Новости    Библиотека    Энциклопедия    Биографии    Карта сайта    Ссылки    О проекте




предыдущая главасодержаниеследующая глава

§ 21. Различные частные приемы решения тригонометрических уравнений

Нередко можно (перенеся предварительно все члены в левую часть) разложить левую часть уравнения на множители. В этом случае уравнение распадается на несколько уравнений, получающихся поочередным приравниванием нулю сомножителей. В большинстве случаев разложение на множители левой части достигается применением формул приведения к логарифмическому виду.

Пример 1.

Решить уравнение

sin kx = sin lx

Решение. Имеем:

sin kx - sin lx = 0,

откуда


Следовательно, получаем два уравнения:


и


Из первого находим:


и, следовательно,


(1)

Из второго находим:


и, следовательно,


(2)

Мы получили две серии решений. Это же уравнение можно решать другим способом, рассмотренным в § 19, согласно которому имеем:


откуда


(3)

Легко видеть, что обе серии решений (1) и (2) содержатся в (3). В самом деле, если в (3) взять n четное, то получим значение х, содержащееся в (1); если взять n нечетное, то для х получим значение, содержащееся в (2). Этот пример показывает, что решение тригонометрического уравнения может оказаться представленным в различной форме в зависимости от применявшегося метода.

Пример 2.

Решить уравнение

sin х + sin 2x + sin 3x = 1 + cos x + cos 2x.

Решение. Преобразуем левую часть:

sin x + sin 2x + sin 3х = (sin x + sin 3х) + sin 2x = 2 sin 2x cos x + sin 2x = sin 2x (2 cos x + 1) = 2 sin x cos x (2 cos x +1).

Преобразуем правую часть:

1 + cos x + cos 2x = (1 + cos 2x) + cos x = 2 cos2 x + cos x = cos x (2 cos x + 1).

Перенеся все члены в левую часть, перепишем данное уравнение в виде


Приравнивая поочередно нулю три сомножителя, получим:



и


* (Способ разложения на множители широко применяется на практике при решении уравнений различной степени трудности. Так, например, этот способ может быть применен при решении следующих номеров задачника Рыбкина: 6, 19, 20, 26, 40, 51, 52,54.)

В некоторых случаях бывает целесообразно выполнить преобразование произведения тригонометрических функций в сумму. Это преобразование осуществляется посредством формул:


(4)


(5)


(6)

Пример 3. Решить уравнение


Решение. Преобразуем в сумму средний член по формуле (6).

Уравнение принимает вид:

sin х + sin (2x - а) = 0,

или

sin (2x - a) = sin (-х),

откуда

2х - а = (- 1)n+1x + nπ

и


** (Этим приемом легко решаются примеры 41 и 63 задачника Рыбкина.)

Приведем пример, когда удобно представить уравнение в виде пропорции, а затем образовать производную пропорцию и применить формулы приведения к логарифмическому виду.

Пример 4.

Решить уравнение


где а≠0 и b≠0, а значения α и β взяты в пределах от 0 до 2π и α≠β.

Решение. Имеем:


Если a≠-b, то образуем производную пропорцию


Приводя числитель и знаменатель к логарифмическому виду, получим:


(7)

при условии α-β/2π/2, т. е. α≠π+β. Из (7) находим:


и


Если а = - b, то уравнение легко решается непосредственным приведением левой части к логарифмическому виду, и в составлении производной пропорции нет надобности.

Если α = β+π, то уравнение принимает вид:


откуда при а≠b имеем sin (x + α) = 0 и x = - α + kπ.

При а = b уравнение удовлетворяется всеми значениями х*.

* (Составлением производной пропорции легко решается пример 43 задачника Рыбкина.)

На двух следующих примерах показан способ решения уравнения посредством введения вспомогательного угла.

Пример 5.

Решить уравнение

a sin х + b cos x = с

(где а≠0 и b≠0)).

Решение. Введем вспомогательный угол; который определим из условия


Имеем



Выбрав надлежащим образом знак перед радикалом, можем считать угол φ заключенным в интервале (достаточно выбрать знак при условии tg φ = b/a

и

φ = arc tg b/a.

Разделив обе части уравнения на (взятый с надлежащим знаком), получим:


или


(8)

и, наконец,


Исходное уравнение эквивалентно (8), а потому имеет решения, если


или с2≤а2 + b2. Если с22 + b2, то уравнение не имеет решений.

Рассмотрим, например, уравнение


Разделив обе части на 2, положим

Получим

Откуда


Пример 6.

Решить уравнение


Решение. Введем вспомогательный угол получим:


Откуда


Следовательно:


При условии, что m ≠±1. Если m = 1, то уравнение удовлетворяется тождественно. Если m = -1, то уравнение примет вид b sin х = - b sin x. Откуда при b≠0 получим sin x = 0 и х = kπ*.

* (Способ введения вспомогательного угла может быть применен к решению примеров 28, 30, 32, 33, 47, 53 задачника Рыбкина.)

Никакими общими правилами невозможно предусмотреть различных искусственных приемов, вносящих упрощения в процесс решения тригонометрических уравнений. Умение применять эти приемы приобретается практикой.

Пример 7.

Решить уравнение

sin4 х + cos4 x + sin 2x + a = 0.

Решение. Выделим полный квадрат из первых двух членов:


Данное уравнение примет вид:


Положив t = sin 2x, получим квадратное уравнение


имеющее в поле комплексных чисел решения:


Найденные значения t действительны, если, 2а + 3≥0, откуда Допустимые значения t определяются условием Взяв знак + перед радикалом, получим:


равенство имеет место лишь при условии а = -3/2.

Рассмотрим другой корень:


Условие выполняется, если


откуда


или


Возводя почленно в квадрат, получим:


откуда


Следовательно, данное уравнение имеет решения при любом значении а, удовлетворяющем условию


Пример 8.

Решить уравнение

sin x + cos x + sin x cos x = 1.

Решение. Положим

sin x + cos x = t;

имеем:

t2 = 1 + 2sin x cos x,

откуда

sin x cos x = t2 - 1/2.

Данное уравнение примет вид:

t2 + 2t - 3 = 0.

откуда t = 1 и t = -3.

Следовательно, получаем два уравнения:

sin x + cos x = 1 и sin x + cos x = -3.

Первое уравнение было уже решено выше. Второе уравнение не имеет решений, так как каждое из слагаемых в левой части по абсолютной величине не превосходит 1 и в сумме не может получиться число - 3.

предыдущая главасодержаниеследующая глава




ИНТЕРЕСНО:

Многомерный математический мир… в вашей голове

В школах Великобритании введут китайские учебники математики

Найдено самое длинное простое число Мерсенна, состоящее из 22 миллионов цифр

Как математик помог биологам совершить важное открытие

Математические модели помогут хирургам

Почему в математике чаще преуспевают юноши

Физики-практики откровенно не любят математику

В индийской рукописи нашли первое в истории упоминание ноля

Вавилонская глиняная табличка оказалась древнейшей «тригонометрической таблицей» в мире

Ученые рассказали о важной роли игр с пальцами в обучении детей математике
Пользовательского поиска

© Злыгостев Алексей Сергеевич, статьи, подборка материалов, оформление, разработка ПО 2001-2018
При копировании материалов проекта обязательно ставить ссылку на страницу источник:
http://mathemlib.ru/ 'MathemLib.ru: Математическая библиотека'
Рейтинг@Mail.ru