Новости    Библиотека    Энциклопедия    Биографии    Карта сайта    Ссылки    О проекте




предыдущая главасодержаниеследующая глава

Измеримые функции

10.13. Определение. Пусть f - функция, определенная на измеримом пространстве X со значениями в расширенной системе вещественных чисел. Функция f называется измеримой, если множество

(42)

{x|f(x)>a}

измеримо при каждом вещественном а.

10.14. Пример. Если X = Rp, а = (μ) - в соответствии с определением 10.9,- то каждая непрерывная функция f измерима, так как в этом случае множество (42) открыто.

10.15. Теорема. Следующие условия эквивалентны:

(43)

{x|f(x)>а) измеримо при каждом вещественном а.

(44)

{x|f(х)≥а) измеримо при каждом вещественном а.

(45)

{x|f(x)<a} измеримо при каждом вещественном а.

(46)

{x|f(x)≤a} измеримо при каждом вещественном а.

Доказательство. Отношения





последовательно показывают, что из (43) следует (44), из (44) следует (45), из (45) следует (46), а из (46) следует (43).

Значит, каждое из этих условий можно использовать вместо (42) для определения измеримости.

10.16. Теорема. Если f измерима, то измерима и |f|.

Доказательство:


10.17. Теорема. Пусть {fn} - последовательность измеримых функций. При х∈Х положим

g(x) = sup fn(x) (n = 1, 2, 3, ...),

Тогда функции g и h измеримы.

Конечно, то же верно и в отношении нижней грани и нижнего предела.

Доказательство.


Следствия. (а) Если f и g измеримы, то max (f, g) и min (f, g) измеримы. Если

(47)

f+ = max(f, 0), f- = - min(f,0),

то, в частности, f+ и f- измеримы.

(b) Предел сходящейся последовательности измеримых функций-измеримая функция.

10.18. Теорема. Пусть f и g - измеримые конечные вещественные функции, определенные на множестве X, пусть функция F вещественна и непрерывна на R2, и пусть

h(x) = F(f(x), g(x)) (x∈X).

Тогда функция h измерима.

В частности, функции f + g и fg измеримы.

Доказательство. Пусть Gα = {(u, v)|F(u, v)>a}. Тогда Gα - открытое подмножество пространства R2 и


где {In} - последовательность открытых прямоугольников:


Поскольку множество

{х|аn<f(x)<bn} = {x|f(х)>an}∩{x|f(х)<bn)

измеримо, то множество

{x|(f(x), g(x))∈In} = {x|an^#60;f(x)<bn}∩{x|cn<g(x)<dn)

измеримо. Значит, то же верно и в отношении множества


Подводя итоги, мы можем сказать, что все обычные операции анализа, включая операции, связанные с предельным переходом, будучи примененными к измеримым функциям, приводят снова к измеримым функциям; иными словами, все функции, с которыми обычно встречаются, измеримы.

То, что эта формулировка тем не менее довольно груба, видно, однако, из следующего замечания: если h(x) - f(g(x)), где функция f измерима, a g непрерывна, то функция h не обязательно измерима.

Читатель, возможно, заметил, что в нашем обсуждении измеримых функций нигде не упоминалась мера. В самом деле, класс функций, измеримых на X, зависит только от σ-кольца (обозначения те же, что в п. 10.12). Например, можно говорить о функциях, измеримых по Борелю на Rp, т. е. о функциях f, для которых множество

{х|f(x)>а}

всегда борелевское, не упоминая при этом никакой конкретной меры.

предыдущая главасодержаниеследующая глава




ИНТЕРЕСНО:

Зачем математики ищут простые числа с миллионами знаков?

Задача построения новых оснований математики - унивалентные основания

Многомерный математический мир… в вашей голове

В школах Великобритании введут китайские учебники математики

Найдено самое длинное простое число Мерсенна, состоящее из 22 миллионов цифр

Как математик помог биологам совершить важное открытие

Математические модели помогут хирургам

Почему в математике чаще преуспевают юноши

Физики-практики откровенно не любят математику

В индийской рукописи нашли первое в истории упоминание ноля

Вавилонская глиняная табличка оказалась древнейшей «тригонометрической таблицей» в мире

Ученые рассказали о важной роли игр с пальцами в обучении детей математике
Пользовательского поиска

© Злыгостев Алексей Сергеевич, статьи, подборка материалов, оформление, разработка ПО 2001-2018
При копировании материалов проекта обязательно ставить ссылку на страницу источник:
http://mathemlib.ru/ 'MathemLib.ru: Математическая библиотека'
Рейтинг@Mail.ru