Глава II. Обратные тригонометрические функции (аркфункции)

§ 6. Арксинус

Для тригонометрической функции y = sin x, рассматриваемой при всевозможных действительных значениях х, переход к обратной функции невозможен. Так, например, значение y = 0 функция имеет при бесконечно многих значениях аргумента x = kπ и по данному значению y не представляется возможным найти одно единственное значение х. Однако переход к обратной функции станет возможным, если рассматривать y = sin x не при произвольных значениях х, а лишь в каком-либо промежутке, в котором синус является монотонным.

Рассмотрим сегмент -^π/₂≤x≤^π/₂. На этом сегменте sin x возрастает от -1 до 1 и, следовательно, значения x и y связаны взаимно-однозначным соответствием. Как показывает чертеж 16, сегменты -^π/₂≤x≤^π/₂ и -1≤y≤1 взаимно-однозначно отображаются друг на друга.

Черт. 16

Определение. Функция, обратная функции y = sin x, на сегменте -^π/₂≤x≤^π/₂, называется арксинусом и обозначается так:

Теперь мы рассматриваем у как аргумент, а х как функцию. Чтобы не нарушать привычки в обозначениях (что не имеет принципиального значения), переставив буквы х и у, будем писать у = arc sin х, тогда имеем:

где -^π/₂≤y≤^π/₂, а -1≤х≤1.

В геометрической терминологии определение арксинуса можно формулировать следующим образом: arc sin x есть дуга, взятая в пределах от -^π/₂ до ^π/₂:

синус которой равен числу х, где -1≤х≤1:

Если |х|>1, то выражение arc sin х теряет смысл, так как не существует дуги, для которой значение синуса по абсолютной величине больше 1. Значит, областью определения функции arc sin х служит сегмент [-1, 1].

Таким образом (в силу определения), при любом значении |x|≤1 имеют место неравенства:

На основании этого же определения имеем:

(синус дуги, синус которой равен х).

Примеры.

1. arc sin ¹/₂ = ^π/₆;
2. arc sin ^√3/₂ = ^π/₃;
3. arc sin (-¹/₂) = - ^π/₆;
4. arc sin 1 = ^π/₂;
5. arc sin (-1) = - ^π/₂;
6. arc sin (-^√/₂) = -^π/₃;
7. arc sin 0 = 0;
8. arc sin 3 не имеет смысла.

Отметим следующие основные свойства арксинуса:

1°. Функция y = arc sin х на сегменте -1≤х≤1 возрастает от -^π/₂ до ^π/₂.

Это следует из монотонности синуса и взаимной однозначности отображения друг на друга сегментов:

2°. При изменении знака аргумента функция arc sin x изменяет знак, не изменяя абсолютной величины:

Доказательство. Дуга arc sin (-х) заключена на сегменте ибо значения арксинуса при любом аргументе заключены на этом сегменте. Дуга -arc sin x заключена на том же сегменте, в самом деле:

откуда

Обе дуги имеют одинаковый синус:

Отсюда вытекает равенство (1), ч. т. д.

Примеры:

Для построения графика функции y = arc sin x построим график функции x = sin y, при этом мы получим синусоиду с волнами, расположенными вдоль оси ОY (черт. 17). Выделяя на полученной линии дугу, для которой ординаты заключены на сегменте получим график арксинуса (черт. 18).

Черт. 17

Функция y = sin x имеет обратную функцию не только на сегменте но и на любом сегменте, на котором она монотонна. Так, например, на сегменте (т. е. во II и III четвертях) y = sinx убывает от 1 до -1, поэтому на данном сегменте возможен переход к обратной функции. Дугу x, имеющую синус, равный y, и расположенную на сегменте нетрудно найти. Для этого достаточно воспользоваться общей формулой приведения:

Черт. 18

Если дуга α заключена на сегменте -^π/₂≤α≤^π/₂ (I отрицательная и I четверти), то дуга π-α заключена на сегменте (II и III четверти):

^π/₂≤π-α≤^3π/₂ (черт. 19.)

Черт. 19

Следовательно, х = π - arc sin x есть функция, обратная по отношению y = sin x на сегменте ^π/₂≤x≤^3π/₂.

Функция y = sin x возрастает от -1 до 1 на сегменте -^π/₂+2kπ≤x≤^π/₂+2kπ (где k - любое целое число), функция

есть соответствующая обратная функция.

На сегменте ^π/₂+2kπ≤х≤^3π/₂+2kπ функция у = sin x убывает от +1 до -1, а х = (π - arc sin y) + 2kπ есть соответствующая обратная функция.

Примеры.

1) На сегменте найти дугу γ, имеющую синус, равный ¹/₂. Согласно полученным результатам, эту дугу можно найти так:

Решим ту же задачу при следующих данных: синус искомой дуги равен - ¹/_√2:

2) На сегменте найти дугу, синус которой равен - ¹/_√2.

Так как

то искомой дугой является дуга

3) На сегменте найти дугу, синус которой равен Так как

то искомой дугой будет дуга: