§ 20. Рационализирующие подстановки

Рассмотрим уравнение, в котором неизвестное х содержится под знаком лишь одной тригонометрической функции. Возьмем, например, уравнение

Введем новое неизвестное sin x = y, тогда получим:

где допустимыми для неизвестного у следует считать значения, не превосходящие по абсолютной величине 1.

Если y₁, y₂, ... суть решения уравнения (2), то задача сводится к решению ряда простейших уравнений:

Рассмотрим уравнение

Решение. Полагая cos x = y получим квадратное уравнение:

при допустимых значениях В поле действительных чисел получим два решения уравнения (3):

Число 3 не принадлежит множеству допустимых значений неизвестного и подлежит исключению. Итак, приходим к простейшему уравнению откуда:

Если уравнение содержит различные тригонометрические функции от неизвестного, то можно все эти функции выразить через одну и свести задачу к решению уравнения вида (2). Однако выражения тригонометрических функций друг через друга содержат радикалы, и освобождение от них полученного уравнения может внести посторонние решения.

Рассмотрим уравнение

Решение. Имеем:

Полагая sin x = y, получим иррациональное уравнение:

Освобождаясь от радикала, получим:

откуда

Значение y₁ = sin x = 0 удовлетворяет уравнению (4) при cos x = 1. Следовательно, решению y₁ = 0 соответствует положительное значение радикала. Решения уравнения (4), соответствующие корню y₁ = 0, суть:

так как из общей формулы х = nπ следует исключить нечетные значения n, дающие для косинуса значение, равное -1. Значение y₂ = 1 удовлетворяет уравнению (5), откуда находим sin х = 1 или

Заметим, что 2n+(-1 )ⁿ = 4k+1, будет ли n четным числом n = 2k или нечетным n = 2k+1, а потому:

Итак, имеем две серии решений:

Мы будем изучать уравнения, являющиеся рациональными относительно входящих в них тригонометрических функций от искомого неизвестного. Предположим, что удалось выразить все функции, входящие в уравнение, через одну, причем так, что получалось уравнение рациональное относительно этой функции, которую и примем за новое неизвестное. Эта подстановка приведет к рациональному уравнению относительно нового неизвестного, а потому и называется рационализирующей подстановкой.

Решим уравнение

Решение. Имеем

Умножив обе части на tg x, получим:

(Заметим, что значение tg x = 0 не удовлетворяет последнему уравнению.)

Подстановка z = tg x является рационализирующей. Из уравнения

находим z₁ = 1 и z₂ = 3, откуда

Рассмотрим уравнение вида:

где левая часть есть рациональное выражение относительно sin х, cos x, tg x и ctg x (в частности, некоторые из тригонометрических функций могут и не входить в уравнение).

Известно, что тригонометрические функции рационально выражаются через тангенс половинного аргумента:

и т. д.,

а потому, приняв за новое неизвестное мы получим рациональное уравнение относительно t. Подстановка называется универсальной, так как она всегда в рассматриваемом случае приводит к рациональному алгебраическому уравнению с одним неизвестным. Так как tg ^x/₂ теряет смысл, если х = (2k+1)π, то универсальной подстановкой можно найти все решения уравнения, кроме решений вида x = (2k+1)π (если последние существуют). Для примера рассмотрим уравнение

(где а≠0 и b≠0).

Полагая получим:

Сокращая на получим квадратное уравнение:

(6)

Числа вида х = (2k+1)π удовлетворяют данному уравнению, если

поэтому исследованию подлежат два случая:

1°. b≠с. В этом случае квадратное уравнение (6) в поле комплексных чисел имеет два решения:

Если a² + b²≥с², то квадратное уравнение имеет действительные корни, и мы получим общее решение данного уравнения:

Если с²>a² + b², то исходное уравнение не имеет решений, так как корни уравнения (6) мнимые.

2°. b = с. В этом случае данное уравнение имеет решения вида x = (2k+1)π. Уравнение (6) обращается в уравнение 1-й степени, из которого находим вторую серию решений:

Примеры:

1) Универсальная подстановка преобразует уравнение

Откуда t₁ = 0 и t₂ = 1 и, следовательно,

2) Решить уравнение:

Имеем:

откуда

или

Мы получим уравнение вида

где a = ±2, b = 2, c = 4k - 1.

Равенство b = c, т. е. 2 = 4k - 1 не выполняется ни при каком значении k.

Общее решение данного уравнения находится по формуле (7):

где k - любое целое число, удовлетворяющее условию:

а n - произвольное целое число. Следовательно, допустимые значения k суть целые числа, содержащиеся между корнями квадратного уравнения:

Корни последнего уравнения суть k₁ ≈ - 0,45 и k₂ ≈ 0,95.

Следовательно, k₁ = 0 есть единственное допустимое значение k.

Откуда:

и

Универсальная подстановка обычно сопряжена с громоздкими вычислениями, поэтому стараются, если возможно, отыскать более простую радионализирующую подстановку^*.

^* (Универсальная подстановка может быть применена к примерам 30, 31, 32, 33 задачника Рыбкина.)

Если левая часть уравнения

есть рациональное выражение относительно sin x и cos x и содержит функцию sin x (или cos x) только в четных степенях, то можно положить f = cos х (или соответственно t = sin x), ибо четные степени синуса (или косинуса) рационально выражаются через косинус (или синус):

Примеры:

1. Решить уравнение

Решение. Положим sin x = t и заменим cos² x на 1-t², тогда получим кубическое уравнение:

Последнее уравнение имеет три действительные корня:

откуда

и

2. Решить уравнение

Решение. В данном случае для рационализации достаточно положить tg x = t, так как

рационально выражается через t. Имеем:

откуда:

Из последнего уравнения находим два различные решения:

откуда

x = - ^π/₄+kπ и x = kπ.

3. Решить уравнение

Решение. Так как cos 2x выражается рационально через sin x:

для рационализации достаточно положить t = sin x, тогда получим:

или

откуда

и

Рассмотрим уравнение вида

в котором левая часть есть однородный многочлен (т. е. многочлен, все члены которого имеют одинаковую степень) относительно sin x и cos x. При решении однородных уравнений применяется подстановка tg x = t. Рассмотрим, например, однородное уравнение 3-й степени:

Заметим, что при cos x = 0 уравнение не удовлетворяется^*.

^* (Если положить cos x = 0, то получим sin³ х = 0, и, следовательно, sin x = 0, но равенства sin x = cos х = 0 не могут выполняться ни при каком значении х. Если бы в уравнении не содержался член с sin³ x, то можно было бы предварительно вынести общий множитель, равный cos x, и приравнять его отдельно нулю. )

Разделив обе части на cos³ х, получим:

Полагая tg x = t, получим кубическое уравнение:

имеющее корни

откуда

^* (Различные рационализирующие подстановки могут быть применены к решению, например, следующих номеров § 14 задачника Рыбкина: 3, 16, 24, 34, 42, 46, 48, 49, 50, 59. )

Ниже даны примеры уравнений, приводящихся к однородным:

1° a sin²x + b sin x cos х + c cos² x = d.

Достаточно правую часть заменить на d(sin² x + cos² х), чтобы получить однородное уравнение 2-й степени.

2° a sin⁴ х + b sin³ x cos x + c cos³ x sin x = d.

Достаточно правую часть заменить на d(sin² x + cos² x)², чтобы получить однородное уравнение 4-й степени.

3° a sin2 х + b sin 2x + с cos 2х + d cos² х = e.

Достаточно преобразовать sin 2х и cos 2х по известным формулам и заменить e на e (sin² x + cos² x), чтобы получить однородное уравнение 2-й степени.