Новости    Библиотека    Энциклопедия    Биографии    Карта сайта    Ссылки    О проекте




предыдущая главасодержаниеследующая глава

Функции множества

Пусть А и В - какие-нибудь множества. Символом А-В мы будем обозначать множество всех элементов х, таких, что х∈А, х∉В. Обозначение А-В применяется не только тогда, когда В⊂А. Пустое множество будет обозначаться символом ∅, и мы будем говорить, что множества А и В не пересекаются, если А ∩В = ∅.

10.1.Определение. Множество , состоящее из множеств, называется кольцом, если из того, что А∈ и B∈, следует, что

(1)

A∪B∈, A-B∈

Ввиду того что А∩В = А - (А - В), верно также, что А∩В∈, если - кольцо.

Кольцо называется σ-кольцом, если

(2)


каковы бы ни были множества Аn (n = 1, 2, 3, ...). Поскольку


то мы имеем также


если есть σ-кольцо.

10.2. Определение. Мы будем говорить, что φ - функция множества, определенная на , если φ каждому множеству A∈ сопоставляет число φ(A), принадлежащее расширенной системе вещественных чисел. Функция φ называется аддитивной, если из того, что А∩В = ∅, А∈, В∈, следует

(3)

φ(A∪B) = φ(A) + φ(B),

и φ называется счетно-аддитивной, если из того, что Ai∪Aj = ∅ (i≠j), An (n = 1, 2, 3, ...), следует

(4)


Мы всегда будем предполагать, что не более чем одно из чисел + ∞ и -∞ принадлежит множеству значений функции φ; если бы это было не так, то правая часть равенства (3) могла бы не иметь смысла. Кроме того, мы исключим из рассмотрения функции множества, единственным значением которых служит +∞ или -∞.

Интересно отметить, что левая часть равенства (4) не зависит от порядка, в котором расположены множества Аn. Значит, из теоремы о перестановках ряда следует, что ряд в правой части равенства (4) сходится абсолютно, если вообще сходится; если же он расходится, то его частные суммы стремятся к +∞ или к -∞.

Если функция φ аддитивна, то, как легко видеть, она обладает следующими свойствами:

(5)

φ(∅) = 0,

(6)

φ(A1∪ ... ∪ Аn) = φ(А1) + ... + φ(Аn),

если Ai∩Aj = ∅ при i&38800;j;

(7)

φ(A1∪А2) + φ(A1∩A2) = φ(А1) + φ(А2)

Если φ(A)&38805;0 при всех А и A1 ⊂A2, то

(8)

φ(A1)≤φ(A2)

Имея в виду это неравенство, неотрицательные функции множества часто называют монотонными. Наконец,

(9)

φ(A-B) = φ(A) - φ(B),

если В ⊂А и |φ(В)|< ∞.

10.3. Теорема. Пусть φ-счетно-аддитивная функция множества, определенная на кольце . Пусть Аn (n = 1, 2, 3, ...), A1⊂A2&38834;А3⊂ ... ⊂А∈ и


Тогда при n→∞

φ(An)→φ(A)

Доказательство. Пусть A1 = B1 и

Вn = Аn - Аn-1, (n = 2, 3,. ...).

Тогда Bi∩Bj = &38709; при i≠j, An = B1∪...∪Bn и А = ∪Вn. Значит,


и


предыдущая главасодержаниеследующая глава




ИНТЕРЕСНО:

Зачем математики ищут простые числа с миллионами знаков?

Задача построения новых оснований математики - унивалентные основания

Многомерный математический мир… в вашей голове

В школах Великобритании введут китайские учебники математики

Найдено самое длинное простое число Мерсенна, состоящее из 22 миллионов цифр

Как математик помог биологам совершить важное открытие

Математические модели помогут хирургам

Почему в математике чаще преуспевают юноши

Физики-практики откровенно не любят математику

В индийской рукописи нашли первое в истории упоминание ноля

Вавилонская глиняная табличка оказалась древнейшей «тригонометрической таблицей» в мире

Ученые рассказали о важной роли игр с пальцами в обучении детей математике
Пользовательского поиска

© Злыгостев Алексей Сергеевич, статьи, подборка материалов, оформление, разработка ПО 2001-2018
При копировании материалов проекта обязательно ставить ссылку на страницу источник:
http://mathemlib.ru/ 'MathemLib.ru: Математическая библиотека'
Рейтинг@Mail.ru