Новости    Библиотека    Энциклопедия    Биографии    Карта сайта    Ссылки    О проекте




предыдущая главасодержаниеследующая глава

Глава II. Обратные тригонометрические функции (аркфункции)

§ 6. Арксинус

Для тригонометрической функции y = sin x, рассматриваемой при всевозможных действительных значениях х, переход к обратной функции невозможен. Так, например, значение y = 0 функция имеет при бесконечно многих значениях аргумента x = kπ и по данному значению y не представляется возможным найти одно единственное значение х. Однако переход к обратной функции станет возможным, если рассматривать y = sin x не при произвольных значениях х, а лишь в каком-либо промежутке, в котором синус является монотонным.

Рассмотрим сегмент -π/2≤x≤π/2. На этом сегменте sin x возрастает от -1 до 1 и, следовательно, значения x и y связаны взаимно-однозначным соответствием. Как показывает чертеж 16, сегменты -π/2≤x≤π/2 и -1≤y≤1 взаимно-однозначно отображаются друг на друга.

Черт. 16
Черт. 16

Определение. Функция, обратная функции y = sin x, на сегменте -π/2≤x≤π/2, называется арксинусом и обозначается так:

x = arc sin y.

Теперь мы рассматриваем у как аргумент, а х как функцию. Чтобы не нарушать привычки в обозначениях (что не имеет принципиального значения), переставив буквы х и у, будем писать у = arc sin х, тогда имеем:

x = sin y,

где -π/2≤y≤π/2, а -1≤х≤1.

В геометрической терминологии определение арксинуса можно формулировать следующим образом: arc sin x есть дуга, взятая в пределах от -π/2 до π/2:

-π/2≤arc sin x ≤π/2,

синус которой равен числу х, где -1≤х≤1:

sin (arc sin х) = х.

Если |х|>1, то выражение arc sin х теряет смысл, так как не существует дуги, для которой значение синуса по абсолютной величине больше 1. Значит, областью определения функции arc sin х служит сегмент [-1, 1].

Таким образом (в силу определения), при любом значении |x|≤1 имеют место неравенства:

-π/2≤arc sin x≤π/2.

На основании этого же определения имеем:

sin (arc sin x) = x

(синус дуги, синус которой равен х).

Примеры.

  1. arc sin 1/2 = π/6;
  2. arc sin √3/2 = π/3;
  3. arc sin (-1/2) = - π/6;
  4. arc sin 1 = π/2;
  5. arc sin (-1) = - π/2;
  6. arc sin (-/2) = -π/3;
  7. arc sin 0 = 0;
  8. arc sin 3 не имеет смысла.

Отметим следующие основные свойства арксинуса:

1°. Функция y = arc sin х на сегменте -1≤х≤1 возрастает от -π/2 до π/2.

Это следует из монотонности синуса и взаимной однозначности отображения друг на друга сегментов:

-1≤x≤1 и -π/2≤y≤π/2.

2°. При изменении знака аргумента функция arc sin x изменяет знак, не изменяя абсолютной величины:

arc sin (-х) = arc sin x. (1)

Доказательство. Дуга arc sin (-х) заключена на сегменте ибо значения арксинуса при любом аргументе заключены на этом сегменте. Дуга -arc sin x заключена на том же сегменте, в самом деле:


откуда


Обе дуги имеют одинаковый синус:



Отсюда вытекает равенство (1), ч. т. д.

Примеры:

Для построения графика функции y = arc sin x построим график функции x = sin y, при этом мы получим синусоиду с волнами, расположенными вдоль оси ОY (черт. 17). Выделяя на полученной линии дугу, для которой ординаты заключены на сегменте получим график арксинуса (черт. 18).

Черт. 17
Черт. 17

Функция y = sin x имеет обратную функцию не только на сегменте но и на любом сегменте, на котором она монотонна. Так, например, на сегменте (т. е. во II и III четвертях) y = sinx убывает от 1 до -1, поэтому на данном сегменте возможен переход к обратной функции. Дугу x, имеющую синус, равный y, и расположенную на сегменте нетрудно найти. Для этого достаточно воспользоваться общей формулой приведения:

sin α = sin (π - α).
Черт. 18
Черт. 18

Если дуга α заключена на сегменте -π/2≤α≤π/2 (I отрицательная и I четверти), то дуга π-α заключена на сегменте (II и III четверти):

π/2≤π-α≤/2 (черт. 19.)

Черт. 19
Черт. 19

Следовательно, х = π - arc sin x есть функция, обратная по отношению y = sin x на сегменте π/2≤x≤/2.

Функция y = sin x возрастает от -1 до 1 на сегменте -π/2+2kπ≤x≤π/2+2kπ (где k - любое целое число), функция

x = arc sin у + 2kπ

есть соответствующая обратная функция.

На сегменте π/2+2kπ≤х≤/2+2kπ функция у = sin x убывает от +1 до -1, а х = (π - arc sin y) + 2kπ есть соответствующая обратная функция.

Примеры.

1) На сегменте найти дугу γ, имеющую синус, равный 1/2. Согласно полученным результатам, эту дугу можно найти так:

γ = π - arc sin 1/2 = π - π/6 = /2.

Решим ту же задачу при следующих данных: синус искомой дуги равен - 1/√2:

γ = π - arc sin (-1/√2:) = π + π/4 = /4

2) На сегменте найти дугу, синус которой равен - 1/√2.

Так как


то искомой дугой является дуга


3) На сегменте найти дугу, синус которой равен Так как


то искомой дугой будет дуга:


предыдущая главасодержаниеследующая глава




ИНТЕРЕСНО:

Зачем математики ищут простые числа с миллионами знаков?

Задача построения новых оснований математики - унивалентные основания

Многомерный математический мир… в вашей голове

В школах Великобритании введут китайские учебники математики

Найдено самое длинное простое число Мерсенна, состоящее из 22 миллионов цифр

Как математик помог биологам совершить важное открытие

Математические модели помогут хирургам

Почему в математике чаще преуспевают юноши

Физики-практики откровенно не любят математику

В индийской рукописи нашли первое в истории упоминание ноля

Вавилонская глиняная табличка оказалась древнейшей «тригонометрической таблицей» в мире

Ученые рассказали о важной роли игр с пальцами в обучении детей математике
Пользовательского поиска

© Злыгостев Алексей Сергеевич, статьи, подборка материалов, оформление, разработка ПО 2001-2018
При копировании материалов проекта обязательно ставить ссылку на страницу источник:
http://mathemlib.ru/ 'MathemLib.ru: Математическая библиотека'
Рейтинг@Mail.ru