Функции множества

Пусть А и В - какие-нибудь множества. Символом А-В мы будем обозначать множество всех элементов х, таких, что х∈А, х∉В. Обозначение А-В применяется не только тогда, когда В⊂А. Пустое множество будет обозначаться символом ∅, и мы будем говорить, что множества А и В не пересекаются, если А ∩В = ∅.

10.1.Определение. Множество , состоящее из множеств, называется кольцом, если из того, что А∈ и B∈, следует, что

(1)

A∪B∈, A-B∈

Ввиду того что А∩В = А - (А - В), верно также, что А∩В∈, если - кольцо.

Кольцо называется σ-кольцом, если

(2)

каковы бы ни были множества А_n∈ (n = 1, 2, 3, ...). Поскольку

то мы имеем также

если есть σ-кольцо.

10.2. Определение. Мы будем говорить, что φ - функция множества, определенная на , если φ каждому множеству A∈ сопоставляет число φ(A), принадлежащее расширенной системе вещественных чисел. Функция φ называется аддитивной, если из того, что А∩В = ∅, А∈, В∈, следует

(3)

и φ называется счетно-аддитивной, если из того, что A_i∪A_j = ∅ (i≠j), A_n∈ (n = 1, 2, 3, ...), следует

(4)

Мы всегда будем предполагать, что не более чем одно из чисел + ∞ и -∞ принадлежит множеству значений функции φ; если бы это было не так, то правая часть равенства (3) могла бы не иметь смысла. Кроме того, мы исключим из рассмотрения функции множества, единственным значением которых служит +∞ или -∞.

Интересно отметить, что левая часть равенства (4) не зависит от порядка, в котором расположены множества А_n. Значит, из теоремы о перестановках ряда следует, что ряд в правой части равенства (4) сходится абсолютно, если вообще сходится; если же он расходится, то его частные суммы стремятся к +∞ или к -∞.

Если функция φ аддитивна, то, как легко видеть, она обладает следующими свойствами:

(5)

(6)

если A_i∩A_j = ∅ при i&38800;j;

(7)

Если φ(A)&38805;0 при всех А и A₁ ⊂A₂, то

(8)

Имея в виду это неравенство, неотрицательные функции множества часто называют монотонными. Наконец,

(9)

если В ⊂А и |φ(В)|< ∞.

10.3. Теорема. Пусть φ-счетно-аддитивная функция множества, определенная на кольце . Пусть А_n∈ (n = 1, 2, 3, ...), A₁⊂A₂&38834;А₃⊂ ... ⊂А∈ и

Тогда при n→∞

Доказательство. Пусть A₁ = B₁ и

Тогда B_i∩B_j = &38709; при i≠j, A_n = B₁∪...∪B_n и А = ∪В_n. Значит,

и