Новости    Библиотека    Энциклопедия    Биографии    Карта сайта    Ссылки    О проекте




предыдущая главасодержаниеследующая глава

§ 5. Среднеквадратичное значение и неравенство Чебышева. Дисперсия. Коэффициент корреляции. Закон больших чисел. Вероятность и частота

1.Среднеквадратичным значением случайной величины ξ называется математическое ожидание Мξ2:


для дискретных величин,


для непрерывно распределенных величин. Имеет место следующее неравенство Чебышева: каково бы ни было ε>0, имеет место неравенство


(5.0)

Его легко можно вывести из неравенства (4.16). В самом деле, если положить


то, очевидно, ξ1≤ξ2 и


Кто и равносильно неравенству (5.0).

Неравенство Чебышева показывает, что если среднеквадратичное значение Мξ2 мало по сравнению с ε2: 2/ε2≤δ практически можно пренебречь возможностью осуществления события малой вероятности (≤δ), то будет малой и сама случайная величина В частности, если Мξ2 = 0, то с вероятностью 1 и ξ = 0.

Дисперсией случайной величины ξ, обозначаемой Dξ, называется среднеквадратичное значение разности ξ - а, где а = Mξ - математическое ожидание случайной величины ξ. Имеет место следующая формула:


(5.1)

B самом деле,


Очевидно,

D1 = 0,

и для любой постоянной с


(5.2)

Пусть ξ1 и ξ2 - независимые случайные величины. Тогда дисперсия их суммы может быть найдена по формуле


(5.3)

Действительно, если положить a1 = Mξ1 и a2 = Mξ2, то, согласно соотношению (4.17), будем иметь


и


Рассмотрим случайные величины ξ1 и ξ2. Поставим следующую задачу: найти комбинацию вида сˆ1 + сˆ2ξ2, где с ˆ1 и сˆ2 - некоторые постоянные, дающие наилучшее приближение для случайной величины ξ1, наилучшее в том смысле, что

(5.4)

(минимум берется по всем с1 и с2). Положим


(5.5)

где


Перейдем для удобства к нормированным случайным величинам


и


Очевидно,


Имеем


и для любых постоянных c1 и c2


Видно, что минимум выражения М (η1 - c1 - c2η2)2 достигается, когда с1 = 0 и с2 = r:


При переходе к исходным величинам ξ1 и ξ2 имеем


так что искомая линейная комбинация в (5.4) есть


Здесь а1 и а2 - математические ожидания случайных величин ξ1 и ξ2, σ12 и σ22 - их дисперсии, а определенная равенством (5.5) постоянная r - так называемый коэффициент корреляции этих случайных величин.

Коэффициент корреляции r является простейшей характеристикой связи случайных величин ξ1 и ξ2. Если случайные величины ξ1 и ξ2независимы, то в силу соотношения (4.17)


Как видно из формулы (5.6), коэффициент корреляции 1 всегда лежит в пределах

- 1≤r≤1, (5.8)

причем, если

r = -1 или r = 1, (5.9)

то случайная величина ξ1 есть просто линейная комбинация к вида


(5.10)

Действительно, если r = 1 или r = -1, то, согласно формуле (5.6), среднеквадратичное значение величины ξ1 - c1ˆ - c2ˆξ2 есть

и, следовательно, ξ1 - c1ˆ - c2ˆξ2 = 0 с вероятностью 1.

2. Рассмотрим независимые случайные величины ξ1, ..., ξn, имеющие одинаковое распределение вероятностей (и, в частности, одинаковые математические ожидания а = Мξk и дисперсии σ2 = Dξk; k = 1, ..., n). Рассмотрим среднее арифметическое значение этих величин


Имеем



Используя неравенство Чебышева, получаем


Очевидно, что, каково бы ни было δ>0, при достаточно большом n среднее арифметическое величин ξ1, ..., ξn с вероятностью, не меньшей 1 - δ, будет содержаться в пределах


(5.11)

где ε>0 может быть заранее выбрано сколь угодно малым.

Этот факт носит название закона больших чисел. Если ε и δ столь малы, что можно практически пренебречь возможностью наступления события вероятности δ и различием величин, отличающихся друг от друга не более чем на ε, то практически можно считать, что, несмотря на случайность, среднее арифметическое практически совпадает с математическим ожиданием (средним значением) а = Mξk.

Предположим, что проводится серия одинаковых и независимых между собой опытов, в каждом из которых рассматривается некоторое событие А. Пусть n - число испытаний, n (А) - число тех из них, в которых осуществляется событие A, и - частота этого события в рассматриваемой серии испытаний. С каждым отдельным опытом можно связать случайную величину ξk (k - порядковый номер соответствующего испытания) вида


Ясно, что величины ξ1, ..., ξn независимы и имеют одинаковое распределение вероятностей:



где р = Р (А). Очевидно, что


и, таким образом, частота события А совпадает со средним арифметическим


Математическое ожидание а = Мξk совпадает с вероятностью а = Р (А):

a = P (A).

Согласно закону больших чисел при достаточно большом числе испытаний n можно практически считать, что частота события А совпадает с его вероятностью Р (А), точнее, как бы ни были малы ε>>0 и δ>0, при достаточно больших n с вероятностью, не меньшей 1-δ, частота будет отличаться от Р (А) не больше чем на ε:


(5.12)

(см. по этому поводу п. 1 § 1).

Более того, можно доказать*, что при n→∞ с вероятностью 1 существует предел совпадающий с вероятностью Р (А).

* (См., например, Б. В. Гнеденко, Курс теории вероятностей, изд. 4-е, М., 1965.)

предыдущая главасодержаниеследующая глава




ИНТЕРЕСНО:

Многомерный математический мир… в вашей голове

В школах Великобритании введут китайские учебники математики

Найдено самое длинное простое число Мерсенна, состоящее из 22 миллионов цифр

Как математик помог биологам совершить важное открытие

Математические модели помогут хирургам

Почему в математике чаще преуспевают юноши

Физики-практики откровенно не любят математику

В индийской рукописи нашли первое в истории упоминание ноля

Вавилонская глиняная табличка оказалась древнейшей «тригонометрической таблицей» в мире

Ученые рассказали о важной роли игр с пальцами в обучении детей математике
Пользовательского поиска

© Злыгостев Алексей Сергеевич, статьи, подборка материалов, оформление, разработка ПО 2001-2017
При копировании материалов проекта обязательно ставить ссылку на страницу источник:
http://mathemlib.ru/ 'MathemLib.ru: Математическая библиотека'
Рейтинг@Mail.ru