Новости    Библиотека    Энциклопедия    Биографии    Карта сайта    Ссылки    О проекте




предыдущая главасодержаниеследующая глава

Построение меры Лебега

10.4. Определение. Пусть Rp обозначает р-мерное евклидово пространство. Прямоугольником в Rp мы называем множество всех точек x = (x1, ..., хр), таких, что

(10)

ai≤xi≤bi (i = 1, ..., p),

или же множество точек, определяемое неравенствами (10), в которых некоторые (или все) знаки ≤ заменены на <;. Возможность равенства ai = bi при каком-нибудь значении i не исключается; в частности, пустое множество - тоже прямоугольник*.

* (Однако возможность неравенства аi&362;bi - следует исключить заранее, так как в противном случае число m(∅) (см. ниже) не будет определено однозначно.- Прим. перев.)

Если A - объединение конечного числа прямоугольников, то говорят, что A - элементарное множество.

Пусть I - прямоугольник; положим, по определению,


вне зависимости от того, включается или нет знак равенства в неравенства (10).

Если А = I1∪...∪In и эти прямоугольники попарно не пересекаются, то мы полагаем

(11)

m(A) = m(I1) + ... + m(In).

Обозначим буквой множество всех элементарных подмножеств пространства Rp.

Теперь следует убедиться в том, что

(12)

- кольцо, но не σ-кольцо.

(13)

Если А∈, то A представимо в виде объединения непересекающихся прямоугольников.

(14)

Если A∈, то m(А) действительно определено равенством (11). Это значит, что, исходя из двух различных представлений множества А в виде объединения непересекающихся прямоугольников, мы получим одно и то же значение m(А).

(15)

Функция m аддитивна на .

Заметим, что если р = 1, 2, 3, то m - это соответственно длина, площадь и объем.

10.5. Определение. Неотрицательная аддитивная функция множества φ, определенная на , называется регулярной, если верно следующее: для любого А∈ и любого числа ε>0 существуют множества F∈, G∈, такие, что F замкнуто, G открыто, F⊂A⊂G и

(16)

φ(G) - ε ≤φ(A) ≤φ(F) + ε

10.6.Примеры.(а) Функция множества m регулярна. Если А - прямоугольник, то требование определения 10.5 выполняется тривиальным образом. Общий случай следует из (13).

(b) Положим Rр = R1, и пусть α - монотонно возрастающая функция, определенная на R1. Положим

μ([a, b]) = α(b +) - α(a -), μ([a, b)) = α(b -) - α(a -), μ((a, b]) = α(b +) - α(a +), μ((a, b)) = α(b -) - α(a +).

Здесь [а, b) - множество всех чисел х, таких, что a≤x<b, и т. д. Эти множества следует различать из-за возможных разрывов функции α. Если μ определить на элементарных множествах, как в (11), то функция μ оказывается регулярной на . Доказательство точно такое же, как в (а).

Наша следующая цель состоит в доказательстве того, что каждая функция множества, регулярная на , может быть продолжена до счетно-аддитивной функции множества, определенной на σ-кольце, содержащем .

10.7.Определение. Пусть функция μ аддитивна, регулярна, неотрицательна и конечна на . Рассмотрим счетные покрытия какого-нибудь множества Е⊂Rp открытыми элементарными множествами Аn:


Положим, по определению,

(17)


где нижняя грань берется по всем счетным покрытиям множества Е открытыми элементарными множествами. Число μ* (Е) называется внешней мерой множества Е, соответствующей функции μ.

Ясно, что μ*(Е)≥0 при всех Е и что

(18)

μ*(E1)≤μ*(E2),

если Е1⊂Е2.

10.8.Теорема. (а) Для любого А∈ имеем μ*(A) = μ(A).

(b) Если то

(19)


Отметим, что (а) означает, что функция μ* - продолжение функции μ с кольца на множество всех подмножеств пространства Rp. Свойство (19) называется полуаддитивностью.

Доказательство. Пусть А∈ и ε>0.

Из регулярности меры μ следует, что множество А содержится в некотором открытом элементарном множестве G, таком, что μ(G)≤μ(A) + ε. Поскольку μ*(A)≤μ(G) и поскольку число ε произвольно, то

(20)

μ*(A)≤μ(A).

По определению μ* существует такая последовательность {Аn} открытых элементарных множеств, объединение которых содержит множество A, что


Регулярность функции μ показывает, что множество A содержит элементарное замкнутое множество F, такое, что μ(F)≥μ(A) - ε, а так как множество F компактно, то

F⊂A1∪...∪AN

при некотором N. Значит,


Сопоставляя это неравенство с неравенством (20), получаем утверждение (а).

Пусть теперь Е = ∪ Еn, и пусть μ*n)<+∞ при всех n. Данному числу ε>0 отвечают покрытия {Ank), k = 1, 2, 3, ..., множеств Еn открытыми элементарными множествами, такие, что

(21)


Тогда


откуда следует (19). Если же μ* (En) = +∞ при некотором n, то неравенство (19), разумеется, тривиально.

10.9.Определение. Для любых множеств A⊂Rp, B⊂Rp положим

(22)

S(A, B) = (A - B)∪(B - A),

(23)

d(A, В) = μ* (S (А, В)).

Будем писать Аn→A, если


Если существует такая последовательность {Аn} элементарных множеств, что Аn→A, то мы будем говорить, что множество А конечно μ-измеримо, и будем писать А∈F(μ). Если множество A равно объединению счетного семейства конечно μ-измеримых множеств, то мы будем говорить, что A μ-измеримо, и будем писать A∈(μ).

Множество S (A, В) - это так называемая "симметрическая разность" множеств A и B. Мы увидим, что d (A, В) обладает основными свойствами расстояния.

Следующая теорема позволит нам получить нужное распространение функции μ.

10.10.Теорема. Множество (μ) является σ-кольцом, а функция μ* счетно-аддитивна на (μ).

Прежде чем обратиться к доказательству этой теоремы, мы изучим некоторые свойства множества S (A, В) и числа d (A, В). Имеем:

(24)

S (A, В) = S (В, A), S (A, A) = ∅,

(25)

S (A, B)⊂ S (A, С)∪ S (С, B),

(26)


Утверждение (24) очевидно, а (25) следует из того, что

(А - В)⊂(A - С)∪(С - B), (B - A)∪(С - A)⊂(В - С).

Первая из формул (26) следует из того, что

(A1∪A2) - (B1∪B2)∪(A1 - В1)⊂(A2 - В2).

Наконец, обозначая через Ес дополнение множества Е, получаем

S(A1∩A2, B1∩B2) = S(A1c∪A2c, B1c∪B2c)⊂S(A1c, B1c)∪S(A2c, B2c) = S(A1 B1)∪S (A2, B2),

и последняя из формул (26) получится, если заметить, что

A1 - A2 = A1∩A2c.

Согласно (23), (19) и (18), из этих свойств множества S (A, B) следует, что

(27)

d(A, B) = d(B, A), d(A, A) = 0,

(28)

d(A, B)≤d(A, C) + d(C, В),

(29)


Соотношения (27) и (28) показывают, что d(A, В) удовлетворяет требованиям определения 2.17, за исключением того, что из d(A, B) = 0 не следует А = В. Например, если μ = m, множество A счетно, а B пусто, то

d(A, B) = m*(A) = 0.

Чтобы убедиться в этом, покроем n-ю точку множества A прямоугольником In, таким, что


Но если мы будем считать два множества A и В эквивалентными при условии

d(A, B) = 0,

то все подмножества пространства Rp разобьются на классы эквивалентности, и d(A, В) превращает множество всех этих классов эквивалентности в метрическое пространство. Тогда F(μ) оказывается замыканием множества *.

* (Точнее было бы здесь говорить не о F(μ) и , а о множествах всех классов эквивалентности, содержащих элементы множеств F(μ) и .- Прим. перев.)

Эта интерпретация несущественна для доказательства, но она объясняет идею, лежащую в его основе.

Нам потребуется еще одно свойство числа d(A, В), а именно

(30)


если по крайней мере одно из чисел μ*(A), μ*(B) конечно. Действительно, пусть 0≤μ*(B)≤μ*(A). Тогда, как показывает неравенство (28),

d(A, ∅)≤d(A, B) + d(B, ∅)

т. е.

μ*(A)≤d(A, B) + μ*(B).

Но так как μ*(В) конечно, то

μ*(A) - μ*(B)≤d(A, B).

Доказательство теоремы 10.10. Пусть А∈F(μ), B∈F(μ). Выберем последовательности {Аn}, {Вn} так, чтобы Аn, Вn, Аn→А, Вn→В. Тогда (29) и (30) показывают, что

(31)

Аn∪Bn→A∪B,

(32)

Аn∩Bn→A∩B,

(33)

Аnn→А-В,

(34)

μ*(An)→μ*(A),

и μ*(A)<+∞, так как d(An, A)→0. Согласно (31) и (33), F(μ) - кольцо. Согласно (7),

μ(An) + μ(Вn) = μ(An∪Bn) + μ(Аn∩Bn).

Полагая n→∞, получаем из (34) и теоремы 10.8 (a)

μ(A) + μ(В) = μ(A∪B) + μ(А∩B).

Если А∩B = ∅, то μ* (А∩B) = 0. Следовательно, функция μ* аддитивна на F(μ).

Пусть теперь A∈(μ). Тогда А можно представить в виде объединения счетного множества непересекающихся множеств из F(μ). Действительно, если A = ∪А'n, где А'nF(μ), то положим A1 = A'1 и

Аn = (А'1∪...∪Аn)-(А'1∪...∪А'n-1) (n = 2, 3, 4, ...).

Тогда

(35)


требуемое представление. Согласно (19),

(36)


С другой стороны, A⊃А1∪...∪An, и, в силу аддитивности функции μ* на F(μ), получаем

(37)

μ*(A)≥μ*1∪...∪Аn) = μ*(A1)+...+μ*(А).

Из (36) и (37) следует, что

(38)


Допустим, что число μ*(А) конечно. Положим Вn = А1∪...∪Аn. Тогда, как показывает (38),


при n→^#8734;. Значит Вn→А, а так как ВnF(μ), то легко видеть, что A∈F(μ).

Таким образом, мы показали, что A∈F(μ), если A∈(μ) и μ*(A)<+∞.

Теперь уже ясно, что функция μ* счетно-аддитивна на (μ).

Действительно, если


где {Аn} - последовательность непересекающихся множеств, принадлежащих (μ), то, как мы показали, (38) выполняется, если μ* (А)<+∞ при всех n, а в противном случае равенство (38) тривиально.

Наконец, мы должны показать, что (μ) - это σ-кольцо. Если Аn(μ), n = 1, 2, 3, ..., то ясно, что ∪ Аn(μ) (теорема 2.14).

Пусть A∈(μ), B∈(μ) и


где Аn, ВnF(μ). Тогда тождество


показывает, что Аn∩B∈(μ), а так как


то Аn∩B∈F(μ) Значит, An - B∈F(μ) и А - B∈(μ), так как

Теперь мы заменим μ*(А) на μ(A), если A∈(μ). Таким образом, функция μ, определенная первоначально только на , продолжена до счетно-аддитивной функции множества на σ-кольце (μ). Эта продолженная функция множества называется мерой. В том частном случае, когда μ = m (на ), она называется лебеговой мерой в пространстве Rp.

10.11. Замечания.(а) Если множество А открыто, то А∈(μ). Действительно, каждое открытое множество в Rp равно объединению счетного семейства открытых прямоугольников. Чтобы в этом убедиться, достаточно построить счетную базу, элементами которой служат открытые прямоугольники.

(b) Если А∈(μ) и ε>0, то существуют множества F и G, такие, что

F⊂A⊂G,

F замкнуто, G открыто и

(39)

μ(G - A)<ε, μ(A - F)<ε.

Первое неравенство выполняется потому, что внешняя мера была определена с помощью покрытий открытыми элементарными множествами. Второе неравенство получится, если перейти к дополнениям.

(c) Мы говорим, что Е - борелевское множество, если Е может быть получено с помощью счетного множества операций, исходя из открытых множеств, причем каждая операция - это либо взятие объединения, либо взятие пересечения, либо переход к дополнению. Множество всех борелевских подмножеств пространства Rp образует σ-кольцо; в действительности это наименьшее из σ-колец, содержащих все открытые множества. Согласно замечанию (а), Е∈(μ), если E∈.

(d) Если А∈(μ), то существуют борелевские множества F и G, такие, что F⊂A⊂G и

(40)

μ(G - A) = μ(A - F) = 0.

Это следует из (b), если взять ε = 1/n и положить n→∞. Поскольку A = F∪(A - F), мы видим, что каждое А∈(μ) представляет собой объединение борелевского множества и множества нулевой меры.

Борелевские множества μ-измеримы при каждом μ. Но множества меры нуль (т. е. множества Е, для которых μ*(Е) = 0) могут быть различными для различных μ.

(e) Какова бы ни была функция μ, множества меры нуль образуют а-кольцо.

(f) В случае меры Лебега всякое счетное множество имеет меру нуль. Но существуют и несчетные (и даже совершенные) множества меры нуль. Примером может служить множество Кантора: используя обозначения из п. 2.44, легко показать, что


(n = 1, 2, 3, ...),

а так как Р = ∩ Еn, то Р⊂En при любом n, так что m(Р) = 0.

10.12. Определение. Пусть X - множество, не обязательно являющееся подмножеством евклидова пространства или вообще какого-нибудь метрического пространства; X называется пространством с мерой, если существует σ-кольцо подмножеств множества X (элементы множества называются измеримыми множествами) и неотрицательная счетно-аддитивная функция множества μ (называемая мерой), определенная на .

Если, кроме того, Х∈, то X называется измеримым пространством.

Например, мы можем взять в качестве X пространство Rp, в качестве - множество всех измеримых подмножеств пространства Rp, а в качестве μ - меру Лебега.

Или в качестве X можно взять множество всех положительных целых чисел, в качестве - множество всех подмножеств множества X, а в качестве μ(E) - число элементов множества Е.

Другой пример дает теория вероятностей, в которой события можно рассматривать как множества, а вероятность наступления события - это аддитивная (или счетно-аддитивная) функция множества.

В следующих разделах мы всегда будем иметь дело с измеримыми пространствами. Следует подчеркнуть, что теория интеграла, к которой мы вскоре перейдем, ни в каком отношении не стала бы проще, если бы мы пожертвовали той степенью общности, которой мы сейчас достигли, и ограничились, скажем, мерой Лебега на промежутке вещественной прямой. На самом деле основные черты теории с гораздо большей ясностью проявляются именно в общей ситуации, когда хорошо видно, что все зависит только от счетной аддитивности меры μ, определенной на некотором σ-кольце.

Нам будет удобно ввести обозначение

(41)


для множества всех элементов х, обладающих свойством Р.

предыдущая главасодержаниеследующая глава




ИНТЕРЕСНО:

Зачем математики ищут простые числа с миллионами знаков?

Задача построения новых оснований математики - унивалентные основания

Многомерный математический мир… в вашей голове

В школах Великобритании введут китайские учебники математики

Найдено самое длинное простое число Мерсенна, состоящее из 22 миллионов цифр

Как математик помог биологам совершить важное открытие

Математические модели помогут хирургам

Почему в математике чаще преуспевают юноши

Физики-практики откровенно не любят математику

В индийской рукописи нашли первое в истории упоминание ноля

Вавилонская глиняная табличка оказалась древнейшей «тригонометрической таблицей» в мире

Ученые рассказали о важной роли игр с пальцами в обучении детей математике
Пользовательского поиска

© Злыгостев Алексей Сергеевич, статьи, подборка материалов, оформление, разработка ПО 2001-2018
При копировании материалов проекта обязательно ставить ссылку на страницу источник:
http://mathemlib.ru/ 'MathemLib.ru: Математическая библиотека'
Рейтинг@Mail.ru