Симплексы и цепи

9.46. Определения. При k = 1, 2, 3, ... мы определяем стандартный симплекс Q^k как множество всех u∈R^k вида

где {е₁, ..., e_k} - стандартный базис пространства R^k.

Если р₀, р₁, ..., p_k - точки пространства Rⁿ и А - линейное отображение пространства R^k в пространство Rⁿ, определяемое равенствами Aе_i = р_i-р₀ (i = 1, ..., k), то ориентированным прямолинейным k-симплексом

(91)

называется k-поверхность в Rⁿ с множеством параметров Q^k, заданная равенством

(92)

Заметим, что σ(0) = р₀, σ(е_i) = р_i при i = 1, ..., k.

Мы называем симплекс σ ориентированным, чтобы подчеркнуть, что порядок вершин р₀, ..., p_k следует учитывать. Если

где {i₀, i₁, ..., i_k) - перестановка множества {0, 1, ..., k}, то мы будем писать

где s-функция, определенная в п. 9.22. Таким образом, = ±σ в зависимости от того, какое из двух равенств s = 1 или s = - 1 выполняется. Строго говоря, считая (91) и (92) определением симплекса σ, мы имеем право писать = σ только в том случае, когда i₀ = 0, ..., i_k = k, хотя бы s(i₀, ..., i_k) и равнялось 1, так что, строго говоря, здесь мы имеем дело не с равенством, а с отношением эквивалентности. Однако для наших целей такое обозначение оправдано, как показывает теорема 9.47.

Если = εσ (мы следуем только что принятому соглашению) и если ε = 1, то говорят, что и σ имеют одинаковую ориентацию; если ε = - 1, то говорят, что и σ имеют противоположные ориентации. Заметим, что мы не определяем, что такое "ориентация симплекса". То, что мы определили - это отношение между парами симплексов, имеющих одно и то же множество вершин, т. е. свойство двух таких симплексов иметь одинаковую ориентацию.

До сих пор мы предполагали, что k≥1. Ориентированным 0-симплексом называется точка, которой приписан некоторый знак. Мы пишем σ = + p₀ или σ = - р₀. Если σ = εр₀ (ε = ± 1) и если f есть 0-форма (т. е. вещественная функция), то мы полагаем, по определению,

9.47. Теорема. Если σ-ориентированный прямолинейный k-симплекс в открытом множестве Е⊂Rⁿ и если = εσ, то

(93)

для любой k-формы ω в Е.

Доказательство. Если k = 0, то (93) следует из предыдущего определения. Итак, будем считать, что k≥1 и что σ - симплекс (91).

Пусть 1<j≤k, и пусть получается из σ перестановкой вершин р₀ и р_j. Тогда ε = -1 и

где В - линейное отображение пространства R^k в пространство Rⁿ, определенное равенствами Bе_j = р₀ - р_j, Ве_i = р_i - р_j, если i≠j.

Обозначая Aе_i = x_i (1≤i≤k), где А задано равенствами (92), мы видим, что столбцы матрицы [В] (т. е. векторы Be_i) таковы

Если вычесть из каждого столбца j-й столбец, то ни один из определителей в (76) не изменится, и мы получим столбцы х₁, ..., x_j-1, - x_j+1, ..., x_k. Они отличаются от соответствующих столбцов матрицы [А] только знаком j-го столбца. Значит, в этом случае (93) доказано.

Пусть теперь 0<i<j≤k и пусть получается из σ перестановкой вершин р_i и р_j. Тогда (u) = p₀ + Cu, где [С] имеет те же столбцы, что и [А], за исключением i-гo и j-го, которые переставлены. Отсюда снова следует, что выполняется (93), так как ε = - 1.

Поэтому (93) выполняется и в общем случае, так как каждая перестановка множества {0, 1, ..., k} равна суперпозиции перестановок, с которыми мы уже имели дело.

9.48. Определение.Прямолинейной k-цепью Γ в открытом множестве Е⊂Rⁿ называется семейство, состоящее из конечного числа ориентированных k-симплексов σ₁, ..., σ_r в Е (не обязательно различных).

Если Γ - такая цепь и если ω есть k-форма а Е, то, по определению, полагаем

(94)

Мы можем рассматривать k-поверхность Φ в Е как функцию, определенную на множестве всех k-форм ω в Е, сопоставляющую каждой форме ω число . Вещественные функции можно складывать (см. определение 4.3), поэтому (94) подсказывает следующее обозначение:

(95)

Например, если σ₂ = - σ₁ и Γ = σ₁ + σ₂, то при всех ω. В этом случае можно записать Г = 0.

При k = 1, 2, 3, ... границей ориентированного прямолинейного k-симплекса σ = [р₀, p₁, ..., p_k] называется прямолинейная (k-1)-цепь

(96)

Например, если σ = [р₀, p₁, р₂], то

= [p₁, р₂] - [p₀, р₂] + [p₀, р₁] = [p₀, р₁] + [p₁, р₂] + [p₂, р₀].

Это совпадает с обычным определением ориентированной границы треугольника.

Заметим, что если 1≤j≤k, то симплекс σ_j = [р₀, ..., р_j-1, р_j+1, ..., p_k], фигурирующий в (96), имеет Q^k-1 своим множеством параметров, и что он определяется так:

(97)

где B - линейное отображение из R^k-1 в Rⁿ, определяемое равенствами

если 1≤i≤j-1, Be_i = p_i+1 - p₀, если j≤i≤k-1. Симплекс

который тоже участвует в (96), задается как отображение

где Be_i = p_i+1 - p₁ при 1≤i≤k-1.

9.49. Определение. Пусть Т есть "-отображение открытого множества E⊂Rⁿ в открытое множество V⊂R^m, не обязательно взаимно однозначное. Если σ - ориентированный прямолинейный k-симплекс в E, то сложное отображение Φ = Т(σ) есть k-поверхность в V с множеством параметров Q^k. Мы будем называть Φ ориентированным k-симплексом класса ".

Конечное семейство Ψ ориентированных k-симплексов Φ₁, ..., Φ_r класса " в V называется k-цепью класса " в V; если ω есть k-форма в V, то, по определению, полагаем

(98)

и используем соответствующее обозначение Ψ = ∑ Φ_i. Если Γ = ∑ σ_i - прямолинейная цепь и Φ_i = Γ(σ_i), то мы будем писать Ψ = T(Γ), или

ГраницаΦ ориентированного k-симплекса Φ = Т (σ) - это, по определению, (k-1)-цепь

Очевидно, что Φ принадлежит классу ", если Φ принадлежит этому классу.

Наконец, мы определяем границу Ψ некоторой k-цепи Ψ = ∑ Φ_i как (k-1)-цепь

(99)