Новости    Библиотека    Энциклопедия    Биографии    Карта сайта    Ссылки    О проекте




предыдущая главасодержаниеследующая глава

Глава VII. Уравнения, содержащие неизвестное под знаком аркфункций

§ 23. Простейшие уравнения

Простейшими уравнениями мы будем называть уравнения вида:

arc sin x = m, arc cos x = m,
arc tg x = m, arc ctg x = m,

в которых требуется найти неизвестное по заданному значению одной из аркфункций. Рассмотрим подробнее одно из этих уравнений. Возьмем, например, первое уравнение

arc sin x = m.

Это уравнение не всегда имеет решение. В самом деле, значения функции arc sin x заключены на сегменте а поэтому данное уравнение может иметь решение только в том случае, если выполнено неравенство |m|≤π/2. При соблюдении этого условия получаем единственное решение уравнения:

x = sin m.

Аналогично рассматриваются прочие простейшие уравнения. Уравнение

arc cos x = m

имеет единственное решение:

x = cos m

при условии 0≤m≤π и не имеет решений, если m не принадлежит сегменту [0, π].

Уравнение

arc tg x = m

имеет единственное решение:

x = tg m

при условии, если m принадлежит интервалу (-π/2, π/2).

Уравнение

arc ctg x = m

имеет единственное решение:

x =ctg m,

если m принадлежит интервалу (0, π). Непосредственно приводятся к простейшим уравнения линейные относительно аркфункции, под знаком которой содержится неизвестное. В качестве примера рассмотрим уравнение

A arc sin х + В = 0.

Решая это уравнение относительно arc sin x, получим

arc sin x = -B/A,

или, полагая

-B/A = m,

придем к простейшему уравнению:

arc sin x = m.

Не представляет затруднений рассмотрение уравнений, в которых под знаком аркфункции содержится какая-либо функция от неизвестного. Так, например, уравнение

arc sin f(x) = m,

где

-π/2≤m≤π/2

равносильно уравнению

f(x) = sin m,

не содержащему аркфункции.

Примеры:

1) 6 arc sin x - π = 0.

Решение. x = sin π/6 = 1/2.

2) 2 arc sin х - 8 = 0.

Так как 4>π/2, то уравнение не имеет решении.

3) Решить уравнение

3 arc sin √х - π = 0.

Решение.

arc sin √х = π/3, √х = √3/2,

откуда

x = 3/4.

4) Решить уравнение

4 arc tg (x2 - 3x + 3) - π = 0.

Решение.

arc tg (х2 - 3x + 3) = π/4; х2 - 3x + 3 = 1,

откуда

x1 = 1; x2 = 2.

Рассмотрим уравнение, в котором неизвестное содержится под знаком лишь одной аркфункции. Возьмем, например, уравнение:

f(arc sin х) = 0.

Введем новое неизвестное y = arc sin x, тогда получим:

Пусть y1; y2; ... - корни уравнения f(y) = 0, тогда корни уравнения f(arc sin х) = 0 находятся путем решения простейших уравнений:

arc sin x = y1; arc sin х = y2; ... Решим, например, уравнение

2 arc sin2 x - 5 arc sin x + 2 = 0.

Корни квадратного уравнения

2y2 - 5y + 2 = 0

суть

y1 = 2 и y2 = 1/2.

Из двух простейших уравнений

arc sin x = 2 и arc sin x = 1/2

только второе дает решение данного уравнения

х = sin 1/2.

Первое не имеет решений: ибо 2>π/2

Уравнение

f(arc sin x, arc cos x) = 0,

содержащее неизвестное под знаками арксинуса и арккосинуса, приводится к уравнению рассмотренного типа. В самом деле, воспользовавшись тождеством

arc sin x + arc cos x = π/2,

можно выразить одну из аркфункций через другую и, подставив в данное уравнение, получить уравнение, содержащее лишь одну аркфункцию. Это же замечание относится к уравнениям вида

f(arc tg x, arc ctg x) = 0.

Рассмотрим, например, уравнение

m arc sin x + n arc cos x = p (где m≠n),

заменяя в этом уравнении arc cos х через π/2 - arc sin x получим

m arc sin х + n (π/2 - arc sin х) = р,

или

(m - n) arc sin x = p - nπ/2,

откуда


Уравнение имеет решение только при выполнении условия


при указанном условии получим


Пример.

4 arc tg x - 6 arc ctg x = π.

Решение.4 arc tg x - 6(π/2 - arc tg x) = π; 10 arc tg x = 4π и x = tg /5.

предыдущая главасодержаниеследующая глава




ИНТЕРЕСНО:

Многомерный математический мир… в вашей голове

В школах Великобритании введут китайские учебники математики

Найдено самое длинное простое число Мерсенна, состоящее из 22 миллионов цифр

Как математик помог биологам совершить важное открытие

Математические модели помогут хирургам

Почему в математике чаще преуспевают юноши

Физики-практики откровенно не любят математику

В индийской рукописи нашли первое в истории упоминание ноля

Вавилонская глиняная табличка оказалась древнейшей «тригонометрической таблицей» в мире

Ученые рассказали о важной роли игр с пальцами в обучении детей математике
Пользовательского поиска

© Злыгостев Алексей Сергеевич, статьи, подборка материалов, оформление, разработка ПО 2001-2017
При копировании материалов проекта обязательно ставить ссылку на страницу источник:
http://mathemlib.ru/ 'MathemLib.ru: Математическая библиотека'
Рейтинг@Mail.ru