НОВОСТИ    БИБЛИОТЕКА    ЭНЦИКЛОПЕДИЯ    БИОГРАФИИ    КАРТА САЙТА    ССЫЛКИ    О ПРОЕКТЕ  

предыдущая главасодержаниеследующая глава

Простые функции

10.19. Определение. Пусть s - вещественная функция, определенная на множестве X. Если множество значений функции s конечно, то мы будем говорить, что s - простая функция.

Пусть Е⊂X, и пусть


КЕ называется характеристической функцией множества Е.

Пусть множество значений функции s состоит из различных чисел с1, ..., сn. Пусть

Ei = {х|s(х) = ci) (i = 1, ..., n).

Тогда

(49)


т. е. каждая простая функция представляет собой конечную линейную комбинацию характеристических функций. Ясно, что s измерима тогда и только тогда, когда множества Е1, ..., Еn измеримы.

Оказывается, любую функцию можно приблизить простыми функциями,

10.20. Теорема. Пусть f - вещественная функция, определенная на множестве X. Тогда существует последовательность {sn} простых функций, такая, что sn (х)→f(x) при n&38594;∞ для всякого х∈Х. Если функция f измерима, то можно выбрать последовательность {sn} так, чтобы все функции sn тоже были измеримы. Если f≥0, то последовательность {sn} можно считать монотонно возрастающей.

Доказательство. Если f&38805;0, то положим



при n = 1, 2, 3, ..., i = 1, 2, ... n2n, Пусть

(50)


В общем случае запишем f = f + - f - и применим предыдущую конструкцию к f + и f -.

Заметим, что последовательность {sn}, заданная равенством (50), сходится к f равномерно, если f ограничена.

предыдущая главасодержаниеследующая глава











© MATHEMLIB.RU, 2001-2021
При копировании материалов проекта обязательно ставить ссылку на страницу источник:
http://mathemlib.ru/ 'Математическая библиотека'
Рейтинг@Mail.ru
Поможем с курсовой, контрольной, дипломной
1500+ квалифицированных специалистов готовы вам помочь