Новости    Библиотека    Энциклопедия    Биографии    Карта сайта    Ссылки    О проекте




предыдущая главасодержаниеследующая глава

§ 19. Соотношения между двумя дугами, имеющими одинаковое значение данной тригонометрической функции

Теорема. Необходимым и достаточным условием того, чтобы

1° две дуги u и v имели одинаковый синус:

sin u = sin v,

является наличие соотношения

u = (- 1)nv + nπ,

2° чтобы дуги u и v имели одинаковый косинус:

cos u = cos v,

является наличие соотношения

u = ±v + 2nπ,

3° чтобы дуги и и v имели одинаковый тангенс (или котангенс), является наличие соотношения

u = v + nπ,

где n - некоторое целое число.

Доказательство. Докажем утверждение 1°.

Условие достаточное. В самом деле, если имеет место соотношение u = (-1)nv + nπ, то в зависимости от четности или нечетности n имеем:


в обоих случаях sin u = sin v.

Условие необходимое. Пусть sin u = sin v; обозначим через m общее значение синуса двух дуг u и v:

sin u = m, sin v = m.

Рассмотрим множество всех дуг, имеющих синус, равный m:


(1)

каждая из дуг u и v содержится в выражении (1) при некотором значении n:


(2)

Если числа n1 и n2 одинаковой четности (т. е. оба четные или нечетные), то вычтем почленно равенства (2):

u + v = (n1 - n2)π = 2kπ,

где n1 - n2 есть некоторое четное число 2k. Если n1 и n2 - числа различной четности, то сложим почленно (2):

u + v = (n1 + n2)π = (2k+1)π,

где n1 + n2 - есть некоторое нечетное число 2k+1. Итак, если дуги u и v имеют одинаковое значение синуса, то либо их разность равна целому числу периодов 2лπ, либо их сумма равна нечетному числу полупериодов (2k+1)π. Следовательно,


Рассуждения в случаях 2° и 3° аналогичны. Так, в случае 2° при наличии соотношения

u = ±v + 2kπ

имеем


Обратно, если,

cos u = cos v = m,

то

u = ±arc cos m + 2n1π,
v = ±arc cos m + 2n2π.

Складывая или вычитая (в зависимости от знаков при arc cos m в правых частях), получим:

u ± v = 2 (n1±n2)π = 2nπ,

где n = n1±n2 - целое число*.

* (Теореме можно дать другое доказательство. Так, в случае 1° имеем:


или


откуда (необходимое и достаточное условие)


или


и, следовательно,

u - v = 2kπ или u + v = (2k+1)π,

откуда, объединяя формулы в одну, придем к тому же окончательному результату.)

Доказанная теорема применяется, когда уравнение представлено в виде равенства некоторой тригонометрической функции от двух выражений, содержащих неизвестное. Пусть, например, дано уравнение

sin f(x) = sin φ(x) (3)

(вместо синуса можно взять любую другую тригонометрическую функцию). На основании доказанной теоремы равенство (3) равносильно уравнению

f(x) = (-1)nφ(x) + nπ

с целочисленным параметром n.

Примеры:

1.

cos (ах + b) = cos (а1x + b1).

Решение. Имеем:

ах + b = ±(а1х + b1) + 2nπ,

откуда

(a±a1)x = -b±b1 + 2nπ

(4)

(знаки берутся либо верхние, либо нижние).

Если то


Теперь рассмотрим случай, когда

Пусть, например, а = a1 тогда, взяв в левой части равенства (4) знак + перед а1 получим:


Если взять верхние знаки, то получим:


Последнее соотношение противоречиво и не дает решений, если разность b1 - b не равна целому числу периодов; если же b1 = b + 2nπ, то при а = а1 данное уравнение обращается в тождество:

cos(ax+b) = cos(ax+b+2nπ).

Пусть, например, дано уравнение


имеем:


выбор верхних знаков дает противоречивое соотношение:


Выбор нижних знаков дает решения:


откуда


2. Решить уравнение sin x = cos x.

Решение. Имеем:


откуда


(5)

выбрав в правой части знак +, получим:


откуда х = π/4 - nπ. Заметив, что коэффициент - n можно заменить на n (ибо -n, равно как и n, может иметь произвольные целые значения), получим серию решений:

Выбор знака минус в правой части (5) приводит к противоречивому соотношению.

3. Решить уравнение

sin 3x + sin 12° = 0.

Решение:

sin 3х = - sin 12°

или

sin 3x + sin(-12°),

откуда

3x = (-1)n(-12°) + 180°n

и, следовательно,

х = (-1)n+14° + 60°n.

4. Решить уравнение

tg 5х = - tg 2x.

Решение. Имеем tg 5х = tg (- 2x), следовательно:

5x = -2х + nπ,

откуда

7х = nπ и х = n π/7.*

* (Указанным в настоящем параграфе способом могут быть решены примеры 4, 18, 19, 55, 57 § 14 задачника Рыбкина.)

предыдущая главасодержаниеследующая глава




ИНТЕРЕСНО:

Многомерный математический мир… в вашей голове

В школах Великобритании введут китайские учебники математики

Найдено самое длинное простое число Мерсенна, состоящее из 22 миллионов цифр

Как математик помог биологам совершить важное открытие

Математические модели помогут хирургам

Почему в математике чаще преуспевают юноши

Физики-практики откровенно не любят математику

В индийской рукописи нашли первое в истории упоминание ноля

Вавилонская глиняная табличка оказалась древнейшей «тригонометрической таблицей» в мире

Ученые рассказали о важной роли игр с пальцами в обучении детей математике
Пользовательского поиска

© Злыгостев Алексей Сергеевич, статьи, подборка материалов, оформление, разработка ПО 2001-2017
При копировании материалов проекта обязательно ставить ссылку на страницу источник:
http://mathemlib.ru/ 'MathemLib.ru: Математическая библиотека'
Рейтинг@Mail.ru