходы к проблеме.

Неожиданно простое и короткое решение опубликовал в 1904 г. Цермело^*, которому удалось доказать возможность полного упорядочивания любого множества. Однако не все математики согласились с ним. И дело было не в том, что Цермело допустил где-то ошибку в рассуждениях. Он рассуждал совершенно логично и даже подчеркнул, что в ходе доказательства было использовано одно утверждение, которым математики широко пользовались и до того, хотя и не высказывали в явной форме. Это утверждение, названное впоследствии аксиомой выбора или аксиомой Цермело, заключается в следующем.

^* (Цермело Эрнест (1871-1953) - немецкий математик, автор работ по теории множеств, вариационному исчислению и теории вероятностей.)

Представьте себе, что перед вами лежат несколько кучек яблок. Ясно, что можно выбрать по одному яблоку из каждой кучки и сложить их в новую кучку. Казалось бы, то же самое можно сделать и в случае, когда каждая кучка содержит бесконечно много яблок, а самих кучек тоже бесконечно много. В этом и состоит аксиома выбора: Если дало бесконечное множество бесконечных множеств, то из каждого множества можно выбрать по одному элементу, не указывая заранее закона выбора.

Вот в этих-то последних словах все дело - аксиома выбора приводит к совершенно неконструктивным доказательствам: удается, например, доказать, что не может быть, чтобы множество нельзя было вполне упорядочить, но никакого конкретного способа упорядочения из этого доказательства не извлекается. Долгие годы математики пользовались аксиомой выбора, считая ее совершенно очевидной. Но когда над ней стали глубже задумываться, она стала казаться все более и более загадочной. Многие из теорем, доказанных с ее помощью, совершенно противоречили наглядности. Поэтому Бертран Рассел так высказался о ней. "Сначала она кажется очевидной; но чем больше вдумываешься в нее, тем более странными кажутся выводы из этой аксиомы: под конец же перестаешь понимать, что же она означает".

А Лузин признавался: "Я дни и ночи думаю над аксиомой Цермело. Если бы только кто-нибудь знал, что это за вещь!"

Здесь поневоле вспоминаются слова Мефистофеля из "Фауста" Гете:

Понять ее пытаться - труд напрасный, 
Глупец и умный с толку будет сбит 
Противоречий массою ужасной.

Правда, к противоречиям эта аксиома не приводила, но непонятных следствий из нее можно было получить сколько угодно.

Из одного яблока - два. Расскажем об одном из самых удивительных следствий аксиомы выбора. Вам, вероятно, приходилось наблюдать, как работает на эстраде ловкий фокусник. Вот он показал зрителям пустой мешочек, потом опустил туда шарик, а вынул... два; опустив два шарика, он вынимает четыре, опустив четыре, вынимает восемь. Конечно, все понимают, что здесь нет никаких чудес, а только, как говорится, ловкость рук. Но в теории множеств такие чудеса бывают.

Возьмем самое обычное яблоко и разрежем его любым образом на четыре части. Кажется ясным, что если взять только две из этих частей, то из них нельзя составить целое яблоко (точно так же, как, съев половину апельсина, нельзя составить из оставшихся долек целый апельсин).

Однако математикам удалось так разбить шар на четыре равные части, что из двух частей можно составить целый шар того же радиуса, ничего к ним не прибавив, а только двигая их, как твердые тела. Из двух других частей можно составить второй точно такой же шар. Таким образом, из одного шара получилось два равных ему шара.

Разумеется, это утверждение имеет чисто теоретическое значение, и надеяться сделать с его помощью из одного яблока два, а потом из двух - четыре и т. д. было бы по меньшей мере наивно. Ведь это противоречило бы закону сохранения материи. Но математика изучает не непосредственно материальный мир, а лишь его математические модели. Поэтому если получаются результаты, противоречащие физической интуиции, то ответственность за это несет не математическая наука, а неудачный выбор модели.

Поэтому наш странный результат, как и некоторые другие парадоксальные выводы из аксиомы выбора, показывает лишь, что к ней надо относиться с известной осторожностью. Некоторые математики стараются четко отделять утверждения, при выводе которых была использована эта аксиома, от остальных. Но, как это ни печально, некоторые фундаментальные утверждения математического анализа нельзя доказать без ссылки на эту злополучную аксиому.

Квинтет демонов. Одной из причин, по которой виднейшие математики отказались поверить в возможность полного упорядочивания континуума, было именно отсутствие какой-либо обозримой конструкции для такого упорядочивания. В связи с этим возникло оживленное обсуждение вопроса, что же значит в математике слово "существует". Означает ли это выражение, что соответствующий математический объект допускает определенную конструкцию или можно рассматривать и множества, существующие лишь в силу аксиомы выбора? Какой смысл имеет понятие множества всех подмножеств континуума, если мы не можем описать конструктивно большую часть этих подмножеств? После некоторого "инкубационного периода" болезнь вышла наружу и в 1905 г. известнейшие французские математики (Адамар, Борель, Бэр^*, Лебег) опубликовали свою переписку о том, что такое бесконечность и какие бесконечные множества следует считать существующими. Этими же вопросами усиленно занимались Гильберт и молодой голландский математик Брауэр.

^* (Бэр Рене (1874-1932) - французский математик, работал в области теории функций действительного переменного.)

Каждый из споривших давал свой ответ на возникшие вопросы, не соглашаясь с мнением других. Споры шли весьма оживленно, поскольку, по словам Гильберта, с давних пор никакой вопрос так глубоко не волновал человеческую мысль, как вопрос о бесконечном: бесконечное действовало на разум столь побуждающе и плодотворно, как едва ли действовала какая-либо другая идея; однако ни одно понятие не нуждалось, по мнению Гильберта, так сильно в разъяснении, как бесконечность.

Спор между математиками становился временами очень острым - ведь спорили сами боги математического Олимпа. Чтобы дать читателю представление о точках зрения разных ученых, приведем яркую цитату из книги Н. Н. Лузина "Современное состояние теории функций действительного переменного", где он использовал введенный когда-то Максвеллом образ "демона", который открывает и закрывает перед молекулами отверстия и этим путем отделяет быстрые молекулы от медленных, нагревая газ в одной части сосуда и охлаждая его в другой. Лузин писал: "Если анализировать взгляды творцов современной теории функций, легко подметить, что каждый из них в процессе своей работы исходит из определенной концепции возможного и допустимого, за пределами которого кончается область математики и начинается область, лежащая, по выражению Бореля, вне математики... Если, следуя примеру Максвелла, приписать область возможного и исполнимого того или иного автора соответствующему воображаемому существу, то получится следующая схема:

1. "Демон" Брауэра. Его область есть область целого^* конечного и притом ограниченного путем указания верхнего конечного предела. За этой областью все лежит "вне математики".
2. "Демон" Бэра. Его область есть просто область целого конечного без указания верхней конечной границы. Бесконечное - это лишь facon de parler^** и находится "вне математики".
3. "Демон" Бореля. Его область есть область счетной бесконечности. Всякое несчетное множество - "вне математики".
4. "Демон" Лебега. Его область есть область мощности континуума: всякая операция, требующая континуум простых шагов, доступна этому "демону"...
5. "Демон" Цермело. Его поле операций - всякие мощности; в частности, всякое множество "демон" Цермело может сделать вполне упорядоченным".

^* (То есть натурального.)

^** (Оборот речи.)

Разница в силе "демонов" Бореля и Лебега видна из следующего примера. Пусть надо узнать, выполняется ли для всех элементов множества X неравенство x≤a. Если множество X счетно, то с решением проблемы справится "демон" Бореля, так как придется рассмотреть вопрос о выполнении счетного множества неравенств x_k≤a, а это ему по силам. Если же X несчетно, то "демон" Бореля не сумеет ответить на поставленный вопрос, а для "демона" Лебега задача окажется доступной - ведь он может выполнить и континуум операций.

Точка зрения самого Лузина по дискутируемым проблемам не была однозначной. Чаще всего он стоял на позициях Бореля, указывая, что "понятие несчетной бесконечности является чисто отрицательным понятием, не имеющим никакой объективной реальности; это понятие, вызванное лишь человеческой способностью создавать доказательства "от противного", не соответствует никакой достижимой реальности...". Однако иногда он склонялся больше к точке зрения Бэра, утверждая, что мы не имеем достаточно ясной концепции актуальной бесконечности, хотя это понятие и может быть определено в терминах абстрактной логики. Польскому же математику Куратовскому^* он писал: "Несмотря ни на что, я не могу рассматривать как данное множество целых положительных чисел, потому что самая идея актуальной бесконечности мне кажется мало естественной, чтобы рассматривать ее в себе". И далее: "Фундаментальная проблема состоит в том, чтобы выяснить, является ли последовательность целых положительных чисел вполне объективной. Кажется, что она почти объективна и что имеются следы несомненной субъективности, такой, что нельзя говорить о последовательности целых положительных чисел всегда, во всех случаях, в одном и том же смысле". Он считал, однако, что еще преждевременно ставить жгучую проблему о единственности последовательности целых положительных чисел и говорить о конечных числах, недостижимых, если отправляться от 1.

^* (Куратовский Казимеж (1896-1980) - польский математик, автор работ в области топологии, теории функций действительного переменного, математической логики.)

Прямой противоположностью взглядам Лузина на сущность математических проблем является точка зрения Николя Бурбаки^*. Он утверждает существование всего непротиворечивого и потому стоит на позициях Цермело, допуская любые мощности, признавая без ограничений аксиому выбора и все ее следствия, включая парадокс о разбиении сферы и утверждение о полной упорядочиваемости континуума. Вопрос же, приложима ли такая математика к познанию реального мира, его, кажется, совсем не интересует.

^* (Бурбаки Николя - коллективный псевдоним группы современных французских математиков, публикующих многотомный трактат "Элементы математики".)

Всегда допускал работу с множествами произвольно высокой мощности и П. С. Александров. Например, он обобщил понятие размерности на очень широкий класс пространств, не удовлетворяющих никаким условиям счетности, развил в таких пространствах геометрию и т. д. Таким образом, "демон" Цермело позволяет, с одной стороны, получать чрезвычайно красивые результаты, а с другой - ведет к утверждениям, наглядный смысл которых невозможно понять.

Выбор "демона" из описанного выше квинтета осложняется парадоксом, который заключается в том, что все "неприятности", возникающие для множеств сколь угодно высокой мощности, можно смоделировать уже для счетных множеств. Получается, что за осложнения в математике несет ответственность не применение множеств слишком высокой мощности, а сама идея актуальной бесконечности.

Изгнание бесконечности. Смелую и чрезвычайно глубокую попытку справиться с трудностями теории бесконечных множеств предпринял Давид Гильберт. Расставаться с достижениями этой теории он никак не хотел, заявляя, что никто не выгонит математиков из рая, который создал для них Георг Кантор. В своей работе "О бесконечном" Гильберт отметил, что, хотя бесконечно малые и бесконечно большие величины были удалены из математического анализа, бесконечное все же пробралось в него в виде бесконечных последовательностей, с помощью которых определяют действительные числа, а затем в виде понятия системы действительных чисел, воспринимаемой как готовая и законченная совокупность.

Вейерштрасс сводил понятия о бесконечно малых и бесконечно больших к неравенствам, связывающим конечные величины. Подобно этому Гильберт хотел изгнать из математики бесконечные множества. Он считал, что в тех случаях, когда они встречаются в математических рассуждениях, их следует понимать как оборот речи, позволяющий коротко говорить о сложных свойствах конечных множеств. По его мнению, бесконечного нет в природе и потому оно недопустимо как основа разумного мышления. В этом Гильберт усматривал замечательную гармонию между бытием и мышлением. Оперирование с бесконечным могло, по его мнению, стать надежным лишь через конечное.

Эту точку зрения называют финитарной. Для строгого ее проведения Гильберт дал четко ограниченный список допустимых символов. А для того чтобы помешать проникновению в математику каких-либо представлений о бесконечном, связанных с наглядностью, с использованием интуиции, он разработал специальную теорию формальных доказательств. В этой теории символы, выражающие логические утверждения, преобразуются по точно сформулированным правилам, подобно тому как в обычной алгебре преобразуются алгебраические выражения.

Первой целью нового исчисления было объявлено формальное доказательство непротиворечивости арифметики натуральных чисел. Более двух десятилетий Гильберт и его ученики неустанно искали пути для решения этой задачи. Хотя они добились многих успехов, окончательный успех никак не приходил.

В 1931 г. появилась статья Курта Гёделя^*, которая прозвучала как гром с ясного неба. Тончайшим образом усовершенствовав и формализовав аргументы, восходившие по сути дела к древнему парадоксу "Лжец", он доказал удивительный результат: в любой формальной системе, содержащей арифметику натуральных чисел, можно сформулировать утверждение, которое в этой системе нельзя ни доказать, ни опровергнуть. В то же время если принять существование всего бесконечного множества натуральных чисел, то это утверждение должно быть либо истинным, либо ложным, а потому "демон" Бореля, способный сделать счетное множество проверок, смог бы узнать, какой из этих двух случаев имеет место.

^* (Гёдель Курт (р. 1906) - австрийский математик и логик.)

Открытие Гёделя было одним из крупнейших достижений логики за двухтысячелетий период ее существования - оно вскрыло пропасть между истинным и доказуемым. Правда, однажды Гёделю довелось услышать на одной из конференций по логике доклад, в котором утверждалось, что со времен Аристотеля никаких достижений в этой науке не было.

Мы не будем углубляться в круг вопросов, связанных с открытием Гёделя, и отошлем читателя к прекрасной книге Ю. И. Манина "Доказуемое и недоказуемое", вышедшей в 1979 г. в издательстве "Советское радио".

Хотя после работы Гёделя стало ясно, что намеченная Гильбертом программа невыполнима, его усилия не пропали даром - в ходе исследований возникла новая ветвь математики, касавшаяся теории доказательств и получившая название метаматематики. Это привело к невиданному углублению идей и развитию методов математической логики, что оказалось потом полезным при разработке алгоритмических языков для быстродействующих вычислительных машин.

Аксиоматизация бесконечности. Иной путь преодоления трудностей теории бесконечных множеств выбрали математики, начавшие строить для нее систему аксиом. Одна из этих систем была предложена в 1908 г. Цермело и усовершенствована потом А. Френкелем. В аксиоматике Цермело - Френкеля описываются свойства отношения принадлежности x∈y, с помощью которого определяются отношения включения x⊂z у для множеств и понятие равенства множеств. Формулируются аксиомы, утверждающие, что два множества, содержащие одни и те же элементы, равны, а равные множества содержатся в одних и тех же множествах. Далее идут аксиомы, кодифицирующие правила составления множеств - образование пары множеств и объединения любой совокупности множеств. Кроме того, вводится аксиома о существовании множества, составленного из всех подмножеств данного множества. Наконец, к той же группе аксиом относится правило, позволяющее выделять из данного множества его подмножество, зная некоторые свойства его элементов. Эта аксиома отсекает парадоксальные множества, предложенные Кантором, Бурали-Форти и Расселом,- все они задавались свойствами своих элементов, но не были подмножествами какого-то "законного" множества.

Из указанных выше аксиом можно получить существование пустого множества, а также из каждого множества x получить новое множество {x}, единственным элементом которого является x. В систему аксиом Цермело - Френкеля входит, разумеется, аксиома выбора. Кроме того, в этой системе содержится аксиома о том, что образ множества при некотором отображении является множеством. Наконец, в этой системе есть аксиома бесконечности, которая по сути дела утверждает, что существует бесконечное множество натуральных чисел (хотя в ее формулировку это понятие и не входит).

Для любой системы аксиом критическими являются два вопроса: нельзя ли вывести из нее два противоречащих друг другу утверждения и можно ли с ее помощью доказать или опровергнуть любое утверждение, формулируемое в относящихся к ней терминах? Сторонники системы аксиом Цермело - Френкеля усматривают доказательство ее непротиворечивости в том, что до сих пор из нее не удалось вывести противоречивых утверждений (что, впрочем, не гарантирует того же в дальнейшем). В качестве же проверки силы этой системы аксиом был поставлен вопрос о возможности доказать или опровергнуть на ее основе континуум-гипотезу Кантора. Однако и в этом направлении исследования привели к совершенно удивительным результатам.

Началось с того, что в 1939 г. тот же Курт Гёдель доказал невозможность опровержения гипотезы континуума. Присоединив к системе аксиом теории множеств утверждение Кантора, он получил непротиворечивую систему аксиом (разумеется, эта непротиворечивость имела относительный характер при условии, что все остальные аксиомы этой системы не противоречили друг другу).

Но уже давно Лузин предвидел, что может возникнуть парадоксальная ситуация, когда аксиомам теории множеств не будут противоречить ни континуум-гипотеза, ни ее отрицание. В 1963 г. Поль Коэн^* доказал, что дело обстоит именно так. Ему удалось доказать, что из системы аксиом Цермело - Френкеля нельзя вывести континуум-гипотезу. Кроме того, оказалось, что аксиома выбора не зависит от остальных аксиом Цермело - Френкеля подобно тому, как аксиома о параллельных не может быть ни доказана, ни опровергнута на основе остальных аксиом геометрии. При этом выяснилось, что к системе аксиом, полученной из системы Цермело - Френкеля заменой аксиомы выбора на ее отрицание, можно без противоречия присоединить и утверждение о невозможности полной упорядоченности континуума. Почти одновременно с Коэном близкие (и даже более сильные) результаты получил чешский математик П. Вопенка.

^* (Коэн Поль (р. 1934) - американский математик, получивший решение проблемы континуума.)

Положение в математике, создавшееся после работ Геделя, Коэна и Вопенки, отчасти напоминает ситуацию, сложившуюся в геометрии после работ Н. И. Лобачевского и Я. Больяи^*. Но евклидова и неевклидова геометрии были разными математическими моделями реального мира, и выбор между ними касался физики, а не математики - основы математики не были затронуты этими открытиями. Теперь же дело идет именно об этих основах - ведь оказалось, что математик может по своему произволу решать, какая теория множеств ему больше нравится - та, в которой верны аксиома выбора и гипотеза континуума, или та, в которой аксиома выбора отвергается, а континуум нельзя даже вполне упорядочить. Ему предоставляются и иные возможности, например принять аксиому выбора и отвергнуть гипотезу континуума, хотя в этом случае он и обязан считать, что континуум имеет свое место на шкале трансфинитов, но где оно находится, неизвестно.

^* (Больяи Янош (1802-1860) - венгерский математик. Независимо от Н. И. Лобачевского (но несколько позже) создал неевклидову геометрию.)

А если принять во внимание, что теория множеств претендует на роль основы всей математической науки, то получается, что существует не одна математика, а много различных наук, носящих это имя, и выбор между ними - дело исследователя. Разумеется, каждая из математик дает свою математическую модель реального мира, но различие между ними слишком глубоко и затрагивает самые фундаментальные вопросы теории познания. Можно полагать, что если бы Гильберт дожил до работ Коэна, он взял бы назад свои гордые слова: "Математика есть наука, в которой отсутствует гипотеза. Для ее обоснования я не нуждаюсь ни, как Кронекер, в господе-боге, ни, как Пуанкаре, в предположении об особой, построенной на принципе математической индукции, способности разума, ни, как Брауэр, в первоначальной интуиции, ни, наконец, как Рассел и Уайтхед^*, в аксиомах бесконечности, редукции и полноты, которые являются подлинными гипотезами содержательного характера и, сверх того, вовсе неправдоподобными".

^* (Уайтхед Альфред (1861-1947) - английский математик и логик. Совместно с Б. Расселом написал книгу "Принципы математики"/)

Теперешнему математику ближе точка зрения, высказанная известным американским математиком и логиком Куайном^*:

"С 1901 года появилось большое число теорий множеств, но ни одна из них не имела бесспорного преимущества перед другими. Даже вопрос о том, свободны ли они от собственных противоречий, является спорным в рамках такого рассмотрения, поскольку мы не можем больше доверять здравому смыслу при установлении правдоподобия тех или иных предложений. Теория множеств дискредитирована парадоксами, и в качестве основания математики она оказывается гораздо менее надежной, чем ее надстройка.

^* (Куайн Виллард (р. 1908) - американский математик, один из крупнейших специалистов в области математической логики а оснований математики.)

Таким образом, теорию множеств, очевидно, не следует рассматривать как основание математики, надеясь на то, что она избавит нас от опасений за прочность классической математики. При разработке всевозможных систем мы пытаемся лишь найти схему, которая воспроизводила бы при соответствующей надстройке принятые законы классической математики. На данном этапе мы рассматриваем теорию множеств как удобный краткий словарь математических терминов, используемый для формулирования общей системы аксиом классической математики".

Приведем еще мнение по этому вопросу академика А. Н. Колмогорова:

"Выяснение вопроса о том, в какой мере и при каких условиях при изучении бесконечных множеств законно абстрагирование от процесса их образования, еще нельзя считать законченным".

Проигранное пари. Нам осталось рассказать об одной попытке вывести теорию множеств, а с нею и всю математическую науку из затянувшегося состояния кризиса. Ее предпринял в 1907 г. Брауэр, который в значительной степени опирался на мнения, неоднократно высказывавшиеся Кронекером и Пуанкаре. По мнению Брауэра и его последователей, начиная с XVII столетия в математическом анализе и геометрии совершенно игнорировался особый характер понятия бесконечности. Поэтому они считали, что слывшие строгими методы теории действительных чисел и математического анализа, введенные в математику учеными XIX в., не только не достигали поставленных перед ними целей, но привели к созданию разработанной системы, основанной на совершенно ошибочной тенденции обращаться с бесконечностью с помощью средств, выработанных для конечных совокупностей. Тем самым отвергалась в целом вся концепция математики, шедшая от Коши, Вейерштрасса и Кантора.

Брауэр и его школа полагали, что эта концепция действительного числа и функции лишь маскирует опасности, таящиеся в понятии бесконечности, изобилует порочными кругами в рассуждениях и претендует на чрезмерную общность, что неизбежно приводит к противоречиям. Тем самым полностью отвергался прогресс в деле укрепления основ классической математики, достигнутый в XIX в., а канторовская теория множеств рассматривалась как "любопытный патологический казус" в истории математики, от которого грядущие поколения, вероятно, придут в ужас. Особенно интересно во всем этом то, что сам Брауэр имел значительные достижения в области теоретико-множественной математики.

Чтобы поставить математику на правильный, по их мнению, путь, надо было опираться на интуицию - отсюда идет и название этого направления в науке - интуиционизм. Интуиционисты отказывались рассматривать континуум как множество, состоящее из точек, поскольку считали понятие континуума более первичным, чем понятие точки. Они говорили, что континуум - это среда свободного становления точек, а не множество точек.

Придирчивой критике интуиционисты подвергли самую логику, которой пользовались все математики XIX в., да и предшествующих столетий. В частности, они категорически отвергли один из основных законов аристотелевой логики, а именно закон исключенного третьего, который состоит в том, что любое высказывание является либо истинным, либо ложным. По мнению интуиционистов, этот закон был выведен из наблюдений над конечными совокупностями предметов и имеет место лишь для утверждений, касающихся таких совокупностей. Например, чтобы убедиться в истинности высказывания: "Среди людей, проживавших на земном шаре 1 января 1983 г., не было двухсотлетних", достаточно проверить возраст каждого человека, жившего в этот день. Но такой метод проверки не годится для выяснения свойств элементов бесконечных множеств - эти элементы не построишь в ряд и не устроишь поголовную проверку документов.

Таким образом, из арсенала интуиционистов выпало столь сильное средство доказательства, как доказательство от противного. Они отвергали "чистые доказательства существования" и требовали каждый раз предъявления конкретного примера объекта, обладающего данным свойством. Иными словами, в качестве доказательства существования чего-либо они принимали лишь описание конструкции соответствующего объекта. Германн Вейль, примкнувший к движению интуиционистов, сравнивал конкретные утверждения с сокровищами, а теоремы существования - с бумагами, содержащими указания, где надо искать сокровища. Доведение теоремы существования до конструкции завершало поиск сокровища.

Иными словами, интуиционисты требовали от утверждений вида "существуют четные числа" переходить к утверждениям "число 2 - четное".

В одном из докладов об интуиционизме Брауэр привел в качестве примера утверждения, которое нельзя ни доказать, ни опровергнуть, следующее: "В десятичном разложении числа я идут десять цифр 9 подряд". В те времена было известно лишь 707 десятичных знаков для я (да и то большая часть из них оказалась неверной). Сейчас с помощью ЭВМ найдено неизмеримо больше десятичных знаков для π, так что среди них уже есть, быть может, идущие подряд 10 девяток. Но если заменить число 10 на 10¹⁰⁰⁰, то можно быть уверенным, что задача вычисления необходимого для проверки нашей гипотезы количества десятичных знаков окажется неразрешимой для любых машин, которые когда-либо будут построены. А так как теоретически решить проблему тоже невозможно, то утверждение о наличии в десятичном разложении числа n 10¹⁰⁰⁰ идущих подряд девяток заведомо непроверяемо. Правда, один из математиков, присутствовавших на докладе Брауэра, сказал, что хотя мы и не знаем, верно это утверждение или нет, но господь-бог знает. "Я не имею прямой связи с богом",- сухо возразил Брауэр.

Вся математика получила в руках интуиционистов иной вид. Например, в их анализе нет разрывных функций, а в их арифметике из равенства нулю произведения еще не следует обращение в нуль хотя бы одного из множителей. Вообще, почти каждое утверждение классической математики приходилось заменять весьма непривычно звучащим интуиционистским аналогом, а от многого надо было отказаться. "Я не считаю неприкосновенными все теоремы из обычных учебников",- заявил интуиционист Сколем.

Призыв к столь коренным преобразованиям нашел признание лишь у небольшой (хотя и весьма влиятельной) группы ученых. Яростным противником брауэровских реформ был Гильберт. Он говорил: "То, что делают Вейль и Брауэр, есть не что иное, как возрождение идей Кронекера! Они стремятся спасти математику, выбрасывая за борт то, что вызывает беспокойство... Они крошат и рубят науку. Если бы мы приняли такую реформу, которую они предлагают, то подверглись бы риску потерять большую часть наших ценных сокровищ".

Гильберт гневно утверждал, что отнять у математиков закон исключенного третьего все равно, что забрать у астрономов телескоп или запретить боксерам пользоваться кулаками. Он писал, что запрещение теорем существования и закона исключенного третьего почти равносильно полному отказу от математической науки, а жалкие остатки, немногочисленные, неполные, не связанные друг с другом результаты, которые были выработаны интуиционистами, не могут идти ни в какое сравнение с могуществом современной математики. Горько сетовал Гильберт на то, что в среде математиков смогла иметь невероятнейшее и эксцентричнейшее влияние сила гипноза одного темпераментного и остроумного человека.

Не оставались в долгу и интуиционисты, утверждая, что программа спасения математики, предложенная Гильбертом, ведет к тому, что из науки изгоняется смысл. Однако большинство математиков примкнуло в данном вопросе к точке зрения Гильберта, полагая, что само существование математики и обширность ее приложений в течение многих столетий свидетельствуют о том, что она не столь уж нелепа и бессодержательна, и для того, чтобы вылечить палец, незачем ампутировать ногу.

Несмотря на то что большинство математиков отвергало идеи интуиционистов, те были уверены в своей грядущей победе. В 1918 г. Германн Вейль предложил своему другу известному венгерскому математику Дьердю Пойа^* пари, что через 20 лет идеи интуиционизма восторжествуют. В качестве критерия он указал две теоремы классического анализа, которые можно найти в любом учебнике высшей математики, но которые не имеют смысла в математике интуиционистов. По его мнению, через двадцать лет эти теоремы должны были исчезнуть из общепризнанной математики. Однако по истечении этого срока Вейль признал, что пари проиграно (хотя и уговорил Пойя не публиковать соответствующего заявления, что предусматривалось условиями пари).

^* (Пойа Дьердь (р. 1887) - венгерский математик, автор работ по функциональному анализу, математической статистике и комбинаторике.)

Следует отметить, что за последние десятилетия интерес к интуиционизму снова возрастает, причем многие выдающиеся логики явно или неявно примыкают к этому течению математической мысли.