Новости    Библиотека    Энциклопедия    Биографии    Карта сайта    Ссылки    О проекте




предыдущая главасодержаниеследующая глава

Дополнение I. Полиномы Чебышева

Мы видели в § 12, что при любом целом n функция cos n (arc cos х) определенная на [-1, 1], совпадает на этом сегменте с некоторым многочленом степени n. Эти многочлены носят название полиномов Чебышева, по имени великого русского математика, и обозначаются символом Тn(х). Согласно результатам, полученным в § 12, имеем:


В настоящем дополнении мы остановимся на некоторых замечательных свойствах полиномов Чебышева. Выведем рекуррентную формулу, позволяющую последовательно вычислять полиномы Чебышева.

Чебышев Пафнутий Львович
Чебышев Пафнутий Львович

Положим в тригонометрической формуле:

cos (α + β) = 2 cos α cos β - cos (α - β); α = nφ; β = φ,

тогда получим:

cos(n + 1)φ = 2 cosnφ cos φ - cos (n - 1)φ.

Полагая φ = arc cos x, будем иметь:


откуда:

Tn+1(x) = 2x Tn (x) - Tn-1 (x).(1)

Принимая во внимание, что

T0(x) = 1*, T1(x) = x.

* (T0(x) = 1, так как cos(0 arc sin x) = cos 0 = 1.)

Пользуясь формулой (1), найдем;

T2(x) = 2x2 - 1;
T3(x) = 4x3 - 3x;
T4(x) = 8x4 - 8x2 + 1.

Определим значение коэффициента при xn в полиноме Тn. Легко видеть, что этот коэффициент есть 2n-1. Докажем это методом полной индукции. В самом деле, для полинома Тn наше утверждение справедливо. Предположим, что для полинома Tn этот коэффициент равен 2n-1, тогда, в силу рекуррентной формулы (I), мы видим, что коэффициент при хn+1 полинома Tn+1 есть 2n. Отсюда следует справедливость высказанного утверждения для любого натурального значения n.

Как и всякий многочлен степени n, Тn имеет n корней; покажем, что все эти корни действительны и расположены в интервале (-1, 1). В самом деле, в интервале (-1, 1) имеем


Ясно, что Tn (x) = 0, если


откуда:


где k - любое целое число.

Придавая k значения 1, 2, 3, ..., n, мы, получаем n корней Тn(х). Будем эти корни в соответствии с значением k обозначать так: x1, х2, ..., хk, ..., хn.

Придавая k целые значения, отличные от рассмотренных, мы не получим других корней, кроме найденных. В самом деле:


Отсюда мы видим, что xn+1 = xn; xn+2 = xn-1; xn+3 = xn-2; и т. д.

Значения х1, х2, ..., xn являются простыми корнями Тn (х), ибо среди них нет равных. Для построения корней Тn можно поступить следующим образом: разделим полуокружность единичного радиуса на 2n равных частей, занумеруем точки деления в направлении, указанном на чертеже 58, и отметим точку Л, ближайшую к точке В с абсциссою 1. Затем, начиная с точки А, спроектируем на отрезок [-1, 1] через одну точки деления (черт. 58). Полученные в проекции точки и являются геометрическим изображением корней полинома Тn (х),

Черт. 58
Черт. 58

Если значение х заключено на сегменте [- 1, 1], то (в силу определения) значения полиномов Чебышева заключены на том же сегменте:

если (2)

Определим те значения х на сегменте [-1, 1], для которых Тn (х) = ±1; так как Тn (х) = cos (n arc cos x), то

Тn (х) = 1, если n arc cos x = 2kπ;
Тn (х) = -1, если n arc cos x = (2k+1)π.

Таким образом,

Тn (x'm) = (-1)m, если n arc cos x'm = mπ.

Отсюда находим:

x'0 = 1; x'1 = cos π/n; x'2 = cos /n; ...; x'n = -1.

Итак:

Tn(x'0) = Tn(1) = 1; Tn(x'1) = -1; Tn(x'2) = 1; ...; Tn(x'n) = Tn(-1) = (-1)n.

Таким образом, график функции y = Тn (х) на сегменте [-1, 1] является колеблющейся в пределах [-1, 1] линией, пересекающей в n точках ось абсцисс (черт. 59).

Черт. 59
Черт. 59

Рассмотрим многочлен


Для каждого из многочленов Тn (х) коэффициент при хn равен единице. Этот многочлен, как и Тn, имеет n корней, расположенных в интервале (-1, 1). На основании неравенств (2) имеем:


(2')

Рассмотрим одно из важных свойств полиномов Тn (х).

Предположим, что на некотором сегменте [а, b] дана функция f (х). Пусть с - некоторая точка сегмента [а, b]. Величина |f(c)| характеризует отклонение от нуля значения функции f(х)в данной точке с.

Будем называть отклонением от нуля функции f(x)на сегменте [а, b] наибольшее значение |f(x)| на сегменте [а, b].

Это наибольшее значение обозначается так: max |f(х)|.

Если функция f (х) непрерывна, то непрерывна также и функция |f(х)| и существование наибольшего значения |f(x)| следует из теоремы, которая доказывается в курсе математического анализа.

Эта теорема формулируется следующим образом. Всякая непрерывная на сегменте функция по крайней мере в одной точке этого сегмента имеет наибольшее (наименьшее) значение.

Свойство полиномов Чебышева, о котором будет идти речь, выражается следующей теоремой.

Из всех многочленов степени n, имеющих коэффициент при хn, равный единице, наименьшее отклонение от нуля на сегменте [-1,1 ] имеет полином

Согласно неравенствам (2') отклонение от нуля полинома предположим, что некоторый многочлен:


имеет отклонение от нуля на сегменте [-1, 1], не превосходящее отклонения . Следовательно, согласно сделанному предположению на сегменте [-1, 1] выполнены неравенства:


(3)

Рассмотрим точки


В этих точках имеем:


(4)

Разность R(x) = - Pn(х) есть многочлен степени не выше n-1. Согласно неравенствам (3) и равенствам (4) будем иметь:


(5)

Сегмент [-1, 1] разбит при помощи точек х'0, x'1, х'2,..., x'n на n сегментов. Рассмотрим один из этих сегментов; его границами служат две соседние точки x'i+1 и x'i. Ясно, что R (х) обращается в нуль по крайней мере в одной точке каждого из сегментов [x'i+1, x'i].

В самом деле, если R (x'i+1)≠0 и R (х'i)≠0, то в силу условий (5) R (x) на концах сегментов [хi+1, хi] имеет разные знаки, а потому в силу непрерывности обращается в нуль по крайней мере в одной внутренней точке данного сегмента. Таким образом, R (х) обращается в нуль по крайней мере в одной внутренней или граничной точке каждого сегмента [xi+1, xi]. Отсюда мы заключаем, что R (x) = 0, так как, будучи многочленом степени n-1, он имеет по меньшей мере n корней, а следовательно,


Этими рассуждениями доказано, что полином является многочленом, наименее уклоняющимся от нуля на сегменте [-1, 1] по сравнению с любым многочленом степени n, имеющим при хn коэффициент, равный единице.

предыдущая главасодержаниеследующая глава




ИНТЕРЕСНО:

Многомерный математический мир… в вашей голове

В школах Великобритании введут китайские учебники математики

Найдено самое длинное простое число Мерсенна, состоящее из 22 миллионов цифр

Как математик помог биологам совершить важное открытие

Математические модели помогут хирургам

Почему в математике чаще преуспевают юноши

Физики-практики откровенно не любят математику

В индийской рукописи нашли первое в истории упоминание ноля

Вавилонская глиняная табличка оказалась древнейшей «тригонометрической таблицей» в мире

Ученые рассказали о важной роли игр с пальцами в обучении детей математике
Пользовательского поиска

© Злыгостев Алексей Сергеевич, статьи, подборка материалов, оформление, разработка ПО 2001-2018
При копировании материалов проекта обязательно ставить ссылку на страницу источник:
http://mathemlib.ru/ 'MathemLib.ru: Математическая библиотека'
Рейтинг@Mail.ru