Новости    Библиотека    Энциклопедия    Биографии    Карта сайта    Ссылки    О проекте




предыдущая главасодержаниеследующая глава

§ 16. Примеры

1) Полагая в формулах (1), (3), (5) y = х, получим:


(7)


(8)


(9)

2) Исследовать функцию

Рассмотрим второе слагаемое. Полагая в формуле (6)

х = 1, а y = х,

получим


откуда


Следовательно,


Данная функция является разрывной, ее график состоит из двух прямых, параллельных оси абсцисс (черт. 37).

Черт. 37
Черт. 37

3) Исследовать функцию


Полагая в формуле (4) получим:


откуда


следовательно,


Построим график данной функции. Сегмент [-1, 1], на котором определена функция, разобьем на два сегмента и на первом сегменте


Следовательно, y убывает от -/4 до π/4. На втором сегменте y имеет значение, равное π/4 (черт. 38).

Черт. 38
Черт. 38

4) Исследовать функцию


Установим область определения. Эта функция определена для всех значений аргумента хж так как при любом значении х имеет место неравенство: или, что то же

В самом деле, принимая во внимание, что при всех значениях х, имеем откуда Воспользуемся формулой (стр. 38):


Рассмотрим две дуги 2 arc tg x и имеющие одинаковый синус. Для дуги 2 arc tg x имеют место неравенства -π< 2 arc tg x<π; для второй дуги имеем


Если значение х заключено на сегменте [-1, 1], то:


Следовательно,


и мы имеем:


Для значений x<-1 имеем -π< 2arc tg x<-π/2, а потому:


Черт. 39
Черт. 39

Если x>1, то,


Черт. 40
Черт. 40

Итак, получим:


Черт. 41
Черт. 41

Построим графики функций 2 arc tg x (черт. 39), -π - 2 arc tg x (черт. 40) и π - 2 arc tg x (черт. 41). График данной функции получается путем соединения трех дуг построенных линий, как это показано на чертеже 42.

Черт. 42
Черт. 42

5) Исследовать функцию


Так как при любом значении х

1-x2≤1+x2,

то данная функция имеет смысл при всех значениях х.

Воспользуемся формулой (стр. 38):


Рассмотрим две дуги, имеющие одинаковый косинус:


в силу определения аркфункций имеем:


Откуда:


На чертеже 43 изображен график этой функции.

Черт. 43
Черт. 43

6) Исследовать функцию:


Согласно формуле (7) (стр. 61):


Принимая во внимание, что получим:


График этой функции изображен на чертеже 44.

Черт. 44
Черт. 44

7) Преобразовать в арксинус дугу arc sin x + arc tg y. На основании формулы (стр. 46) данную дугу можно представить в виде суммы арксинусов следующим образом:

Теперь остается применить формулу (1). Предоставляем читателю докончить вычисления.


Упражнения.

  1. Вычислить:

  2. Вычислить:

    [применить два раза формулу (9)]
  3. Доказать справедливость равенств:




  4. На основании предыдущего примера доказать равенство:

    Указание: принять во внимание равенство

  5. Исследовать функцию

  6. Исследовать функцию:

предыдущая главасодержаниеследующая глава




ИНТЕРЕСНО:

Зачем математики ищут простые числа с миллионами знаков?

Задача построения новых оснований математики - унивалентные основания

Многомерный математический мир… в вашей голове

В школах Великобритании введут китайские учебники математики

Найдено самое длинное простое число Мерсенна, состоящее из 22 миллионов цифр

Как математик помог биологам совершить важное открытие

Математические модели помогут хирургам

Почему в математике чаще преуспевают юноши

Физики-практики откровенно не любят математику

В индийской рукописи нашли первое в истории упоминание ноля

Вавилонская глиняная табличка оказалась древнейшей «тригонометрической таблицей» в мире

Ученые рассказали о важной роли игр с пальцами в обучении детей математике
Пользовательского поиска

© Злыгостев Алексей Сергеевич, статьи, подборка материалов, оформление, разработка ПО 2001-2018
При копировании материалов проекта обязательно ставить ссылку на страницу источник:
http://mathemlib.ru/ 'MathemLib.ru: Математическая библиотека'
Рейтинг@Mail.ru