Новости    Библиотека    Энциклопедия    Биографии    Карта сайта    Ссылки    О проекте




предыдущая главасодержаниеследующая глава

§ 7. Арккосинус

Если рассматривать функцию y = cos x при всевозможных действительных значениях х, то осуществить переход к обратной функции невозможно. На сегменте 0≤x≤π (т. е. I и II четверти) cos x убывает от 1 до -1, а потому существует обратная функция.

Определение. Функция, обратная функции y = cos x на сегменте 0≤х≤π, называется арккосинусом:

x = arc cos y.

В геометрических терминах это определение формулируется так (меняем местами буквы х и у):

arc cos х есть дуга, взятая в промежутке от 0 до π:

0≤ arc cos х ≤π,

косинус которой равен х:

cos (arc cos x) = x,

где -1≤х≤1.

Областью определения функции arc cos x является сегмент [-1,1]. Если |x|>1, то arc cos x не имеет смысла.

Примеры:

  1. arc cos 0 = π/2;
  2. arc cos 1 = 0;
  3. arc cos (- 1) = π;
  4. arc cos 1/2 = π/3;
  5. arc cos (-1;/2) = /3;
  6. arc cos √2/2 = π/4;
  7. arc cos (-√2/2) = /4;
  8. arc cos (- 2) не имеет смысла.

Отметим следующие основные свойства арккосинуса:

1°. На сегменте -1≤х≤1 функция y = arc cos x убывает от π до нуля.

Это следует из того, что обратная функция x - cos y на сегменте 0≤y≤π убывает от 1 до -1.

2°. Имеет место равенство:

arc cos (-х) = π - arc cos x. (1)

Доказательство. Дуга arc cos (-х) заключена на сегменте [0, π], в силу определения арккосинуса. Дуга π - arc cos x заключена в том же промежутке; это следует из неравенств 0≤ arc cos x≤π. Обе дуги имеют одинаковый косинус:

cos [arc cos (-х)] = - х;
cos (π - arc cos x) = - cos (arc cos x) = -x.

Отсюда следует равенство (1), ч. т. д.

Черт. 20
Черт. 20

Построим график функции y = arc cos x. Согласно определению этой функции, имеем x = cos y. Графиком является косинусоида с волнами, расположенными вдоль оси ОY (черт. 20). Выделяя на этой линии дугу, для которой ординаты заключены в промежутке [0, π|, получим график функции arc cos х (черт. 21).

Черт. 21
Черт. 21

Переход к обратной функции можно осуществить в любом промежутке, в котором косинус является монотонным. Так, y = cos х возрастает от - 1 до 1 на сегменте [-π, 0], соответствующая обратная функция есть - arc cos x. Вообще на сегменте [2kπ, (2k+1) π], на котором y = cos x убывает от 1 до -1, обратная функция есть

х = arc cos у + 2kπ.

На сегменте [(2k-1)π; 2kπ], на котором y = cos х возрастает от -1 до 1, обратная функция есть

х = - arc cos у + 2kπ.

Примеры:

  1. Найти дугу на сегменте [π; 0], косинус которой равен 1/2. Искомой дугой является
    - arc cos 1/2 = - π/3.
  2. На сегменте [π, 2π] найти дугу, косинус которой равен -1/√2. Имеем π = - π + 2π и 2π = 0 + 2π. Решение задачи дает дуга
    - arc cos (-1/√2) + 2π = - /4 + 2π = /4.
предыдущая главасодержаниеследующая глава




ИНТЕРЕСНО:

Многомерный математический мир… в вашей голове

В школах Великобритании введут китайские учебники математики

Найдено самое длинное простое число Мерсенна, состоящее из 22 миллионов цифр

Как математик помог биологам совершить важное открытие

Математические модели помогут хирургам

Почему в математике чаще преуспевают юноши

Физики-практики откровенно не любят математику

В индийской рукописи нашли первое в истории упоминание ноля

Вавилонская глиняная табличка оказалась древнейшей «тригонометрической таблицей» в мире

Ученые рассказали о важной роли игр с пальцами в обучении детей математике
Пользовательского поиска

© Злыгостев Алексей Сергеевич, статьи, подборка материалов, оформление, разработка ПО 2001-2017
При копировании материалов проекта обязательно ставить ссылку на страницу источник:
http://mathemlib.ru/ 'MathemLib.ru: Математическая библиотека'
Рейтинг@Mail.ru