§ 9. Арккотангенс

Рассуждения, лежащие в основе определения и изучения свойств функции arc ctg х, аналогичны соответствующим рассуждениям, относящимся к арктангенсу. Поэтому мы ограничимся кратким конспективным изложением теории арккотангенса, предоставляя читателю в качестве упражнения самостоятельно провести надлежащие доказательства.

В каждом из интервалов (kπ, (k+1)π) котангенс убывает от ∞ до -∞, а потому возможен переход к обратной функции.

Определение. Функция, обратная функции y = ctg x в интервале (0, π), называется арккотангенсом:

Иначе говоря:

Символом arc ctg y обозначается дуга, заключенная в интервале (О, π), котангенс которой равен х.

Примеры:

1. arc ctg 0 = ^π/₂;
2. arc ctg (-1) = ^3π/₄;
3. arc ctg √3 = ^π/₆.

Функция y = arc ctg x определена для всех действительных значений х и в интервале -∞<x<∞ убывает от π до 0.

График функции y = arc ctg x легко построить, построив график функции x = ctg y и выделив ту ветвь, для которой ординаты заключены в промежутке (0, π) (черт. 25).

Черт. 25

При изменении знака аргумента арккотангенса имеем

Для интервала (kπ, (k+1)π) функция y = arc ctg x + kπ является обратной относительно котангенса.

В некоторых учебниках рекомендуется значение функции arc ctg х выбирать в промежутке (-^π/₂, ^π/₂). Возможность выбирать значения arc ctg x в этом промежутке мотивируется тем, что в интервале (-^π/₂, ^π/₂) котангенс может иметь любое заданное значение при одном единственном значении аргумента. Принять интервал (-^π/₂, ^π/₂) за основной неудобно, так как он содержит точку разрыва котангенса. Если бы мы условились выбирать значение арккотангенса в этом интервале, то функция arc ctg x оказалась бы разрывной. График этой функции изображен на чертеже 26.

Черт. 26

Мы не будем останавливаться на рассмотрении практически редко встречающихся функций arc sec х и arc cosec x. Провести соответствующие рассуждения в качестве упражнения рекомендуем читателю. Ограничимся лишь следующим замечанием. Значения арксеканса и арккосеканса выбираются соответственно на сегментах

[0, π] и

Функции arc sec х и arc cosec x определены для значений аргумента, не меньших единицы. Поэтому область определения этих функций распадается на две части: x≤-1 и х≥1.

Черт. 27

На чертежах 27 и 28 изображены графики функций

Черт. 28