Новости    Библиотека    Энциклопедия    Биографии    Карта сайта    Ссылки    О проекте




предыдущая главасодержаниеследующая глава

Теорема о разложении

Пусть f - отображение открытого множества E⊂Rn в пространство Rn, и пусть существует такое целое j, что ei*f(х)=еi при всех i≠j, х∈Е. Таким образом, х и f(x) имеют равные i-e координаты при i≠j, т. е. отображение f может изменять только j-ю координату. Мы будем называть такие отображения простыми.

9.21. Теорема. Пусть f есть ' - отображение открытого множества E⊂Rn в пространство Rn, 0∈E, f(0) = 0, а f'(0) - обратимое преобразование. Тогда существует такая окрестность нуля в Rn, в которой имеет место представление

f(x) = gn(Bn(gn-1(...(g1(B1x))).

Здесь каждое gk - простое ' - отображение некоторой окрестности точки 0, gk (0) = 0, а каждое Bk - линейное отображение на Rn, причем либо тождественное, либо меняющее местами какую-нибудь одну пару координат.

Доказательство. Положим f = f1, и пусть 1≤m≤n. Приведем следующее индуктивное предположение (очевидно, справедливое при m = 1):fm отображает окрестность точки 0 пространства Rn в пространствр Rn, fm - отображение класса ', преобразование Am = f'm(0) обратимо и

(48)

ei*fm(x) = ei*x (1≤i<m).

Положим αij = ei*Amej. Из (48) следует, что αij = 0, если i<m и j≥m. Если бы, кроме того, при всех j≥m выполнялось равенство αmj = 0, то из представления следовало бы, что n+m-1 независимых векторов Amem, ..., Аnеn принадлежат оболочке n-m векторов em+1, ..., еn, вопреки теореме 9.2.

Таким образом, существует такое j, что m≤j≤n и αmj≠0.

Определим операторы Pm, Bm∈L(Rn) равенствами: Pmei = ei, если i≠m, Pmem = 0; Bmem = ej, Bmej = еm, Bmеi = ei, для всех прочих i. Положим

(49)

gm(х) = Рmx + {еm*fm(Bmx)}еm.

Тогда gm, очевидно, простое отображение. Поскольку (fmBm)'(0) = AmBm, то

(50)

g'm(0)h = Pmh + {em*AmBmh}em (h∈Rn).

Если gm(0)h=0, то, как показывает (50), Pmh = 0, так что h = λ*em. Но, кроме того, em*AmBmh = 0, т. е. λαmj = 0 по определению Вm. Поскольку αmj≠0, мы видим, что λ = 0, значит, h = 0.

Тем самым доказано, что gm(0) - взаимно однозначное отображение. Стало быть, оно обратимо, и из теоремы об обратном отображении следует, что gm взаимно однозначно в некоторой окрестности Um точки 0 и что gm (Um) = Vm - открытое множество в Rn. Положим

(51)

fm+1 (y) = fm(Bmg-1m(y)) (y∈Vm)

Если y∈Vm, y = gm(x), x∈Um, то, как показывает (49),

(52)

em*y = em*fm(Bmx), ei*y = ei*x (i<m).

Теперь из (48) и определения Вm следует, что

еi*fm+1(y) = еi*Bmx = ei*x = еi*у,

если i<m; из (52), кроме того, следует, что

еm*fm+1 (y) = em*fm(Bmx) = em*у.

Следовательно, fm+1 удовлетворяет предположению индукции с m+1 вместо m, и построение можно продолжить. Переписывая (51) в виде

(53)

fm(x) = fm+1(gm(Bmx))

при m = 1, ..., n и замечая, что fn+1 - тождественное отображение, мы получаем

f1(x) = f2(g1(B1x) = f3(g2(B2g1(B1x)) = ...,

что и составляет нужное заключение.

предыдущая главасодержаниеследующая глава




ИНТЕРЕСНО:

Зачем математики ищут простые числа с миллионами знаков?

Задача построения новых оснований математики - унивалентные основания

Многомерный математический мир… в вашей голове

В школах Великобритании введут китайские учебники математики

Найдено самое длинное простое число Мерсенна, состоящее из 22 миллионов цифр

Как математик помог биологам совершить важное открытие

Математические модели помогут хирургам

Почему в математике чаще преуспевают юноши

Физики-практики откровенно не любят математику

В индийской рукописи нашли первое в истории упоминание ноля

Вавилонская глиняная табличка оказалась древнейшей «тригонометрической таблицей» в мире

Ученые рассказали о важной роли игр с пальцами в обучении детей математике
Пользовательского поиска

© Злыгостев Алексей Сергеевич, статьи, подборка материалов, оформление, разработка ПО 2001-2018
При копировании материалов проекта обязательно ставить ссылку на страницу источник:
http://mathemlib.ru/ 'MathemLib.ru: Математическая библиотека'
Рейтинг@Mail.ru