Новости    Библиотека    Энциклопедия    Биографии    Карта сайта    Ссылки    О проекте




предыдущая главасодержаниеследующая глава

Упражнения

1. Доказать, что каждому A∈L(Rn, R1) соответствует единственная точка у∈Rn, такая, что Aх = х*у. Доказать, что ||А|| = |у|.

Указание. При некоторых условиях неравенство Шварца превращается в равенство.

2. Доказать, что функция f непрерывна в точке х, если D1f, ..., Dnf ограничены в некоторой окрестности этой точки.

Указание. Действовать так же, как при доказательстве теоремы 9.16.

3. Пусть f - вещественная дифференцируемая функция на открытом множестве Е⊂Rn, и пусть f имеет локальный максимум в точке х∈Е. Доказать, что f'(х) = 0.

4. Пусть (D1f)(x) = 0 при всех х из выпуклого открытого множества Е⊂Rn. Доказать, что f(х) зависит только от х2, ..., хn. Показать, что выпуклость множества Е можно заменить более слабым условием, но что какое-то условие все-таки требуется. Например, если n = 2, а множество Е имеет форму подковы, то утверждение может и не быть верным.

5. Пусть f - вещественная дифференцируемая функция на связном открытом множестве E⊂Rn, и пусть f'(х) = 0 при всех х∈Е. Доказать, что f постоянна на Е.

6. Вычислить f'(х), если f(х) = |х|2 при x∈Rn.

7. Пусть f(0, 0) = 0 и


если (х, у)≠(0, 0).

Доказать, что

(a) f, D1f, D2f непрерывны на R2;

(b) D12f, D21f существуют в каждой точке пространства R2 и непрерывны всюду, кроме точки (0, 0);

(c) (D12f(0, 0) = 1, (D21f)(0,0) = - 1.

8. Из существования (и даже из непрерывности) производной D12f не следует существование производной D1f. Например, пусть f(x,y) = g(x), где g - нигде не дифференцируемая функция. Тогда D1f не существует, но D2f = 0, так что D12f = 0.

9. Положим f(0, 0) = 0 и


если (x, y) ≠ (0, 0).

Тогда функция f непрерывна в R2, а ее сужение на любую прямую дифференцируемо. Более того, покажите что если γ - любая дифференцируемая кривая в R2, то функция f (у) дифференцируема. Это значит, что если γ - дифференцируемое отображение сегмента [0, 1] в пространство R2 и если g(V) = f(γ(0), то функция g дифференцируема на [0, 1]. Покажите, что если γ∈', то и f(γ)∈'.

Доказать, что, несмотря на это, функция f не дифференцируема в точке (0, 0).

10. Показать, что непрерывность производной f' существенна в теореме об обратной функции, даже в том случае, когда n = 1. Если f(t) = t + 2t2sin(1/t) при t ≠ 0, f(0) = 0, то f'(0)≠0, f' ограничена на (- 1, 1), но f не взаимно однозначна ни в какой окрестности точки 0.

11. Пусть f - вещественная дифференцируемая функция на открытом множестве Е⊂Rn. Назовем градиентом функции f в точке х∈E вектор (∇f)(x)∈Rn, такой, что

h*(∇f)(x) = f'(x)h

при всех h∈Rn (ср. с упражнением 1). Если u∈Rn - единичный вектор (т. е. если |u| = 1), то предел


назовем производной функции f в направлении вектора u в точке х.

Доказать, что

(Duf)(x) = u*(∇f)(x)

и что, стало быть, для любого х∈Е существует вектор u, такой, что


Если (∇f)(x)≠0, то такой вектор u-единственный.

12. Пусть f - отображение, которое точке (x, y)∈R2 ставит в соответствие точку (u, v)∈R2, где

u = excosy, v = exsiny.

Каково множество значений отображения f? Показать, что якобиан этого отображения отличен от нуля во всех точках пространства R2. Таким образом, каждая точка пространства R2 обладает окрестностью, на которой отображение f взаимно однозначно. Тем не менее f не является взаимно однозначным на R2.

Каковы образы прямых, параллельных координатным осям, при отображении f?

13. Исследовать аналогичным образом отображение

u = х2 - у2, v = 2ху.

14. Из системы уравнений

3х + у - z + u2 = 0, х - y + 2z + u = 0, 2x + 2y - 3z + 2u = 0

можно х, у, u выразить через z; x, z, u через у; у, z, u через х; но нельзя выразить х, y, z через u.

15. В теореме о неявной функции положить n = m = 1 и истолковать эту теорему графически.

16. Положим f = (f1, f2), где



((x, y))≠(0, 0)).

Вычислить ранг преобразования f'(х, у) и найти множество значений отображения f.

17. Переставляющие преобразования Bi действительно нужны в теореме 9.21. Чтобы убедиться в этом, покажите, что отображение (х, у)→(у, х) пространства R2 на R2 нельзя разложить в произведение двух простых преобразований ни в какой окрестности начала. Найти другие примеры этого явления.

18. Пусть f - то же, что в теореме 9.21. Положим A = f'(0), f1(x) = A-1f(x). Тогда f'1(0) = I. Показать, что

f1(x) = gn(gn-1(...(g1(x)))

в некоторой окрестности нуля, где g1, ..., gn - простые отображения. Таким образом, мы получаем другую теорему о разложении:

f(x) = Agn(gn-1(...(g1(x))).

19. Пусть φi - функция, непрерывная на R1 (i = 1, 2, 3, ...) с носителем в интервале (2-i 21-i), такая, что ∫ φi = 1. Положим


Тогда f имеет компактный носитель, непрерывна всюду, кроме точки (0, 0), и


Заметьте, что f не ограничена в каждой окрестности точки (0, 0).

20. Пусть . Рассматривая разностные отношения и переходя к пределу, найти условия, при которых


т. е. условия, которые позволяют "дифференцировать под знаком интеграла".

Вот контрпример: при х≥0 положим


и положим f(-x, -y) = - f(x,y). Тогда функция f непрерывна на R2,


при всех у, но F(x) = x, если |x|<1/4.

21. Пусть ω и λ, суть k- и m-формы соответственно. Какова связь между ω∧λ и λ∧ω?

22. Доказать, что каждая k-форма ω в открытом множестве Е⊂Rn может быть приведена к стандартному виду


Показать, что если ω = 0, т. е. если = 0 для всех k-поверхностей Φ в Е, то все коэффициенты в этой стандартной записи равны нулю. Показать, что поэтому каждая форма ω единственным образом приводится к стандартному виду.

23. Показать, что (72) можно записать в виде


если Т(х) = (у1, ..., yk) и если JT(x)>0.

24. Найти условия, при которых верна формула


и показать, что ее частным случаем является формула интегрирования по частям.

25. Пусть σ есть k-симплекс (k≥2). Показать, что , исходя непосредственно из определения граничного оператора . Иными словами, "граница границы" равна нулю. Отметим, что это утверждение согласуется с теоремой Стокса:


26. Пусть Φ есть k-поверхность с множеством параметров Qk, пусть Φ* = Φ(Qk) - множество значений отображения Φ; если ψ = ∑Φi; есть k-цепь, то положим, по определению, ψ* = ∩Φ*i.

Пусть


Показать, что Φ - ориентированный симплекс класса " в Rk и что Φ* заполняет часть замкнутого единичного шара Bk пространства Rk. (Показатель 4 обеспечивает дифференцируемость в начале координат.)

Показать, что существует k-цепь ψ класса " в Rk, такая, что ψ* = Bk и такая, что (ψ)* - единичная сфера Sk-1, т. е. множество всех x∈Rk, таких, что |x| = 1.

Этот пример показывает, что "-образ прямолинейной цепи вполне может быть "круглым", так что теорема 9.50 применима к разнообразным множествам.

27. Положить k = 3 в упражнении 26 и воспользоваться теоремой Стокса для вычисления интеграла


Вычислить при k = 2 интегралы и

28. Пусть ω = ∑ aj(х) dxj есть 1-форма класса ' на открытом множестве Е⊂Rn. Назовем форму ω замкнутой, если dω = 0. Назовем форму ω точной в E, если существует 0-форма f в Е, такая, что ω = df.

(а) Доказать, что ω замкнута тогда и только тогда, когда Diaj = Djai при 1≤i≤n, 1≤j≤n.

(b) Доказать, что если ω точна, то ω замкнута.

(с) Пусть множество Е выпукло, а форма ω замкнута. Доказать, что ω точна в Е.

Указание. Зафиксируем p0∈E, положим f(p) = ∫ ω при p∈ E, где интеграл берется по ориентированному прямолинейному симплексу [p0, p]. Применить теорему Стокса к прямолинейным 2-симплексам в Ею Показать, что


если x∈E, y∈E, и что df = ω.

Таким образом, утверждение, обратное к (b), верно, если множество Е выпукло.

(d) Пусть Т - взаимно однозначное ' - отображение выпуклого открытого множества Е на открытое множество V. Доказать, что каждая замкнутая 1-форма ω в V точна в V.

Указание. Воспользоваться определением 9.41. Согласно (с), ωТ = df в Е и существует 0-форма g в V, такая, что f = gT. Тогда ωT = d(gT) = (dg)T, так что ω = dg.

(e) Доказать, что если V - то же, что в (d), если γ - замкнутая '-кривая в V, а ω - замкнутая 1-форма в V, то


(f) Показать, что утверждения (d) и (e) становятся неверными, если V - пространство R2, из которого удалено начало координат, и если


29. Пусть Φ есть 2-поверхность в R3 с множеством параметров D, пусть Ф(u, v) = (x, у, z). Назовем нормалью к поверхности Ф в точке (u, v) вектор


Чем объясняется эта терминология? Если f - функция, непрерывная на Ф* (см. упражнение 26), то положим


Если f = 1, то этот интеграл называют площадью поверхности Ф. Показать, что определение площади дает естественные результаты в том случае, когда Ф - линейное отображение, когда Ф определяется равенствами

х = cos u sin v, y = sin u sin v, z = cos v (0≤u≤2π, 0≤v≤2π)

30. Пусть F = (F1, F2, F3) есть ' - отображение открытого множества Е⊂R3 в пространство R3 (в физике такое отображение называют векторным полем). Дивергенция и вихрь (ротор) поля F определяются равенствами

∇*F = D1F1 + D2F2 + D3F3, ∇*F = (D2F3 - D3F2)e1 + (D3F1 - D1F3)e2 + (D1F2 - D2F1)e3.

С полем F связаны две дифференциальные формы:

ω = F1dx + F2dy + F3dz,
λ = F1dy∧dz + F2dz∧dx + F3dx∧dy.

(а) Доказать, что ∇ (∇ *F) = 0, если F∈".

(b) Доказать, что ∇ *F = 0, если F = ∇f при некоторой f∈".

(с) Доказать утверждение, обратное к (b): если V - то же, что в упражнении 28 (d), и если ∇F = 0 в V, то F = ∇f при некоторой f класса " в V.

Указание: F = ∇fΚ означает, что ω = df; связать dω с ∇*F.

(d) Пусть Ψ есть 3-цепь класса " в множестве E, пусть Ф = Ψ. Применяя к λ теорему Стокса, получить "теорему о дивергенции" Гаусса:


где n = N/|N| в обозначениях упражнения 29.

(е) Пусть Ф есть 2-цепь класса " в множестве Е, и пусть Γ = Ф. Применяя к ω теорему Стокса, получить формулу


где F*t - "касательная составляющая поля F вдоль Γ". (Мы предоставляем читателю выяснить точный смысл этой последней фразы.)

31. Пусть F = f∇ g, где f и g класса " в открытом множестве E⊂R3. Применяя результат упражнения 30 (d), получить тождество


где 2g = ∇(∇g), g/n = (∇g)*n, а Ф = Ψ.

(a) Что дает это тождество в том случае, когда f = 1, a g - гармоническая функция (т. е. 2g = 0)?

(b) Пусть g гармонична в Е и g = 0 на Φ*. Полагая в последнем тождестве f = g, доказать, что g = 0 на Ψ*.

предыдущая главасодержаниеследующая глава




ИНТЕРЕСНО:

Петер Шольц - самый молодым лауреат Филдсовской премии

Кашер Биркар - беженец из Ирана - стал лауреатом Филдсовской премии

Эмми Нётер — была великой женщиной и при этом величайшей женщиной-математиком

Зачем математики ищут простые числа с миллионами знаков?

Задача построения новых оснований математики - унивалентные основания

Многомерный математический мир… в вашей голове

В школах Великобритании введут китайские учебники математики

Найдено самое длинное простое число Мерсенна, состоящее из 22 миллионов цифр

Как математик помог биологам совершить важное открытие

Математические модели помогут хирургам

Почему в математике чаще преуспевают юноши

Физики-практики откровенно не любят математику

В индийской рукописи нашли первое в истории упоминание ноля

Вавилонская глиняная табличка оказалась древнейшей «тригонометрической таблицей» в мире

Ученые рассказали о важной роли игр с пальцами в обучении детей математике
Пользовательского поиска

© Злыгостев Алексей Сергеевич, статьи, подборка материалов, оформление, разработка ПО 2001-2018
При копировании материалов проекта обязательно ставить ссылку на страницу источник:
http://mathemlib.ru/ 'MathemLib.ru: Математическая библиотека'
Рейтинг@Mail.ru