Заключение

Мы закончили наше путешествие по извилистым путям, которые прошла человеческая мысль, пытаясь овладеть противоречивейшим понятием бесконечности, "приручить" его и использовать для познания действительности. От древнейших мифов через первые научные искания Фа-леса и Пифагора, Зенона и Аристотеля человечество пришло к столь впечатляющим достижениям, как современные космологические теории, сложнейшие построения математического анализа, теория бесконечномерных пространств.

В некоторых из этих творений человеческого разума уже почти не чувствуется сложность заложенных в них концепций. Выполняя в ходе технических расчетов привычные операции дифференцирования и интегрирования функций, инженер не задумывается над тем, что когда-то эти операции казались почти непостижимыми. Как писал Ф. Энгельс, "когда в математику были введены переменные величины и когда их изменяемость была распространена до бесконечно малого и бесконечно большого,-тогда и математика, вообще столь строго нравственная, совершила грехопадение: она вкусила от яблока познания, и это открыло ей путь к гигантским успехам, но вместе с тем и к заблуждениям. Девственное состояние абсолютной значимости, неопровержимой доказанности всего математического... ушло в прошлое; наступила эра разногласий..."^*. Теперь эти слова кажутся почти пророческим предсказанием того состояния, в котором находятся современные исследования по глубинным проблемам теории бесконечных множеств.

^* (Маркс К., Энгельс Ф. Соч. 2-е изд., т. 20, с. 88-89.)

Вероятно, в процессе чтения книги читатель неоднократно задавал себе вопрос, каково же практическое значение описанных в ней исканий, могут ли применяться на практике мощности бесконечных множеств, трансфинитные числа, необычайные функции и линии из математической кунсткамеры и т. д. Этот вопрос является одним из сложнейших в большинстве научных исследований. Недаром Майкл Фарадей на вопрос какого-то лорда, что дадут для практики исследования по электромагнетизму, ответил: "А что можно сказать о будущности новорожденного ребенка?" Обвинениям в отрыве от практики подвергались в свое время исследования по генетике, теории относительности, квантовой физике и т. д. Многим казались беспочвенными мечтания К. Э. Циолковского о межпланетных путешествиях.

При решении вопроса о практической значимости теоретико-множественных исследований надо иметь в виду, что теория множеств имеет три существенно различных аспекта: изучение операций над множествами, мощностей бесконечных множеств и теоретико-множественный подход к математике в целом. Первый из них уходит корнями в глубокую древность, поскольку уже силлогизмы Аристотеля выражают по сути дела определенные отношения между множествами и операции над ними. Теоретико-множественные операции необходимы, например, для того, чтобы ЭВМ могли выполнять работу по сбору и переработке информации, и потому они предусматриваются в алгоритмических языках. Мы уже не говорим о том, что эти операции широко используются в современной математической литературе - безнадежной была бы попытка переписать без символов включения, объединения и пересечения множеств многие классические сочинения по математике XX в.

Сложнее обстоит дело с практической значимостью теории бесконечных множеств. Ее роль более опосредована и состоит скорее в том, что теоретико-множественные понятия лежат в основе многих часто используемых математических теорем. Примерами могут слуячить теорема о неподвижной точке, лежащая в основе многих вычислительных процессов, теорема о компактности произведения компактных пространств и т. д. Одно из важнейших понятий современной математики - бесконечномерное гильбертово пространство - возникло в результате исследований Гильберта в области теории систем уравнений с бесконечным множеством неизвестных. При этом важнейшая модель таких пространств состоит из разрывных функций, интегрировать которые возможно лишь с помощью интеграла Лебега. В гильбертовом же пространстве лежит одно из самых удивительных образований - спираль Винера, направления которой в любых двух ее точках перпендикулярны друг другу. Несмотря на свою причудливость, эта спираль является геометрическим образом важного для приложений понятия теории вероятностей - случайных процессов с независимыми приращениями.

Не следует забывать при этом, что концепции математической логики, играющие столь важную роль в теории алгоритмических языков, были в значительной мере созданы в ходе осмысления парадоксов, которые возникли в теории бесконечных множеств. За последние годы приобретают практическое значение и иные аспекты этой теории. Известный американский специалист в области прикладной математики Р. Рихтмайер полагает, что в ближайшее время в обиход физики войдут концепции, которые будут заимствованы, в частности, и из теории множеств. Вообще, по его мнению, нет такого раздела математики, который не представлял бы потенциального интереса для физики.

Наиболее спорным является третий аспект теории множеств - попытка построения всей математики на теоретико-множественной основе (так называемый "бурбакизм"). По этому вопросу мнения ученых бывают иногда противоположными. Одни ученые полагают, что эта попытка дает возможность трактовать с единой точки зрения различные математические проблемы и применять методы, созданные для решения одних вопросов, к изучению проблем, которые кажутся весьма далеко лежащими от этих вопросов. Другие математики (обычно более близко связанные с прикладными сторонами науки), обвиняют этот подход в излишнем формализме, несоответствии применяемых средств изучаемым проблемам. Корни этих разногласий лежат в несовпадении математического мировоззрения спорящих сторон, в различной оценке важности тех или иных проблем и достижений математической науки. Быть может, истинным окажется какой-то диалектический синтез точек зрения, которые сейчас представляются противоположными.

Но независимо от исхода этих споров возникновение и развитие теории множеств явилось одним из важнейших этапов в истории математики, в процессе овладения человечеством понятием бесконечности. А этот процесс никогда не окончится, так как неисчерпаема сама идея бесконечности, в которой человеческий ум неизменно открывает все новые и новые стороны.