Список литературы

К предисловию

Работы Тома, Мазера, Морена и др. собраны в сборнике пере водов: Особенности дифференцируемых отображений. - М.: Мир 1968. - 268 с.

Обсуждаемые в предисловии статьи:

Тюрина Г. Н. Топологические свойства изолированных особенностей комплексных пространств коразмерности один // Изв. АН СССР. Сер. мат. - 1968. - Т. 32. - С. 605 - 620.

Nye J. F., Hannay J. Н. The orientation and distortion of caustics in geometrical optics // Optica Acta. - 1984. - V. 31, № 1. - P. 115 - 130.

Чеканов Ю. В. Каустики геометрической оптики // Функцион. анализ и его прил. - 1986. - Т. 20, вып. 3. - С. 66 - 69.

О гипотезе Тома:

Thom R. Topological models in biology // Topology. - 1969. V. 8. - P. 313 - 336.

Guckenheimer J. Bifurcation and Catastrophe // Proc. Internat. Sympos. in Dynamical Systems (Salvador, 1971) / Ed. M. Peixoto. - New York: Academic Press, 1973.

Xeсин Б. А. Бифуркация особых точек градиентных динамических систем // Функцион. анализ и его прил. - 1986. - Т. 20, вып. 3. - С. 94 - 95.

Современные проблемы математики. - М.: ВИНИТИ, 1988. - Т. 33.- С. 113 - 155. - (Итоги науки и техники).

Монтель об особенностях:

Моntеl P. Sur les methodes recentes pour l'etude des singuliarites des fonctions analytiques // Тр. I Всесоюзного съезда математиков (Харьков, 1930). - М.; Л.: ОНТИ НКТП СССР, 1936. - С. 36 - 57.

К разделам 1 - 5

Обширная библиография имеется в следующих источниках:

Постон Т., Стюарт Й. Теория катастроф и ее приложения.- М.: Мир, 1980. - 608 с.

Арнольд В.И., Варченко А. Н., Гусейн-Заде С. М. Особенности дифференцируемых отображений. Т. I. - М.: Наука, 1982.- 304 с. Т. II. - М,: Наука, 1984. - 336 с.

Zeeman Е. С., B.W.W. 1981 Bibliography on Catastrophe Theory. - Coventry: University of Warwick, 1981. - 73 p.

Арнольд В. И. Особенности систем лучей // Успехи мат. наук. - 1983. - Т. 38, вып. 2. - С. 77 - 147.

Современные проблемы математики. - М.: ВИНИТИ, 1983. - Т. 22. - 244 с. - (Итоги науки и техники); 1988. - Т. 33. - 236 с. - (Итоги науки и техники).

Современные проблемы математики. Фундаментальные направления. - М.: ВИНИТИ, 1986. - Т. 5. - 284 с.; 1988. - Т. 6. - С. 256, 1989. - Т. 39. - С. 256.

Томпсон Дж. М. Т. Неустойчивости и катастрофы в науке и технике. - М.: Мир, 1985. - 256 с.

Первая работа по теории особенностей:

Whitney Н. On singularities of Mappings of Euclidean Spaces I. Mappings of the Plane into the Plane // Ann. Math. - 1955. - V. 62. - P. 374 - 410.

Учебники:

Брёкер Т., Ландер Л. Дифференцируемые ростки и катастрофы. - М.: Мир, 1977. - 208 с.

Голубицкий М., Гийемин В. Устойчивые отображения и их особенности. - М.: Мир, 1977. - 296 с.

Джилмор Р. Теория катастроф для ученых и инженеров. - М.: Мир, 1983.

Брюс Дж., Джиблин П. Кривые и особенности. - М.: Мир, 1988.

Дискуссия о катастрофах:

Thom R. Topological models in biology // Topology. - 1969. - V. 8, № 3. - P. 313 - 335.

Thom R. Stabilite structurelle et morphogenese. - New York: Benjamin, 1972. - 362 p.

Thom R. Catastrophe Theory: Its present state and future perspectives // Dynamical Systems. Warwick, 1974. - Berlin - Heidelberg - New York: Springer-Verlag, 1 - 75. - P. 366 - 372. Lecture Notes Math. V. 468.

Zeeman E. C. Catastrophe theory: a reply to Thom // Loc, cit. P. 373 - 383.

Zeeman E. C. Catastrophe theory: Selected Papers. 1972. - 1977. Addison-Wesley. Reading Mass. 1977.

Guckenheimer J. The Catastrophe Controversy // Math. Intell. 1978. - V. 1. - P. 15 - 20.

Fussbudget H. J., Znarler R. S. Sagasity theory. A. Critique // Math. Intell. - 1979. - V. 2. - P. 56 - 59.

К разделу 6

Диссертация Пуанкаре:

Poincare Н. Sur les proprietes des fonctions definies par les equations aux differences partielles Paris.: G. V. 1879, Oeuvres de Henry Poincare, Tome I, Paris: Gauthier - Villars. 1951, XLIX - CXXIX.

Диссертация содержит, между прочим, теорему о версальных деформациях для нульмерных полных пересечений (лемма IV на стр. XI) и метод нормальных форм.

Работы Андропова по теории структурной устойчивости и теории бифуркаций были представлены уже в докладе:

Андронов А. А. Математические проблемы теории автоколебаний // I Всесоюзная конференция по колебаниям. - М.; Л.: ГТТИ, 1933. - С. 32 - 72; Андронов А. А. Соб. соч. М., 1956. - С. 85 - 124).

Его статья 1939 г. (совместная с Е. А. Леонтович) содержит исследование обоих типов бифуркации рождения цикла: локального (цикл рождается из положения равновесия) и нелокального (рождение цикла из петли сепаратрисы). См.:

Андронов А. А., Леонтович Е. А. Некоторые случаи зависимости предельных циклов от параметров // Учен. зап. Горьковского гос. ун-та. - 1939. - № 6. - С. 3 - 24.

Андронов А. А., [Витт А. А.], Xайкин С. Э. Теория колебаний. - М.: Физматгиз, 1937 (в поздних изданиях указывается, что фамилия второго автора была пропущена "вследствие трагической ошибки").

Работы об экспоненциальном разбегании траекторий суммированы в:

Аносов Д. В., Синай Я. Г. Некоторые гладкие эргодические системы // Успехи мат. наук. - 1967. - Т. 22, вып. 5. - С. 107 - 172.

Смейл С. Дифференцируемые динамические системы // Успехи мат. наук. - 1970. - Т. 25, вып. 1. - С. 113 - 185.

Lorenz E. N. Deterministic nonperiodic flow // J. Atomos. Sci. - 1963. - V. 20. - P. 130 - 141.

Приложения экспоненциального разбегания траекторий к теории гидродинамической неустойчивости описаны в:

Arnold V.I. Sur la geometrie differentielle des groups de Lie de dimension infinie et ses applications a l'hydrodynamique des fluicles parfaits // Ann. Inst. Fourier. - 1966. - V. 16, № 1. - P. 319 - 361.

Цитированные в тексте работы об оценках размерности аттракторов:

Ильятенко Ю. С. Слабо сжимающие системы и аттракторы галёркинских приближений для уравнений Навье - Стокса // Успехи мат. наук. - 1981. - Т. 36, вып. 3. - С. 243 - 244.

Ильяшенко Ю.С., Четаев А. H. Слабо сжимающие системы и аттракторы галёркинских приближений для уравнений Навье - Стокса на двумерном торе // Успехи механики. - 1982. - Т. 5, вып. 1; 2. - С. 31 - 63.

Бабин А. В., Вишик М. И. Аттракторы для эволюционных дифференциальных уравнений в частных производных и оценки их размерности // Успехи мат. наук. - 1983. - Т. 38, вып. 4. - С. 133 - 187.

Теорема Богданова впервые была анонсирована в обзоре:

Арнольд В. И. Лекции о бифуркациях и версальных семействах // Успехи мат. наук. - 1972. - 27, вып. 5. - С. 119 - 184.

Доказательства опубликованы в:

Богданов Р. И. Бифуркация предельного цикла в семействе векторных полей на плоскости // Тр. семинара им. И. Г. Петровского. - 1976. - Т. 2. - С. 23 - 35.

Богданов Р. И. Версальная деформация особенности векторного поля на плоскости в случае нулевых собственных чисел // Тр. семинара им. И. Г. Петровского. - 1976. - Т. 2. - С. 87 - 65.

Случаи симметрии порядка 2, 8 или ≥5:

Мельников В. К. Качественное описание резонансных явлений в нелинейных системах. - Препринт / ОИЯФ. - Дубна, 1962. - Р. 1013. - С. 1 - 17.

Хорозов И. Е. Версальные деформации эквивариантных векторных полей для случаев симметрии порядка 2 и 3 // Тр. семинара им. И. Г. Петровского. - 1979. - Т. 5. - С. 163 - 192.

Симметрия порядка 4:

Арнольд В. И. Потеря устойчивости автоколебаний вблизи резонанса и версальные деформации эквивариантных векторных полей // Функцион. анализ и его прил. - 1977. - Т. 11, вып. 2. - С. 1 - 10.

Нейштадт А. И. Бифуркации фазового портрета некоторых систем уравнений, возникающих в задаче о теории потери устойчивости вблизи резонанса 1:4// Прикл. математика и механика. - 1978. - Т. 42.- С. 830 - 840.

Березовская Ф. С., Xибник А. И. О бифуркациях сепаратрис в задаче о потере устойчивости автоколебаний вблизи резонанса 1:4 // Прикл. математика и механика. - 1980. - Т. 44. - С. 938 - 943.

Затягивание потери устойчивости:

Шишкова М. А. Рассмотрение одной системы дифференциальных уравнений с малым параметром при высших производных // ДАН СССР. - 1973. - Т. 209, № 3. - С. 576 - 579.

Нейштадт А. И. Асимптотическое исследование потери устойчивости равновесия при медленном прохождении пары собственных чисел через мнимую ось // Успехи мат. наук.- 1985. - Т. 40, вып. 5. - С. 300 - 301.

Нейштадт А. И. О затягивании потери устойчивости при динамических бифуркациях I, Н // Дифференц. уравнения. - 1987. - Т. 23, вып. 12. - С. 2060 - 2067; 1988. - Т. 24, вып. 2. - С. 226 - 233.

Каскады удвоений:

Шапиро А. П. Математические модели конкуренции // Управление и информация.- Владивосток: Дальневосточ. науч. центр АН СССР, 1974. - Т. 10. - С. 5 -75.

Мау R. М. Biological populations obeying difference equations; stable points, stable cycles and chaos // J. Theor. Biol. 1975. V. 51. - P. 511 - 524.

Feigenbaum M. Quantitative universality for a class of nonlinear transformations // J. Stat. Phys. - 1978. - V. 19, № 1. - P. 25 - 52.

Соllet P., Eсkman J. P. Iterated maps of the interval as dynamical system.- Boston: Birkhauser, 1980. - 248 p.

Бифуркации коразмерности два:

Жолондек Г. Версальность одного семейства симметричных векторных полей на плоскости // Мат. сб. - 1983. - № 120. - С. 473 - 499.

Zoladek H. Bifurcations of Certain Family of Planar Vector Fields Tangent to Axes // Journ. of Diff. Equa. - 1987. - V. 67, № 1. - P. 1 - 55.

К разделу 7

Теорема конечности доказана в:

Левантовскпй Л. В. Особенности границы области устойчивости // Функцион. анализ и его прил. - 1982. - Т. 16, вып. 1. - С. 44 - 48.

Простейшие особенности описаны в:

Арнольд В. И. Лекции о бифуркациях и версальных семействах // Успехи мат. наук. - 1972. - Т. 27, вып. 5. - С. 119 - 184.

К разделу 8

Другой подход к теории перестроек волновых фронтов и каустик изложен в статье:

Wassermann D. Stability of unfoldings in space in time // Acta Math. - 1975. - V. 135. - P. 57 - 128.

Интересно отметить, что неудачный выбор точки зрения и постановки задачи привел автора этой статьи к сложным ответам в простейших случаях и скрыл от него управляющие более сложными случаями простые общие законы, описанные в цитируемых ниже работах. Изображения перестроек волновых фронтов в трехмерном пространстве впервые появились в:

Arnold V. I. Critical points of smooth functions // Proc. of the International Congress of Mathematicians, 1974. - Vancouver. - 1975. - V. 1. - P. 19 - 40.

Теория перестроек каустик и волновых фронтов изложена в статьях:

Arnold V. I. Wave Fronts Evolution and Equivariant Morse Lemma // Comm. Pure Appl. Math. - 1976. - V. 29. - P. 557 - 582.

Закалюкин В. М. Перестройки волновых фронтов, зависящих от одного параметра // Функцион. анализ и его прил. - 1976. - Т. 10, вып. 2. - С. 69 - 70.

Закалюкин В. М. Лежандровы отображения в гамильтоновых системах. - М.: МАИ, 1977. - С. 11 - 16.

Подробное изложение имеется в диссертации В. М. Закалюкина (М.: МГУ, 1978. - 145 с.), см. также:

Закалюкин В. М. Перестройка фронтов и каустик, зависящих от параметра, и версальность отображений // Современные проблемы математики. - М.: ВИНИТИ:, 1983. - Т. 22. - С. 56 - 93. - (Итоги науки и техники.)

Изображения перестроек каустик впервые появились в первом русском варианте настоящей книги:

Арнольд В. И. Теория катастроф // Природа. - 1979. - № 10. - С. 54 - 63.

Во французском переводе Ш. - М. Кантора (Matematica. - 1980, May. - P. 3 - 20) эти изображения были заменены страницей комментариев Р. Тома.

Теория бикаустик изложена в:

Арнольд В. И. Перестройки особенностей потенциальных потоков бесстолкновительной среды и метаморфозы каустик в трехмерном пространстве // Тр. семинара им. И. Г. Петровского. - 1982. - Т. 8. - С. 21 - 57.

Результаты о бифуркациях были анонсированы на семинаре им. И. Г. Петровского осенью 1980 г. (см.: Успехи мат. наук. - 1981. - Т. 36, вып. 4. - С. 233), а изображения бикаустик впервые появились в 1981 г. в первом издании настоящей книги. Некоторые из этих поверхностей изучались в работах Щербака и Гафни и дю Плессиса 1 82 г. (в теории Щербака - в качестве объединений касательных к пространственным кривым).

Классификация особенностей каустик и волновых фронтов до размерности 10 проведена в статье:

Закалюкин В. М. Лагранжевы и лежандровы особенности // Функцион. анализ и его прил. - 1976. - Т. 10, вып. 1. - С. 26 - 36

и исправлена в § 21 книги:

Арнольд В. И., Варченко А. Н., Гусейн-Заде С. М. Особенности дифференцируемых отображений. I. Классификация критических точен, каустик и волновых фронтов. - М.: Наука, 1982. - 304 с.

Работа о движении льда:

Nуе J. F., Thorndike A. S. Events in evolving three-dimensional vector fields // J. Phys. A. - 1980. - V. 13. - P. 1 - 14.

К разделу 9

Lifshitz E. M., Halatnikоv I. M. Investigations in relativists cosmology // Adv. Phys. - 1963. - V. 12. - P. 185.

Zeldovich Ya. B. Gravitational instability: an approximate theory for large density perturbations // Astron. Astrophys. - 1970. - V. 5. - P. 84 - 89.

Arnоld V. I., Shandarin S. F., Zeldоviсh Ya. B. The Large Scale Structure of the Universe. I. General Properties. One and Two-Dimensional Models// Geophys. Astrophys. Fluid Dvn. - 1182. - V. 20. - P. 111 - 130.

Арнольд В. И. Перестройки особенностей потенциальных потоков бесстолкновительной среды и метаморфозы каустик в трехмерном пространстве // Тр. семинара им. И. Г. Петровского. - 1982. - Т. 8. - С. 21 - 57.

Аrnоld V. I. Some Algebro-Geometrical Aspects of the Newton Attraction Theory // Arithmetic and Geometry. II. Geometry / Boston: Birkbauser. 1983. - P. 1 - 3. Progress in Math: V. 36.

Шандарин С. Ф. Теория перколяции и ячеистая структура Вселенной. - Препринт / ИПМ им. М. В. Келдыша. - М., 1982. - № 137. - С. 1 - 15.

К разделу 10

Брызгалова Л. Н. Особенности максимума функции, зависящей от параметра // Функцион. анализ и его прил. - 1977. - Т. 11, вып. 1. - С. 59 - 60.

Врызгалова Л. Н. Функция максимума семейства функций, зависящих от параметров // Функцион. анализ и его прил. - 1978. - Т. 12, вып. 1. - С. 66 - 67.

Васильев В. А. Асимптотика экспоненциальных интегралов, диаграммы Ньютона и классификация точек минимума // Функцион. анализ и его прил. - 1977. - Т. И, вып. 3. - С. 1 - 11.

Матов В. И. Топологическая классификация ростков функций максимума и минимакса семейств функций- общего положения // Успехи мат. наук. - 1982. - Т. 37, выи. 4. - С. 129 - 130.

Матов В. И. Области эллиптичности семейств однородных многочленов и функции экстремума // Функцион. анализ и его прил. - 1985. - Т. 19, вып. 2. - С. 26 - 36.

Богаевский И. А. Перестройки особенностей функций минимума и бифуркации ударных волн уравнения Бюргерса с исчезающей вязкостью // Алгебра и анализ. - 1989. - Т. 1, № 4. - С. 1 - 16.

К разделу 11

Классификация Давыдова построена в его диссертации:

Давыдов Л. А. Особенности в двумерных управляемых системах (М.: МГУ, 1982. - 149 c.).

Результаты частично анонсированы в:

Давыдов А. А. Особенности границы достижимости в двумерных управляемых системах // Успехи мат. наук - 1982 - Т. 37, вып. 3. - С. 183 - 184.

Давыдов А. А. Граница достижимости в двумерных управляемых системах // Успехи мат. наук. - 1182. - Т. 37, вып. 4. - С. 129.

Доказательства опубликованы в:

Давыдов А. А. Граница множества достижимости в многомерных управляемых системах // Тр. Тбил. ун-та. Сер. Мат., Мех., Астрон. - 1982. - Т. 13; 14. - С. 78 - 96.

(о гёльдеровости и липшицевости границы).

Давыдов А. А. Нормальные формы дифференциальных уравнений, не разрешенных относительно производной, в окрестности особой точки // Функцион. анализ и его прил. - 1985. - Т. 19, вып. 2. - С. 1-10.

Давыдов А. А. Нормальные формы медленного движения уравнения релаксационного типа и расслоения биномиальных поверхностей // Мат. сб. - 1987. - Т. 132, вып. 1. - С. 131 - 139.

Давыдов А. А. Особенности полей предельных направлений двумерных управляемых систем // Мат. сб. - 1989. - Т. 136, вып. 4. - С. 478 - 499.

О теоремах Давыдова см.:

Арнольд В.И. Обыкновенные дифференциальные уравнения.- 3 изд. - М.: Наука, 1984. - С. 266 - 267.

Арнольд В.И. Контактная структура, релаксационные колебания и особые точки неявных дифференциальных уравнений // Геометрия и теория особенностей в нелинейных задачах: Сб. науч. тр. - Воронеж: Изд-во Воронеж, ун-та, 1987. - С. 3 - 8.

Особенности выпуклых оболочек, случай поверхности в трехмерном пространстве:

Закалюкин В. М. Особенности выпуклых оболочек гладких многообразий // Функцион. анализ и его прил. - 1987. - Т. 11, вып. 3. - С. 76 - 77.

Кривые в трехмерном пространстве:

Седых В. Д. Особенности выпуклой оболочки кривой в R3 // Функцион. анализ и его прил. - 1977. - Т. 11, вып. 1. - С. 81 - 82.

Общий случай:

Седых В. Д. Особенности выпуклых оболочек // Сиб. мат. журн. - 1983. - Т. 24, вып. 3. - С. 158 - 175.

Седых В. Д. Функциональные модули особенностей выпуклых оболочек многообразий коразмерности 1 и 2 // Мат. сб. - 1982. - Т. 119 (161). - С. 223 - 247.

Особенности тени выпуклой поверхности:

Кisеlmаn С. О. How smooth is the shadow of a smooth convex body? // J. Lond. Math. Soc. 1986. - V. 33, № 1. - P. 101 - 109.

Седых В. Д. Бесконечно гладкая компактная выпуклая гиперповерхность, граница тени которой не дифференцируема дважды // Функцион. анализ и его прил. - 1989. - Т. 23, вып. 3. - С. 86 - 87.

К разделу 12

Kergosien Y. L., Thorn R. Sur les points paraboliques des surfaces // C. R. Acad. Sci. Paris. Ser. A. - 1980. - V. 290. - P. 705 - 710.

[Ошибки частично исправлены в работе:

Кergosien Y. L. La famille des projections orthogonales d'une surface et ses singularites // C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. 1. - 1981. - V. 292. - P. 929 - 932.]

Платонова О. А. Особенности взаимного расположения поверхности и прямой // Успехи мат. наук. - 1981. - Т. 36, вып. 1. - С. 248 - 249.

Платонова О. А. Особенности проекций гладких поверхностей // Успехи мат. наук. - 1984. - Т. 39, вып. 1. - С. 149 - 150.

Платонова О. А. Проекции гладких поверхностей // Тр. семинара им. И. Г. Петровского. - 1984. - Т. 10. - С. 135 - 149.

Ландис Е. Е. Тангенциальные особенности // Функцион. анализ и его прил. - 1981. - Т. 15, вып. 2. - С. 36 - 49.

Более подробное изложение имеется в диссертациях Платоновой (М.: МГУ, 1981. - 150 с.) и Ландис (М.: МГУ, 1983. - 142 c.).

Арнольд В. И. Особенности систем лучей // Успехи мат. наук. - 1983. - Т. 38, вып. 2. - С. 77 - 147.

Щербак О. П. Проективно двойственные пространственные кривые и лежандровы особенности // Тр. Тбил. ун-та. Сер. Мат. Мех. Астрон. - 1982. - Т. 13 - 14 (232 - 233). - С. 280 - 336.

Доказательства теорем о проектированиях основаны на работе:

Арнольд В. И. Индексы особых точек 1-форм на многообразиях с краем, сворачивание инвариантов групп, порожденных отражениями, и особые проектирования гладких поверхностей // Успехи мат. наук. - 1979.- Т. 34, вып. 2. - С. 3 - 38.

Другой подход к проектированиям изложен в книге:

Banchoff Т., Gaffney Т., МсСrоrу С. Cusps of Gauss mappings. - Boston - London - Melbourne: Pitman. - 1982. - Res. Notes Math. - V. 55.

Обзор об особенностях проектирований:

Горюнов В. В. Особенности проектирований полных пересечений // Современные проблемы математики. - М.: ВИНИТИ, 1981. - Т. 22. - С. 167 - 206. - (Итоги науки и техники).

См. также:

Горюнов В. В. Геометрия бифуркационных диаграмм простых проектирований на прямую // Функцион. анализ и его прил. - 1981. - Т. 15, вып. 2. - С. 1 - 8.

Горюнов В. В. Проекции нульмерных полных пересечений на прямую и К (я, 1)-гипотеза // Успехи мат. наук. - 1982. - Т. 37, вып. 3. - С. 179 - 180.

Горюнов В. В. Бифуркационные диафрагмы некоторых простых и квазиоднородных особенностей // Функцион. анализ и его прил. - 1983. - Т. 17, вып. 2. - С. 23 - 37.

Горюнов В. В. Проектирования и векторные поля, касающиеся дискриминанта полного пересечения // Функцион. анализ и его прил. - 1988. - Т. 22, вып. 2. - С. 26 - 37.

К разделу 13

Арнольд В. И. Критические точки функций на многообразии с краем, простые группы Ли В_k, С_k, F₄ и особенности эволют // Успехи мат. наук. - 1978. - Т. 33, вып. 5. - С. 91 - 105.

Платонова О. А. Особенности в задаче о скорейшем обходе препятствия // Функцион. анализ и его прил. - 1981. - Т 15 вып. 2. - С. 86 - 87.

Платонова О. А. Особенности системы лучей вблизи препятствия. - Москва, 1981.150 с. - Деп. ВИНИТИ 11.02.81. - № 647 - 81.

Арнольд В. И. Особенности в вариационном исчислении // Современные проблемы математики. - М.: ВИНИТИ, 1983. - Т. 22. - С. 3 - 55. - (Итоги науки и техники).

К разделу 14

Теория лагранжевых особенностей основана в 1966 г. См.:

Арнольд В. И. О характеристическом классе, входящем в условия квантования // Функцион. анализ и его прил. - 1967. - Т. 1, вып. 1. - С. 1 - 14.

Hormander L. Fourier integral operators, I // Acta Math. - 1971. - V. 127. - P. 79 - 183.

Арнольд В. И. Интегралы быстро осциллирующих функций и особенности проекций лагранжевых многообразий // Функцион. анализ и его прил. - 1972. - Т. 6, вып. 3. - С. 61 - 62.

Арнольд В. И. Нормальные формы функций вблизи вырожденных критических точек, группы Вейля Аk, Dk, Еk и лагранжевы особенности // Функцион. анализ и его прил. - 1972. - Т. 6, вып. 4. - С. 3 - 25.

См. также:

Guckenheimer J. Catastrophes and partial differential equations // Ann. Inst. Fourier. - 1973. - V. 23, № 2. - P. 31 - 59.

Теория лежандровых особенностей впервые появилась в книге:

Арнольд В. И. Математические методы классической механики. - М.: Наука, 1974. - 432 c.

и в докладе:

Arnold V. I. Gritical points of smooth functions // Proo. of the International Congress of Mathematicians (Vancouver 1974). - Canadian Mathematical Congress. - 1975. - V. 1. - P. 19 - 39.

См. также:

Sewell M. J. On Legendre transformations and elementary catastrophes // Math. Proc. Cambr. Philos. Soc. 1977. - V. 82. - P. 147 - 163.

Dubois J. G., Dufоur J. P. La theorie des catastrophes, V. Transformee de Legendre et thermodynamique // Ann. Inst. Henri Poincare, Nouv. Ser. Sect. A. 1978. - V. 29. - P. 1 - 50.

О раскрытом ласточкином хвосте см.:

Арнольд В. И. Лагранжевы многообразия с особенностями, асимптотические лучи и раскрытый ласточкин хвост // Функцион. анализ и его прил. - 1981. - Т. 15, вып. 4. - С. 1 - 14.

Arnold V. I. Singularities of Legendre varieties, of evolvents and of fronts at an obstacle // Ergodic Theory Dyn. Syst. - V. 2. - P. 301 - 309.

Гивенталь А. Б. Лагранжевы многообразия с особенностями и неприводимые sl(2)-модули // Успехи мат. наук. - 1983. - Т. 38, вып. 6. - С. 109 - 110.

Гивенталь А. Б. Многообразия многочленов, имеющих корень фиксированной кократности, и обобщенное уравнение Ньютона // Функцион. анализ и его прил. - 1982. -Т. 16, вып. 1. - С. 13 - 18.

Теоремы Гивенталя о подмногообразиях симплектического и контактного пространства впервые появились в первом издании этой книжки, в 1981 г. Они обобщают теорему Дарбу - Вейнстейна (разница состоит в том, что в теоремах Гивенталя структуры ограничиваются лишь на касательные к подмногообразию векторы). Теорема Дарбу - Вейнстейна доказана в статье:

Weinstein A. Lagrangian submanifolds and hamiltonian Systems // Ann. Math., II Ser. - 1973. - V. 98. - P. 373 - 410.

О подмногообразиях симплектических и контактных пространств см. также:

Арнольд В. И., Гивенталь А. Б. Симплектическая геометрия // Современные проблемы математики, Фундаментальные направления. - М.: ВИНИТИ; 1985. - Т. 4. - С. 5 - 139. - (Итоги науки и техники.)

Арнольд В. И. Особенности в вариационном исчислении // Современные проблемы математики. - М.: ВИНИТИ, 1983. - Т. 22. - С. 3 - 5. - (Итоги науки и техники.)

Melrose R. B. Equivalence of glancing hypersurfaces // Invent. Math. - 1976. - V. 37. - P. 165 - 191.

Melrose R. B. Equivalence of glancing hypersurfaces, II // Math. Ann. 1981. - V. 255. - P. 159 - 198.

Martinet J. Sur les singularites des formes differentielles // Ann. Inst. Fourier. - 1970. - V. 20, № 1. - P. 95-178.

Roussarie R. Modeles locaux de champs et de formes // Asterisque.- 1975. - V. 30.

Golubitsky M., Tischler D. An example of moduli for singular simplectic forms // Invent. Math. - 1977. - V. 38. P. 219 - 225.

Гивенталь А. Б. Особые лагранжевы многообразия и их лагранжевы отображения // Современные проблемы математики. - М.: ВИНИТИ; 1988. - Т. 83. - С. 55 - 112. - (Итоги науки и техники.)

Арнольд В. И. О поверхностях, определяемых гиперболическими уравнениями // Мат. заметки. - 1988. - Т. 44, вып. 1.

Arnold V. I. On the interior scattering of waves, defined by hyperbolic variational principles // J. of Geometry and Physics. - 1988. - V. 5, № 4. - P. 458 - 475.

Гивенталь А. Б. Лагранжевы вложения поверхностей и раскрытый зонтик Уитни//Функцион. анализ и его прил. - 1986. - Т. 20, вып. 3. - С. 35 - 41.

Пословица о хохолке жаворонка цитируется Плутархом: "как у каждого жаворонка должен появиться хохолок, так в каждом цивилизованном государстве должны появиться доносчики - сикофанты".

К разделу 15

Более подробное изложение можно найти в следующих книгах:

Милнор Дж. Особые точки комплексных гиперповерхностей. - М.: Мир, 1971. - 128 с.

Арнольд В. И., Варченко А. Н., Гусейн-Заде С. М. Особенности дифференцируемых отображений. II. Монодромия и асимптотики интегралов.- М.: Наука, 1984. - 336 с.

Арнольд В. И., Васильев В. А., Горюнов В. В., Ляшко О. В. Теория особенностей // Современные проблемы математики. Фундаментальные направления. - М.: ВИНИТИ, 1988. - Т. 6. - С. 1- 256. - (Итоги науки и техники.)

Brieskorn Е. Die Milnorgitter der exzeptionellen unirnodularen Singularitaten // Bonn. Math. Schr. - Bonn.: Math. Inst, der Universitat Bonn.- 1983. - Bd 150. - 225 S.

Brieskorn E., Knorrer H. Ebene algebraiche Kurven. - Boston: Birkhauser, 1981. - 964 p.

Работы об икосаэдре:

Ляшко О. В. Классификация критических точек функций на многообразиях с особой границей // Функцион. анализ и его прил. - 1983. - Т. 17, вып. 3. - С. 28-36.

Щербак О. П. Особенности семейств эвольвент в окрестности точки перегиба кривой и группа Н3, порожденная отражениями // Функцион. анализ и его прил. - 1983. - Т. 17, вып. 4. - С. 70 - 72.

К разделу 16

Колчаны:

Gabriel P. Unzerlegbare Darstellungen, I // Manuscr., Math. - 1972. - V. 6. - P. 71 - 103.

Бернштейн И. H., Гeльфанд И. M., Пономарев В. А. Функторы Кокстера и теорема Габриэля // Успехи мат. наук. - 1973. - Т. 28, вып. 2. - С. 19 - 33.

Назарова Л. А., Ройтер А. В. Поликолчаны и схемы Дынкина // Функцион. анализ и его прил. - 1973 - С. 94 -95.

Dlab A.,Ringel К. М. Representation of graphs and algebras // Carleton Math. Lect. Notes. Ottawa: - Carleton University, 1974. - V. 8.

Правильные многогранники:

Клейн Ф. Лекции об икосаэдре. - М.: Наука, 1989.

МакКей Дж. Графы, особенности и конечные группы // Успехи мат. наук. - 1983. - Т. 38, вып. 3. - С. 159 - 164.

Краевые особенности:

Arnold V. I. Wave front evolution and equivariant Morse lemma // Commun. Pure Appl. Math. - 1976. - V. 29, № 6. - P. 557 - 582.

Wasserman D. Classification of singularities with compact abelian symmetry // Regensburger Math. Schr. Fachbereich Mathematik der Universitat Regensburg, 1977. - V. I.

Арнольд В. И. Критические точки функций на многообразии с краем, простые группы Ли В_k, С_k, F₄ и особенности эволют // Успехи мат. наук. - 1978. - Т. 33, вып. 5. - С. 91 - 105.

Golubitsky M., Schaeffer D. A theory for imper feet bifurcation via singularity theory //Commun. Pure Appl. Math. 1979. - V. 32. - P. 21 - 98.

Pitt D. H., Poston T. Determinacy and unfolding in the presence of a boundary, 1978. (Мифический препринт, цитированный в 16-й главе КНИГИ Постона и Стюарта "Теория катастроф и ее приложения" (М.: Мир, 1980)).

Slodowy P. Simple singularities and simple algebraic groups. Berlin - Heidelberg - New York: Springer - Verlag, 1980. - 175 p. (Lect. Notes Math., v. 815).

Siersma D. Singularities of functions on boundaries, corners etc. // Q. J. Math. Oxf. 1981. - V. 32. - Ser. II. - P. 119 - 127.

Матов В. И. Особенности функций максимума на многообразиях с краем // Тр. семинара им. И. Г. Петровского. - 1981. - Т. 6. - С. 195 - 222.

Матов В. И. Унимодальные и бимодальные ростки функций на многообразиях с краем // Тр. семинара им. И. Г. Петровского. - 1981. - Т. 7. - С. 174 - 189.

Щербак И. Г. Двойственность краевых особенностей // Успехи мат. наук. - 1984. - Т. 39, вып. 2. - С. 207 - 208.

Щербак И. Г. Фокальное множество поверхности с краем и каустики групп, порожденных отражениями Вk, Сk и F4 // Функцион. анализ и его прил. - 1984. - Т. 18, вып. 1.- С. 90 - 91.

Щербак И. Г. Краевые особенности с простым разложением // Тр. семинара им. И. Г. Петровского.- 1990,- Т. 15.

Nguyen buu Duc, Nguyen tien Dai. Stabilite de l'interaction geometrique entre deux composantes holonomes simples // С. R. Acad. Sci. Paris, Ser. A. - 1980. - V. 291. - P. 113 - 116.

Ильюта Г. Г. Монодромия и исчезающие циклы для краевых особенностей // Функцион анализ и его прил. - 1985. - Т. 19, вып. 3. - С. 11 - 21.

Группы H₃ и Н₄:

Ляшко О. В. Классификация критических точек функций на многообразии с особым краем // Функцион. анализ и его прил. - 1983. - Т. 17, вып. 3. - С. 28 - 36.

Щербак О. П. Особенности семейств эвольвент в окрестности точки перегиба кривой и группа Н3, порожденная отражениями // Функцион. анализ и его прил. - 1983. - Т. 17, вып. 4. - С. 70-72.

Арнольд В. И. Особенности в вариационном исчислении // Успехи мат. наук. - 1984. - Т. 39, вып. 5. - С. 256.

Arnold V. I. Singularities of ray systems // Proc. of the International Congress of Mathematicians, August 16 - 24, 1983. Warszawa. - North-Holland 1984. - V. 1. - P. 27 - 49.

Варченко A. H., Чмутов С. В. Конечные неприводимые группы, порожденные отражениями, являются группами монодромии подходящих особенностей // Функцион. анализ и его прил. - 1984. - Т. 18, вып. 3. - С. 1 - 13.

Гивенталь А. Б. Особые лагранжевы многообразия и их лагранжевы отображения // Современные проблемы математики. - М.: ВИНИТИ. 1988. - Т. 33. - С. 55 - 112. - (Итоги науки и техники.)

Щербак О. П. Волновые фронты и группы отражений // Успехи мат. наук. - 1988. - Т. 43, вып. 3. - С. 125 - 160.

К добавлению

Более подробный анализ предшествовавших теории катастроф приложений ее идей имеется в статье:

Арнольд В. И. Теория катастроф. Современные проблемы математики. Фундаментальные направления. - М.: ВИНИТИ, 1986. - Т. 5. - С. 219 - 277. - (Итоги науки и техники.)

где приведена и соответствующая библиография.

См. также:

Bennequin D. Caustique mystique // Seminaire N. Bourbaki. - 1984. - № 634. - P. 1 - 37.

К заключению

Саати Т. Л. Математические модели конфликтных ситуации. - М.: Сов. радио, 1977. - С. 47 - 53.