Новости    Библиотека    Энциклопедия    Биографии    Карта сайта    Ссылки    О проекте




предыдущая главасодержаниеследующая глава

Глава III. Тригонометрические операции над аркфункциями

§ 11. Основные формулы

Тригонометрические функции от одного и того же аргумента выражаются алгебраически одна через другую, поэтому в результате выполнения какой-либо тригонометрической операции над любой из аркфункций получается алгебраическое выражение.

В силу определения аркфункций:

sin (arc sin x) = x; cos (arc cos x) = x; (1)

на сегменте -1≤х≤1 и

tg (arc tg x) = x; ctg (arc ctg x) = x; (2)

в интервале -∞<x<∞.

Равенства (1) не являются тождествами, справедливыми при всех действительных значениях х. Так, например, при |х|>1 выражение arc sin x, а следовательно, и sin (arc sin x) теряет смысл. Итак, при |х|>1 левая часть равенства

sin (arc sin x) = x

не имеет смысла, а правая смысла не теряет, а потому говорить о выполнении равенств (1) не представляется возможным. Равенства (1) суть тождества лишь на сегменте - 1≤x≤1. На чертеже 29 графически показано различие между функциями, заданными формулами

y = х и y = sin (arc sin x).
Черт. 29
Черт. 29

Первая изображается биссектрисой координатного угла, а вторая - лишь отрезком этой биссектрисы. Равенства (2) являются тождествами, справедливыми при всех действительных значениях х.

Перейдем к более сложным преобразованиям.

1) Преобразуем выражение cos (arc sin x). Мы знаем, что косинус может быть выражен через синус по формуле


Полагая в этой формуле α = arc sin x, будем иметь sin α = x, следовательно, получим


Выясним, какой из знаков должен быть взят перед радикалом. Из тригонометрии известно, что косинус дуги, заключенной на сегменте положителен или равен нулю, а так как


то перед радикалом следует взять знак +. Итак,


Полученному соотношению легко дать геометрическую интерпретацию. Рассмотрим тригонометрический круг (радиус, как всегда, считаем равным 1, черт. 30).

Черт. 30
Черт. 30

Число х есть величина линии синуса ВВ1 угла АОВ = arc sin x. Величина отрезка ОВ1 есть значение косинуса угла AОВ:

cos AОВ = ОВ1.

По теореме Пифагора


откуда:


2) Подобным же образом найдем:


В силу неравенств 0≤ arc cjs z ≤π имеем sin (arc cos x)≥0, а поэтому перед радикалом необходимо взять знак +. Геометрический вывод предоставляем читателю.

3) Из соотношения следует:


4) В качестве дальнейшего примера рассмотрим функцию tg (arc sin x); имеем:


5) На основании формулы тригонометрии, выражающей синус через тангенс


получим:


Если x<0, то sin (arc tg x)<0 и если x>0, то sin (arc tg x)>0. В правой части мы должны выбрать знак +, так как только при таком выборе знака дробь будет иметь тот же знак, что и знак х.

Итак,


Дадим сводку формул, получающихся в результате выполнения простейших тригонометрических операций над аркфункциями. Справедливость всех этих формул может быть установлена читателем при помощи рассуждений, подобных приведенным выше.


Выражения, находящиеся в правых частях каждого из написанных в таблице равенств, суть алгебраические. Эти формулы являются не чем иным, как только иначе написанными, известными из тригонометрии формулами, при помощи которых тригонометрические функции выражаются одна через другую.

предыдущая главасодержаниеследующая глава




ИНТЕРЕСНО:

Многомерный математический мир… в вашей голове

В школах Великобритании введут китайские учебники математики

Найдено самое длинное простое число Мерсенна, состоящее из 22 миллионов цифр

Как математик помог биологам совершить важное открытие

Математические модели помогут хирургам

Почему в математике чаще преуспевают юноши

Физики-практики откровенно не любят математику

В индийской рукописи нашли первое в истории упоминание ноля

Вавилонская глиняная табличка оказалась древнейшей «тригонометрической таблицей» в мире

Ученые рассказали о важной роли игр с пальцами в обучении детей математике
Пользовательского поиска

© Злыгостев Алексей Сергеевич, статьи, подборка материалов, оформление, разработка ПО 2001-2018
При копировании материалов проекта обязательно ставить ссылку на страницу источник:
http://mathemlib.ru/ 'MathemLib.ru: Математическая библиотека'
Рейтинг@Mail.ru