Новости    Библиотека    Энциклопедия    Биографии    Карта сайта    Ссылки    О проекте




предыдущая главасодержаниеследующая глава

Дифференциальные формы

В этом разделе будет частично разработан аппарат, необходимый для теоремы Стокса.

До сих пор мы рассматривали производные функций нескольких переменных только для функций, определенных на открытых множествах. Это было вызвано соображениями удобства и позволило нам избежать трудностей, которые могут встретиться при рассмотрении граничных точек. Однако теперь нам будет удобно рассматривать дифференцируемые функции на компактных множествах. Поэтому мы примем следующее соглашение. Говоря, что f есть '-отображение (или "-отображение) компактного множества D⊂Rk в пространство Rn, мы будем иметь в виду, что существует '-отображение (или "-отображение) g некоторого открытого множества W⊂Rk в пространство Rn, такое, что D⊂W и g(x) = f(x) при всех x∈D.

9.35. Определение. Пусть Е - открытое множество в Rn; '-отображение Φ некоторого компактного множества D⊂Rk в множество Е мы будем называть k-поверхностью в множестве Е.

Множество D называется множеством параметров поверхности Φ. Точки множества D мы будем обозначать через u, так что u = (u1, ..., uk).

Мы будем иметь дело только с простейшей ситуацией, когда D- или k-клетка, или k-симплекс Qk, описанный в примере 9.31. Причина этого в том, что нам предстоит интегрировать по D, а мы еще не развили теории интегрирования по более сложным подмножествам пространства Rk. Мы увидим, что это ограничение, наложенное на D (мы будем его в дальнейшем, не оговаривая, предполагать выполненным) не влечет существенной потери общности в теории дифференциальных форм.

Сравнение с определением 6.34 показывает, что 1-поверхность - это не что иное, как непрерывно дифференцируемая кривая.

9.36. Определение. Пусть Е - открытое множество в пространстве Rn. Дифференциальной формой порядка k≥1, определенной в Е(или, кратко, k-формой в Е) называется функция ω на множестве k-поверхностей, символически записываемая в виде

(75)

ω = ∑ ai1 ... ik(x) dxi1∧ ... ∧dxik

oннлексы i1, ..., ik независимо пробегают множество 1, ..., n) и сопоставляющая каждой k-поверхности Φ в множестве Е число в соответствии с правилом

(76)


где D - множество параметров поверхности Φ.

Функции ai1 ... ik предполагаются вещественными и непрерывными в Е. Если φ1, ..., φn - компоненты отображения Φ, то якобиан в (76) - это якобиан отображения


Заметим, что правая часть равенства (76) - интеграл по множеству А описанный в п. 9.28 (или 9.31), и что (76) - определение символа

Говорят, что k-форма ω принадлежит классу ' или ", если функции ai1 ... ik в (75) принадлежит классу ' или ".

0-формой называют функцию, непрерывную на множестве Е.

Формы (77)


называют базисными k-формами. Чтобы упростить обозначения, мы часто будем употреблять символ βk только для базисных k-форм. Каждая k-форма оказывается тогда суммой k-форм fβk, где f есть 0-форма.

В качестве простого примера рассмотрим 1-поверхность γ в R2 (т. е. кривую класса ') с множеством параметров [0, 1]. Если ω = x2 dx1 + x1 dx2, то


Если γ - замкнутая кривая, то

9.37. Элементарные свойства k-форм. Пусть ω, ω1, ω2 суть k-формы в Е. Мы будем писать ω1 = ω2 тогда и только тогда, когда ω1(Φ) = ω2(Φ), какова бы ни была k-поверхность Φ в множестве Е; в частности, ω = 0 означает, что ω(Φ) = 0 для всех k-поверхностей Φ в множестве Е. Если с - вещественное число, то есть k-форма, определенная равенством


В частности, - ω определяется так, что

(78)


и ω = ω1 + ω2 означает, что


для всех k-поверхностей Φ в множестве Е.

Согласно (78) и (76), из того, что определитель меняет знак при перестановке двух его столбцов, следует, что выполняется антикоммутативный закон

(79)


Полагая в (79) i = j, получаем

(80)

dxi ∧dxi = 0 (i = 1, ..., n).

последовательно, каждая k-форма от n переменных - нулевая, если k>n.

9.38. Умножение. Пусть ω есть k-форма (75), а λ есть m-форма

(81)


в Е, где j1, ..., jm независимо пробегают множество целых чисел от 1 до n. Произведение этих форм, обозначаемое символом ω∧ λ, есть, по определению, (k + m)-форма

(82)


В сумме (82) индексы i1, ..., ik, j1, ..., jm изменяются независимо от 1 до n.

Определенное так умножение, очевидно, ассоциативно и дистрибутивно по отношению к сложению, определенному в разделе 9.37. Заметим, что ранее введенное обозначение

dxi1∧ ... ∧dxik

согласуется с нашим теперешним определением умножения.

9.39. Дифференцирование. Мы определим теперь оператор дифференцирования d, который каждой k-форме класса ' в множестве Е ставит в соответствие (k + 1)-форму в Е.

0-форма класса ' в Е - это просто вещественная функция f∈'(E), и мы полагаем, по определению,

(83)


Если ω - fβk, где βk - базисная k-форма, то ее производной dω называется (k + 1)-форма

(84)


где df - то же, что в (83), а произведение понимается в смысле п. 9.38. Оператор d распространяется на суммы членов k (т. е. на все k-формы ω) по аддитивности.

Часто форму называют внешней производной формы ω, а ω∧λ называют внешним произведением форм ω и λ. В соответствии с этим формальное исчисление, построением которого мы сейчас занимаемся, называют внешним дифференциальным исчислением.

9.40. Теорема.(а) Если ω и λ суть k- и m-формы (соответственно) класса ' в Е, то

(85)


(b) Если ω - форма класса " в Е, то d2ω = 0 в Е. Здесь d2ω обозначает, разумеется, форму d(dω).

Доказательство. Для доказательства равенства (85) достаточно рассмотреть частный случай ω = fβk, λ = gβm где f, g∈'(E), a βk, βm - базисные формы. Тогда


так что

(86)

d(ω ∧λ) = d(fg) ∧βk ∧βm.

Согласно (83),

(87)

d(fg) = gdf + fdg.

Соотношение антикоммутативности (79) показывает, что

(88)


Согласно (88), подставляя (87) в (86), получаем (85). Если f есть 0-форма класса ", то


Ввиду того что Dijf = Djif и dxi∧dxj = - dxj∧dxi, мы видим, что d2f = 0. Если ω = fβk, то dω = (df) ∧βk, а так как d(βk) = 0, то из (85) следует, что d2ω = (d2f) ∧βk = 0.

9.41. Определение. Пусть Е - открытое множество в пространстве Rn, Т есть '-отображение множества Е на открытое множество V⊂Rm, а ω есть k-форма в V:


Тогда T преобразует форму ω в k-форму ωT в Е, заданную следующим образом:


где t1, ..., tm - компоненты отображения T; другими словами, если (у1, ..., ym) = T(x), то yi = ti(x) и в соответствии с (83)

Наша следующая теорема показывает, что операции сложения, умножения и дифференцирования форм определены так, что они инвариантны относительно замены переменных.

9.42. Теорема.Пусть Е и Т - те же, что в определении 9.41. Пусть ω и λ суть k- и m-формы (соответственно) в V. Тогда

если ω-класса ', а Т - класса ".

Доказательство.(а) и (b) вытекают непосредственно из определений. Если f есть 0-форма класса ' в V, то


Из правила дифференцирования следует, что


Таким образом,


Допустим, теперь, что ω = fβk, где βk = dyi1∧... ∧dyik. Тогда (βk)T = dti ∧... ∧dtik и из теоремы 9.40 следует, что d((βk)T) = 0 (это единственное место, где мы используем предположение о том, что Т∈"). Поскольку

ωT = fTk)T

то (85) и (b) показывают теперь, что

d(ωT) = d(fT) ∧(βk)T = (df)T∧(βk)T = (df)∧βk)T = (dω)T

Тем самым доказано и (с).

Теперь мы переходим к другому важному свойству преобразований дифференциальных форм.

9.43. Теорема. Пусть Т есть '-отображение открытого множества Е⊂Rn в открытое множество V⊂Rm, S есть '-отображение множества V в открытое множество W⊂Rp, а ω является k-формой в W, так что ωS есть k-форма в V, и обе формы (ωS)T и ωST суть k-формы в Е, где ST определяется равенством (ST)(х) = S(Т(x)). Тогда

(89)

S)T = ωST.

Доказательство. Если ω и λ - формы в W, то, как показывает теорема 9.42,

((ω ∧λ)S)T = (ωS∧λS)T = (ωS)T ∧(λS)T.

и

(ω ∧λ)ST = ωST ∧λST.

Таким образом, если (89) выполняется для ω и для λ, то (89) выполняется и для ω ∧λ. Поскольку каждую форму можно построить из 0-форм и 1-форм с помощью операций сложения и умножения и поскольку (89) выполняется тривиальным образом для 0-форм, то достаточно доказать (89) в том случае, когда ω = dzq, q = 1, ..., p. (Мы обозначаем точки множеств Е, V, W через х, у, z соответственно.)

Пусть t1, ..., tm - компоненты отображения Т, s1, ..., sp - компоненты отображения S, а r1, ..., rр - компоненты отображения ST. Если ω = dzq, то


так что по правилу дифференцирования (см. пример 9.14)


9.44. Теорема. Пусть ω есть k-форма в открытом множестве Е∈Rn, Φ есть k-поверхность в Е с множеством параметров D∈Rk, а Δ есть k-поверхность в Rk с множеством параметров D, определенная так: Δ(u) = u(u∈D). Тогда


Доказательство.Нам достаточно рассмотреть только случай

ω = a(x)dxi1 ∧... ∧dxik.

Если φ1, ..., φn - компоненты отображения Φ, то

ωΦ = a(Φ(u))dφi1∧...∧dφik.

Теорема будет доказана, если мы установим, что

(90)

i1∧...∧dφik = J(u)du1∧...∧duk,

где


поскольку из (90) следует, что


Пусть [А] - матрица из k строк и k столбцов с элементами

α(p, q) = Dqφip)(u) (p, q = 1, ..., k).

Тогда


так что

i1∧...∧dφik = ∑α(1, q1)...α(k, qk)duq1∧...∧duqk.

В последней сумме q1, ..., qk изменяются независимо от 1 до k. Из закона антикоммутативности (79) следует, что

duq1∧...∧duqk = s(q1, ..., qk)du1∧...∧duk.

где s - то же, что в определении 9.22. Применяя это определение, мы видим, что


а так как J(u) = det [А], то (90) доказано.

Комбинируя две последние теоремы, получаем заключительный результат этого раздела.

9.45. Теорема. Пусть Т есть '-отображение открытого множества Е⊂Rn в открытое множество V⊂Rm, Φ есть k-поверхность в Е, а ω есть k-форма в V. Тогда


Доказательство. Пусть D - множество параметров поверхности Ф (и тем самым поверхности ТФ). Определим Δ, как в теореме 9.44. Применяя эту теорему к ωT и Ф, получаем


Применяя этот результат к ω и к TФ, получаем


Но (ωT)Φ = ω по теореме 9.43. Теорема доказана.

предыдущая главасодержаниеследующая глава




ИНТЕРЕСНО:

Зачем математики ищут простые числа с миллионами знаков?

Задача построения новых оснований математики - унивалентные основания

Многомерный математический мир… в вашей голове

В школах Великобритании введут китайские учебники математики

Найдено самое длинное простое число Мерсенна, состоящее из 22 миллионов цифр

Как математик помог биологам совершить важное открытие

Математические модели помогут хирургам

Почему в математике чаще преуспевают юноши

Физики-практики откровенно не любят математику

В индийской рукописи нашли первое в истории упоминание ноля

Вавилонская глиняная табличка оказалась древнейшей «тригонометрической таблицей» в мире

Ученые рассказали о важной роли игр с пальцами в обучении детей математике
Пользовательского поиска

© Злыгостев Алексей Сергеевич, статьи, подборка материалов, оформление, разработка ПО 2001-2018
При копировании материалов проекта обязательно ставить ссылку на страницу источник:
http://mathemlib.ru/ 'MathemLib.ru: Математическая библиотека'
Рейтинг@Mail.ru