Глава VI. Тригонометрические уравнения

§ 17. Тригонометрические уравнения

В школьном курсе элементарной математики под названием "Тригонометрические уравнения" рассматриваются некоторые частные виды трансцендентных уравнений, содержащих тригонометрические операции над неизвестными или над некоторыми функциями от неизвестных. Мы не будем давать точного определения понятию тригонометрического уравнения; в дальнейшем термин "тригонометрическое уравнение" будет применяться к различным конкретным видам уравнений, содержащих тригонометрические операции над неизвестными (или над данными функциями от неизвестных).

Примечание. Как известно, трансцендентное уравнение в общем случае не может быть решено элементарными средствами. Однако в частных случаях решение трансцендентного уравнения возможно средствами элементарной математики. Многообразие различных видов элементарных трансцендентных уравнений и приемов их решения (если таковое может быть выполнено элементарно) делает затруднительным установление достаточно целесообразной классификации этих уравнений.

Точное определение понятия, например, показательного или тригонометрического уравнения было бы плодотворным, если бы выделение класса уравнений, носящих данное название, связывалось с установлением общих методов их исследования и решения. На самом же деле речь идет о различных частных видах трансцендентных уравнений и специальных приемах их решения, а установление дробной классификации в соответствии с этими приемами не явится целесообразным.

Принятые во многих старых учебниках "определения" нельзя признать удачными. Например, под определение тригонометрического уравнения, как содержащего неизвестное под знаком тригонометрических функций, подойдут многие уравнения, неразрешимые элементарными средствами. Примером может служить уравнение

линейное относительно х и sinx, которое обычно не называют тригонометрическим. Однако даже в школьном задачнике система линейная относительно sin x, sin y, x и у:

приводится среди тригонометрических уравнений.

Вопрос о том, следует или не следует данное уравнение, содержащее тригонометрические функции, считать тригонометрическим, не имеет принципиального значения. И нет никаких неудобств, когда этот термин применяется к тем уравнениям, которые в данном случае рассматриваются.

Задача решения тригонометрического уравнения ставится следующим образом: дано множество допустимых значений для неизвестного, требуется установить, существуют ли, и найти (если существуют) все те допустимые значения неизвестного, при которых обе части данного уравнения имеют одинаковое значение.

Множество допустимых значений для неизвестного либо задается непосредственным указанием, либо определяется из смысла рассматриваемого вопроса. Если дано уравнение без всяких указаний на множество допустимых значений неизвестного, то условимся считать допустимыми для неизвестного произвольные действительные значения.

Если, например, требуется найти острый угол х, удовлетворяющий уравнению

то допустимыми значениями х являются значения, заключенные в I четверти: 0<х<^π/₂. Если требуется найти угол треугольника A, удовлетворяющий условию

то допустимые значения неизвестного А должны удовлетворять условию 0<A<π. Если дано уравнение

без указания множества допустимых значений х, то считаем для х допустимыми произвольные действительные значения.

Если допустимыми считаются произвольные действительные значения неизвестного, то множество всех, решений данного уравнения называют общим решением этого уравнения.