Новости    Библиотека    Энциклопедия    Биографии    Карта сайта    Ссылки    О проекте




предыдущая главасодержаниеследующая глава

Задачи

К разделу 1 (здесь и далее переменная z - комплексная, х и у вещественные)

1. Найдите критические точки и критические значения отображений z → z2, z → z2 + εz.

2. Найдите критические точки и критические значения отображений (х, у) → (х2 + ау, у2 + bх)

3. Исследуйте бифуркации особых точек дифференциального уравнения х = -х3 + х + а при изменении параметра а.

4. Исследуйте бифуркации особых точек в системе дифференциальных уравнений z = εz - z2z + Az3, где A - фиксированное комплексное число, а комплексное число ε обходит вокруг нуля,

5. Сколько имеется топологически различных вещественных многочленов пятой степени х5 + ... с четырьмя различными вещественными критическими значениями? Два многочлена топологически одинаковы, если один можно превратить в другой непрерывными и сохраняющими ориентации заменами зависимой и независимой вещественных переменных.

6. Обозначим через аn число типов многочленов хn+1 +... с n различными критическими значениями (так что ответ в предыдущей задаче будет обозначаться а4) и составим функцию р (t) = Σantn/n!. Докажите, что р (t) = sec t + tg t (так что an выражаются через числа Бернулли при нечетных n и через числа Эйлера - при четных).

7. Рассмотрим в пространстве многочленов х5 + ... область, образованную многочленами с четырьмя различными вещественными критическими значениями. Сколько компонент связности имеет эта область?

8. Предположим, что второй дифференциал гладкой функции двух переменных в критической точке положительно определен. Докажите, что после надлежащей гладкой замены зависимой переменной u и независимых переменных (х, у) функция приводится к виду u = х2 + у2.

9. Предположим, что второй дифференциал гладкой функции n переменных в критической точке - невырожденная квадратичная форма. Докажите, что после надлежащей гладкой замены зависимой переменной u и n независимых переменных (х, у) функция приводится к виду и = х21 + . . . + х2k - у21 - . . . - y21, k + l = n.

10. Докажите, что в критической точке аналитической функции двух переменных исчезают, как правило, 6 (комплексных) точек перегиба линии уровня,

К разделу 2

11. Сколько точек сборки имеет отображение z → z2 + εz?

12. Имеют ли точки сборки отображение (х, у) → (х2 + ау, у2 + bх)?

13. Докажите, что число точек сборки отображения (общего положения) сферы на плоскость четно.

14. Пусть на сфере дана функция, интеграл которой по сфере равен нулю и для которой нуль - не критическое значение. Существует ли гладкое отображение сферы на плоскость, все особенности которого - складки и которое имеет якобианом данную функцию?

15. Докажите, что отображение сферы на плоскость, все критические точки которого - складки и сборки, может иметь линией критических точек любую (непустую) гладкую кривую на сфере.

16. Предположим, что все критические точки гладкого отображения сферы на плоскость - складки и сборки и что число областей на сфере, где якобиан отображения положителен, равно а, а где он отрицателен - b. Докажите, что число сборок не меньше, чем 2 | а - b |.

17. Сопоставим каждому вектору нормали к эллипсу его конец. Докажите, что построенное отображение цилиндра на плоскость имеет четыре точки сборки.

18. Если заменить в задаче 17 эллипс несамопересекающейся кривой общего положения, то число точек сборки соответствующего отображения цилиндра на плоскость не меньше четырех.

К разделу 3

19. Рассмотрим на эллипсе функцию "расстояние от точки эллипса до фиксированной точки плоскости", Критические точки таких функций образуют поверхность в трехмерном многообразии - прямом произведении эллипса на плоскость. Сколько сборок имеет проектирование этой поверхности на плоскость? Как выглядит множество критических значений проектирования?

20. Рассмотрим в пространстве функций на окружности множество всех функций, имеющих кратные критические значения. Лежит ли эта гиперповерхность в пространстве функций односторонне или двусторонне (т. е. можно ли ее снабдить трансверсальным направлением, меняющимся непрерывно вплоть до точек самопересечения и граничных точек)?

К разделу 4

21. Рассмотрим параболический цилиндр, опирающийся образующей прямой на горизонтальную плоскость. При каких положениях центра тяжести цилиндра над точкой касания положение равновесия устойчиво, а при каких - нет? Исследуйте особенности границы области устойчивости.

22. Нарисуйте график функции

f (u, υ) = min (x4 + uх2 + υx).

К разделу 5

23. При каких значениях параметров теряет устойчивость положение равновесия системы х - х (а + bх + cy), y = y(d + ex fy), для которого ху ≠ 0? Как выглядят фазовые кривые при этих значениях параметров?

24. Рассмотрим гладко зависящее от одного параметра векторное поле на прямой. Докажите, что гладкой заменой параметра и гладкой заменой координаты на прямой, гладко зависящей от параметра, такое поле общего положения приводится (в окрестности бифурцирующей особой точки) к полю, определяющему эволюционную систему х = х2 + а + f (а) х3, где f - гладкая функция, а - параметр (в аналитическом случае все замены можно сделать аналитическими).

25. Исследуйте поверхность равновесий зависящего от двух параметров семейства уравнений х = -х3 + ах + b и особенности ее проектирования на плоскость параметров. Какая часть поверхности равновесий соответствует устойчивым положениям равновесия? Исследуйте поведение фазовой точки при медленном изменении параметров а (t), b (t).

26. Составьте однопараметрическое семейство векторных полей на прямой, соответствующее бифуркациям рис. 13.

К разделу 6

27. Мягко или жестко теряет устойчивость положение равновесия системы z = (iω + a) z + Cz | z |2 при прохождении вещественного параметра а через нуль? Сравните результат с рис. 16.

28. Задайте формулами бифуркацию рис. 21 (компоненты поля - многочлены степени 5).

29. Исследуйте потерю устойчивости цикла z = 0, | ω | = 1 системы

z = (а - 1 + i/2) z + (а + 1)zω ± ω (z + zω)3,
w = iω + ω( 1 - | ω |2)

при прохождении параметра а через нуль. Найдите приближенно ответвляющийся двукратный цикл и исследуйте его устойчивость. Сравните результаты с рис. 22.

30. Исследуйте бифуркации фазового портрета системы, описывающей резонанс p/q, q ≥ 5, z = εz + z | z |2 A (| z |2) + zq-1 при обходе малого комплексного числа ε вокруг нуля (А - комплексная функция общего положения). Сравните результаты с рис. 23,

31. Исследуйте бифуркации фазового портрета системы, описывающей резонанс 1:3, z = εz + Az | z |2 + z2 при обходе комплексного параметра ε вокруг нуля (А - комплексное число общего положения).

32. Исследуйте бифуркации фазового портрета системы, описывающей резонанс 1:4, z = εz + Az | z |2 + z3, при обходе комплексного параметра ε вокруг нуля (на плоскости комплексного переменного А известно 48 областей, различающихся цепочками бифуркаций но не доказано даже, что число разных устойчивых цепочек конечно).

33. Исследовать затягивание потери устойчивости в системе z = (i + a) z - z | z |2 + b при медленном изменении параметров а = εt, b =cεt.

К разделу 7

34. Найти границу устойчивости семейства уравнений х + ах + bх = 0 на плоскости вещественных параметров (а, b).

35. Доказать, что граница устойчивости семейства уравнений х + ах + bх + сх = 0 диффеоморфна поверхности ω2 = u2υ2, u ≥ 0, υ ≥ 0.

36. Доказать, что граница устойчивости семейства уравнений z + Az + Bz = 0 в трехмерном пространстве Im А =2 диффеоморфна поверхности ω2 = uυ2, u ≥ 0, υ ≥ 0.

37. Найти число типов особенностей границы устойчивости семейства общего положения линейных многомерных систем, зависящих от четырех параметров,

К разделу 8

38. Исследовать особенности каустики (огибающей семейства нормалей) трехосного эллипсоида.

39. Исследовать особенности каустики - огибающей семейства геодезических на эллипсоиде, выходящих из одной точки.

40. Доказать, что каустика - огибающая семейства геодезических любой римановой метрики общего положения на сфере, выходящих из одной точки, имеет не менее четырех точек возврата.

41. Доказать, что объединение касательных прямых к кривой {(t2, t3, t4)} диффеоморфно множеству многочленов х4 + ах2 + bх + с, имеющих кратные вещественные корни.

42. Доказать, что гладкая функция f (а, b, с), производная которой по а в начале координат отлична от нуля, приводится в окрестности начала координат к виду ± а + const гладкой заменой координат, сохраняющей ласточкин хвост предыдущей задачи.

43. Доказать, что гладкое векторное поле, вектор которого в начале координат имеет ненулевую с-компоненту, приводится в окрестности начала координат к полю ± ∂/∂с (задающему систему а = 0, b = 0, с = ±1) гладкой заменой координат, сохраняющей ласточкин хвост двух предыдущих задач.

44. Пусть большая каустика в трехмерном пространстве-времени образована теми значениями параметра q = (q1, q2, q3), при которых функция х4 + q1х2 + сх имеет вырожденные критические точки. Нарисовать перестройки мгновенных каустик, получающихся при пересечении большой каустики изохронами, для функции времени t = q1 ± q23.

45. Доказать, что функция времени общего положения приводится в окрестности каждой точки большой каустики предыдущей задачи, либо к виду t = q3 + const, либо к виду t = ± q1 ± q23 + const сохраняющим эту большую каустику диффеоморфизмом пространства-времени.

46. Пусть большая каустика в четырехмерном пространстве-времени образована теми значениями параметра q = (q1, q2, q4), при которых функция х4 + q1x2 + q2х имеет вырожденные критические точки. Исследовать перестройки мгновенных каустик, получающихся при пересечении большой каустики изохронами, для функции времени t = q1 ± q23 ± q24.

47. Нарисовать поверхность, образованную теми значениями параметра q, при которых функция х2у ± у3 + q1y2 + q2y + q3x имеет вырожденные критические точки.

48. Пусть большая каустика в четырехмерном пространстве-времени образована теми значениями параметра q, при которых функция х2у + у4 + q1y3 + q2y2 + q3y + q4x имеет вырожденные критические точки. Исследовать перестройки мгновенных каустик, получающихся при пересечении большой каустики изохронами различных функций времени общего положения.

49. Нарисуйте образ плоскости (u, ν) и ее разбиения на прямые u = const (или на кривые t = const, где ∂t/∂u ≠ 0) при отображении (u, ν) → (u2, ν, uν) в трехмерное пространство. Сравните ответ с рис. 46 и с рис. 31.

50. Нарисуйте образ поверхности общего положения с полукубическим ребром возврата при отображении складывания трехмерного пространства (u, ν, ω) → (u, ν, ω2) (предполагая, что касательная плоскость поверхности в точке трансверсального пересечения ребра возврата с плоскостью критических точек ω = 0 не содержит направления оси ω). Сравните ответ с рис. 46.

51. Нарисуйте поверхность у2 = z3х2 и сравните ответ с рис. 46 и с предыдущей задачей.

52. Нарисуйте объединение касательных к кривой {(t, t2, t4)} и сравните с предыдущими задачами.

53. Докажите, что объединение касательных к прост ранственной кривой общего положения локально диффеоморфно поверхности у2 = z3x2 в окрестности каждой точки, где кручение кривой обращается в нуль.

К разделу 9

54. Определить плотность пылевидной тяготеющей одномерной среды на замкнутой кривой в фазовой плоскости так, чтобы при движении частиц эта кривая и эта плотность сохранялись (указание: кривая q2 + р2 + | р |3 = 4/27).

55. Доказать, что при пролегании одномерного потока пылевидной среды, определяющего первоначально гладкое поле скоростей, над скоплением с коренной особенностью плотности (а (х, t) х-1/2 θ(х) + b (x, t), где а и b - заданные гладкие функции, а ≠ 0, θ (х) = 0 при х < 0, 1 при х > 0) поле скоростей приобретает слабую особенность вида с (x, t) х3/2 θ (х); гладкой заменой переменных можно свести с к единице.

56. Рассмотрим N частиц в единичном кубе и окружим каждую из них шаром радиуса r. При каком минимальном r эти шары образуют связную цепь диаметра единица? Покажите, что радиус убывает как C/N для распределений частиц вдоль линий, как C/N1/2 для распределений вдоль поверхностей, как C/N3/2 для пространственных распределений (вычисляемая таким способом "размерность" крупномасштабного распределения галактик оказывается лежащей между 1 и 2).

К разделу 10

57. Нарисуйте множество негладкости функции

F (у) = min (min (х4 + y1x2 + y2), у3)

и сравните с рис. 53.

58. Нарисуйте перестройку линий негладкости функции F (y1, у2, у3) = min (y1, y2, у1 + у2), заданной в трехмерном пространстве-времени, на изохронах t = const, для функции времени t = у1 + у2 ± у23 и сравните с рис. 53.

59. Докажите,, что особенности поверхностей уровня общего положения функций максимума типичных n- параметрических семейств функций такие же, как особенности графиков функций максимума n - 1-параметрических семейств общего положения (причем множества меньших значений соответствуют надграфикам). В этой ситуации "хорошие" значения параметров те, в которых функция максимума меньше фиксированной константы (а "хорошие" значения константы - те, которые больше максимума),

К разделу 11

60. Рассмотрим уравнение х + kх ± х = 0.

Определить, какие значения к отвечают сложенным фокусам, какие - сложенным узлам и какие - сложенным седлам на плоскости (х, Е = х2 + х2),

61. Найти поверхность, асимптотические линии которой образуют локально систему интегральных кривых сложенного фокуса (узла, седла).

62. Докажите, что интегральные кривые сложенного седла, соответствующие лежащим по одну сторону от складки сепаратрисам, подходят к особой точке с противоположных сторон, а интегральные кривые сложенного узла, соответствующие лежащим по одну сторону от складки выделенным фазовым кривым узла, подходят к особой точке с одной стороны,

63. Рассмотрим k-параметрическое семейство гладких гиперповерхностей в n-мерном линейном пространстве, снабженном проекцией на n - 1-мерное подпространство. Насколько негладким может оказаться видимый контур, если проектируемая поверхность выпукла, а семейство - общего положения?

64. Найти число модулей особенностей выпуклых оболочек типичных гладких поверхностей в четырехмерном пространстве и типичных гладких подмногообразий размерности 3 в пятимерном пространстве.

К разделу 12

65. Плоская кривая, двойственная к кривой у = х2 + х5/2, диффеоморфна исходной кривой, а двойственная к диффеоморфной ей кривой у = х5/2 - нет.

66. Кривая, двойственная к типичной кривой с особенностью степени 5/2, имеет подобную же особенность.

67. Число (комплексных) особых точек типа 7 (см. рис. 64) на типичной алгебраической поверхности достаточно большой степени d равно 2d (d - 2) (11d - 24), а типа 5 - 5d (d - 4) (7d - 12).

68. Когда поверхность уровня типичной функции трех переменных приближается к поверхности критического уровня, в критической точке исчезают 24 (комплексные) точки типа 7 (рис, 64).

К разделу 13

69. Эвольвента плоской кривой, проходящая через обыкновенную точку перегиба кривой, имеет в ней особенность типа 5/3.

70. Нарисуйте эвольвенты кубической параболы у = х3.

71. Нарисуйте график (трехзначной) функции времени вблизи точки кубического перегиба ограничивающей препятствие кривой на плоскости.

72. Нарисуйте поверхность, образованную в трехмерном пространстве линейных элементов на плоскости элементами, касательными к эвольвентам плоской кривой, вблизи точки (кубического) перегиба этой кривой. Какие особенности имеет эта поверхность и какие - ее проектирование на плоскость (сопоставляющее каждому линейному элементу точку его приложения)?

73. Рассмотрим на поверхности препятствия функцию, равную сумме расстояния до цели (по прямой) и расстояния до некоторой начальной точки вдоль поверхности препятствия. Докажите, что кратности критических точек этой функции четны.

74. Уравнения С = ∫x0(t3 + At + B)2 dt, x3 + Ax + В = 0, определяют в пространстве с координатами (А, В, С) поверхность. Нарисуйте эту поверхность и исследуйте ее особенности (она локально диффеоморфна фронту пространственной задачи об обходе препятствия в точке, соответствующей сборке гауссова отображения пучка, и ее ребро возврата степени 5/2 имеет полукубическую точку возврата в начале координат).

К разделу 14

75. Сколько симплектически неэквивалентных плоскостей размерности k имеет симплектическое пространство большей размерности? Докажите, что их число равно целой части k/2.

76. Полным флагом в линейном пространстве называется набор из последовательно вложенных друг в друга подпространств всех размерностей. Сколько симплектически неэквивалентных полных флагов имеет симплектическое пространство размерности 2n? Докажите, что их число равно (2n - 1)!! = 1 · 3 · 5 · ... ·(2n - 1).

77. В пространстве однородных многочленов нечетной степени от двух переменных имеется симплектическая структура, инвариантная относительно естественного действия группы сохраняющих площади линейных преобразований плоскости; эта структура единственна (с точностью до ненулевого множителя). Найдите ее явное выражение через коэффициенты многочленов.

78. В каждом слое лагранжева расслоения имеется естественная локальная аффинная структура (избранный класс систем координат, в которых лагранжевы эквивалентности задают аффинные преобразования).

79. Докажите, что график преобразования Лежандра гладкой функции является фронтом (образом лежандрова отображения гладкого лежандрова многообразия),

80. Основания перпендикуляров, опущенных из начала координат на касательные плоскости не содержащей начала координат поверхности в евклидовом пространстве, образуют поверхность, называемую производной (исходная же поверхность называется первообразной для своей производной). Докажите, что особенности производных гладких поверхностей - лежандровы (т. е. что производная диффеоморфна фронту лежандрова отображения).

81 (продолжение). Докажите, что особенности первообразных гладких поверхностей - лежандровы. Нарисуйте первообразные эллипса на плоскости и эллипсоида в трехмерном пространстве.

82. Фронтом какого лежандрова отображения является эквидистанта гладкой поверхности в евклидовом пространстве?

83. Фронтом какого лежандрова отображения является график (многозначной) функции расстояния до данной гладкой поверхности в евклидовом пространстве?

84. Докажите, что в слоях лежандрова расслоения имеются естественные структуры локально проективных пространств (так что лежандровы эквивалентности, т. е. диффеоморфизмы, сохраняющие контактную структуру и структуру лежандрова расслоения, задают на слоях проективные преобразования).

К разделу 51

85. Продолжим действие группы, порожденной отражениями плоскости в двух составляющих угол π/q зеркалах, на комплексную плоскость. Докажите, что ногообразие орбит само гомеоморфно комплексной плоскости, а многообразие нерегулярных орбит (орбит точек зеркал) - кривой z2 = ωq на плоскости двух комплексных переменных.

86. Продолжим действие группы, порожденной отражениями в диагональных плоскостях хi = xj трехмерного пространства х1 + х2 + х3 + х4 = 0 на комплексное пространство. Докажите, что многообразие орбит - трехмерное комплексное пространство, а многообразие нерегулярных орбит - комплексный ласточкин хвост.

87. На рис. 81 изображена вещественная часть многообразия нерегулярных орбит действия группы симметрий икосаэдра на комплексном пространстве. Где располагаются вещественные орбиты?

88. Преобразования группы монодромии, заданные функцией х3 - εх + у2, действуют на торе без точки, Докажите, что любую замкнутую несамопересекающуюся кривую на торе без точки, не стягиваемую на торе, можно перевести в любую другую такую кривую преобразованием из группы монодромии.

89. Сколько ручек имеет комплексная линия неособого уровня функции zn + ω2? Докажите, что их число равно g, если n = 2g + 1 или 2g + 2.

К разделу 16

90. Степени преобразования комплексной плоскости в себя (z, ω) → (az, aω), a = e2πi/q, образуют группу - бинарную группу g-угольника. Докажите, что все инвариантные относительно этой группы многочлены выражаются через X = zq, Y = ωq, Z = zω и что многообразие орбит совпадает с поверхностью XY = Zq в трехмерном комплексном пространстве. Докажите, что эта поверхность диффеоморфна нулевому множеству уровня простой функции Aq-1 трех комплексных переменных.

91. Докажите, что многообразие орбит действия бинарной группы тетраэдра (октаэдра, икосаэдра) на комплексной плоскости совпадает с поверхностью нулевого уровня функции Е67, Е8) от трех комплексных переменных.

92. Набор проходящих через начало координат гладких подмногообразий называется простым, если все близкие наборы исчерпываются конечным списком (с точностью до диффеоморфизма окрестности начала координат). Найдите все простые наборы на плоскости и в трехмерном пространстве.

93. Критическая точка 0 гладкой функции f (x, у) называется простой краевой особенностью (на плоскости с краем х = 0), если все близкие функции исчерпываются конечным списком (с точностью до диффеоморфизма окрестности начала координат, сохраняющего прямую х = 0). Докажите, что простые критические точки функции двух комплексных переменных исчерпываются списком

Вk = хk + y2 (k ≥ 2); Сk = ху + уk (k ≥ 3), F4 = x2 + у3

(уравнение края - х = 0),

предыдущая главасодержаниеследующая глава




ИНТЕРЕСНО:

Многомерный математический мир… в вашей голове

В школах Великобритании введут китайские учебники математики

Найдено самое длинное простое число Мерсенна, состоящее из 22 миллионов цифр

Как математик помог биологам совершить важное открытие

Математические модели помогут хирургам

Почему в математике чаще преуспевают юноши

Физики-практики откровенно не любят математику

В индийской рукописи нашли первое в истории упоминание ноля

Вавилонская глиняная табличка оказалась древнейшей «тригонометрической таблицей» в мире

Ученые рассказали о важной роли игр с пальцами в обучении детей математике
Пользовательского поиска

© Злыгостев Алексей Сергеевич, статьи, подборка материалов, оформление, разработка ПО 2001-2017
При копировании материалов проекта обязательно ставить ссылку на страницу источник:
http://mathemlib.ru/ 'MathemLib.ru: Математическая библиотека'
Рейтинг@Mail.ru