§ 16. Примеры

1) Полагая в формулах (1), (3), (5) y = х, получим:

(7)

(8)

(9)

2) Исследовать функцию

Рассмотрим второе слагаемое. Полагая в формуле (6)

х = 1, а y = х,

получим

откуда

Следовательно,

Данная функция является разрывной, ее график состоит из двух прямых, параллельных оси абсцисс (черт. 37).

Черт. 37

3) Исследовать функцию

Полагая в формуле (4) получим:

откуда

следовательно,

Построим график данной функции. Сегмент [-1, 1], на котором определена функция, разобьем на два сегмента и на первом сегменте

Следовательно, y убывает от -^7π/₄ до ^π/₄. На втором сегменте y имеет значение, равное ^π/₄ (черт. 38).

Черт. 38

4) Исследовать функцию

Установим область определения. Эта функция определена для всех значений аргумента хж так как при любом значении х имеет место неравенство: или, что то же

В самом деле, принимая во внимание, что при всех значениях х, имеем откуда Воспользуемся формулой (стр. 38):

Рассмотрим две дуги 2 arc tg x и имеющие одинаковый синус. Для дуги 2 arc tg x имеют место неравенства -π< 2 arc tg x<π; для второй дуги имеем

Если значение х заключено на сегменте [-1, 1], то:

Следовательно,

и мы имеем:

Для значений x<-1 имеем -π< 2arc tg x<-^π/₂, а потому:

Черт. 39

Если x>1, то,

Черт. 40

Итак, получим:

Черт. 41

Построим графики функций 2 arc tg x (черт. 39), -π - 2 arc tg x (черт. 40) и π - 2 arc tg x (черт. 41). График данной функции получается путем соединения трех дуг построенных линий, как это показано на чертеже 42.

Черт. 42

5) Исследовать функцию

Так как при любом значении х

то данная функция имеет смысл при всех значениях х.

Воспользуемся формулой (стр. 38):

Рассмотрим две дуги, имеющие одинаковый косинус:

в силу определения аркфункций имеем:

Откуда:

На чертеже 43 изображен график этой функции.

Черт. 43

6) Исследовать функцию:

Согласно формуле (7) (стр. 61):

Принимая во внимание, что получим:

График этой функции изображен на чертеже 44.

Черт. 44

7) Преобразовать в арксинус дугу arc sin x + arc tg y. На основании формулы (стр. 46) данную дугу можно представить в виде суммы арксинусов следующим образом:

Теперь остается применить формулу (1). Предоставляем читателю докончить вычисления.

Упражнения.

1. Вычислить:
   
   
2. Вычислить:
   
   
   [применить два раза формулу (9)]
3. Доказать справедливость равенств:
   
   
   
   
   
   
   
   
4. На основании предыдущего примера доказать равенство:
   
   
   Указание: принять во внимание равенство
   
   
5. Исследовать функцию
   
   
6. Исследовать функцию: