Новости    Библиотека    Энциклопедия    Биографии    Карта сайта    Ссылки    О проекте




предыдущая главасодержаниеследующая глава

§ 8. Арктангенс

Точки x = π/2 + kπ (k - любое целое число) разделяют всю числовую прямую на интервалы, в каждом из которых тангенс возрастает и может иметь любое заданное действительное значение, или, как говорят условно, в каждом из рассматриваемых интервалов тангенс возрастает от -∞ до ∞ (см. график черт. 14). Следовательно, в каждом из интервалов (-π/2 + kπ, π/2 + kπ) возможен переход к обратной функции.

Определение. Функция, обратная функции y = tg x в интервале -π/2<x<π/2 называется арктангенсом:

x = arc tg y.

В геометрической терминологии это определение формулируется так (меняем местами х и у): arc tg x есть дуга, взятая в интервале от -π/2 до π/2:

-π/2arc tg x<π/2,

тангенс которой равен х:

tg (arc tg x) = x.

Итак, если y = arc tg x, то x = tg y, причем -π/2<y<π/2. Так как значение тангенса в интервале от -π/2 до π/2 может быть произвольным действительным числом, то допустимыми значениями х являются произвольные действительные значения, и, следовательно, областью определения функции y = arc tg x является множество всех действительных чисел -∞<x<∞. Взаимно обратные функции y = arc tg x и x = tg y взаимно однозначно отображают друг на друга интервалы

-∞<x<∞ и -π/2<y<π/2

(Черт. 22).

Черт. 22
Черт. 22

Примеры:

  1. arc tg 1 = π/4;
  2. arc tg √3 = π/3;
  3. arc tg (-1) = -π/4;
  4. arc tg (-1/√3) = - π/6;

Отметим следующие основные свойства арктангенса.

1°. Функция y = arc tg х в интервале -∞<х<∞ возрастает от -π/2 до π/2 (сами граничные значения ±π/2 исключаются). Это следует из монотонности и взаимной однозначности отображения друг на друга интервалов:

-∞<x<∞ и -π/2<y<π/2.

2°. При изменении знака аргумента имеет место равенство:

arc tg (-х) = - arc tg x.

Доказательство аналогично доказательству соответствующего свойства арксинуса.

Черт. 23
Черт. 23

Для построения графика функции y = arc tg x строим график функции x = tg y (черт. 23) и выделяем ветвь, для которой ординаты заключены в промежутке -π/2<y<π/2 (черт. 24).

Черт. 24
Черт. 24

В каждом из интервалов (-π/2+kπ, π/2+kπ), получающихся сдвигом основного интервала (-π/2, π/2) на любое целое число периодов тангенса (в силу монотонности) возможен переход к обратной функции. Если y = tg x, то обратной функцией в интервале -π/2+kπ<x<π/2+kπ будет

x = arc tg y + kπ.

Примеры:

  1. Найти дугу в интервале (-/2, -π/2), тангенс которой равен -√3. Имеем -/2 = -π/2 - π и -π/2 = π/2 - π. Поэтому искомая дуга есть:
    arc tg(-√3) - π = - π/3 - π = -/2.

Найти дугу в интервале (π/2, /2), тангенс которой равен √3/3, имеем π/2 = -π/2 + π и /2 = π/2 + π. Искомая дуга есть

arc tg √3/3 + π = π/6 + π = /6.
предыдущая главасодержаниеследующая глава




ИНТЕРЕСНО:

Многомерный математический мир… в вашей голове

В школах Великобритании введут китайские учебники математики

Найдено самое длинное простое число Мерсенна, состоящее из 22 миллионов цифр

Как математик помог биологам совершить важное открытие

Математические модели помогут хирургам

Почему в математике чаще преуспевают юноши

Физики-практики откровенно не любят математику

В индийской рукописи нашли первое в истории упоминание ноля

Вавилонская глиняная табличка оказалась древнейшей «тригонометрической таблицей» в мире

Ученые рассказали о важной роли игр с пальцами в обучении детей математике
Пользовательского поиска

© Злыгостев Алексей Сергеевич, статьи, подборка материалов, оформление, разработка ПО 2001-2017
При копировании материалов проекта обязательно ставить ссылку на страницу источник:
http://mathemlib.ru/ 'MathemLib.ru: Математическая библиотека'
Рейтинг@Mail.ru