§ 12. Примеры преобразований

Переходим к рассмотрению основных преобразований, которые могут быть получены на основе выведенных формул.

1) Преобразуем выражение: sin (2 arc sin x). Применяя формулу sin 2α = 2 sin α cos α, имеем:

2) Подобным же образом устанавливается справедливость равенств:

3) Пользуясь теоремой сложения и формулами предыдущего параграфа, получим:

4) Следуя приему, указанному в предыдущем примере, можно доказать следующие равенства:

5) Из тригонометрии известно, что sin 2α и cos 2α рационально выражаются через tg α по следующим формулам:

полагая в этих формулах α = arc tg x, получим:

Как следовало ожидать, мы получили рациональные функции.

6) Преобразуем Полагая в формуле

α = arc sin x, получим:

Знак выражения совпадает со знаком x: следовательно, перед радикалом должен быть взят знак +, так как только тогда знак правой части будет совпадать со знаком x.

Итак, имеем:

Тем же методом, доказываются равенства:

В конце настоящей главы приведен ряд примеров и упражнений на выполнение подобного рода преобразований.

Выведем формулы преобразования выражений вида sin (m arc sin x), cos (m arc cos x) и т. д., где m>0 - целое число. Воспользуемся формулами:

(последний член равен при нечетном m и при m четном).

(последний член равен при нечетном m и при четном m).

В написанных формулах символ означает число сочетаний из m элементов по k.

Формулы (1) и (2) могут быть получены, если воспользоваться известной из теории комплексных чисел формулой Моавра;

Разлагая правую часть равенства но формуле бинома Ньютона, получим:

Приравнивая в этом равенстве действительную часть действительной и мнимую мнимой, получим формулы (1) и (2).

Полагая в формуле (2) φ = arc sin x и пользуясь равенством,

получим:

Подобным же образом, полагая в формуле (1) φ = arc cos x, будем иметь:

Последнее равенство показывает, что функция cos (m arc cos x), определенная в сегменте [-1, 1] (так как только в этом сегменте arc cos x имеет смысл), совпадает на этом сегменте с некоторым многочленом m-й степени. Эти многочлены носят название полиномов Чебышева, по имени великого русского ученого П. Л. Чебышева. О некоторых замечательных свойствах полиномов Чебышева сказано в специальном дополнении в конце книги.

В качестве дальнейшего примера рассмотрим tg (m arc tg x). При всяком целом m эта функция является рациональной.

В самом деле:

Полагая в формуле (3) φ = arc tg x, получим:

Читатель может убедиться, пользуясь выведенными выше формулами, что функции sin (m arc cos x); cos (m arc tg x); tg (m arc sin x) и пр. (m - целое число) могут быть представлены алгебраическими выражениями.

Приведенными примерами мы не исчерпали всех возможных этого рода преобразований, однако методы их выполнения выяснены достаточно подробно.

Упражнения.

1) Проверить справедливость равенств:

2) Доказать, что x + y + z = xyz при условии

Решение. Воспользуемся формулой.

Согласно условию, имеем:

откуда

следовательно,

3) Показать, что ctg [arc tg x + arc tg(1-x)] = 1 - x - x².

4) Написать в виде многочленов:

5) Написать в виде алгебраических функций:

6) Показать, что:

Решение. Полагая в формуле

α = arc sin x,

после элементарных преобразований получим:

так как то в числителе следует взять x по абсолютной величине.

7) Показать, что

Указание: положить в формуле sin 3α = 3 sin α - 4 sin 3α, α = - arc sin x.

8) Показать, что

9) Доказать равенство