Новости    Библиотека    Энциклопедия    Биографии    Карта сайта    Ссылки    О проекте




предыдущая главасодержаниеследующая глава

Теорема о ранге

Назовем рангом линейного преобразования размерность его множества значений. Следующая теорема служит подготовительной к теореме 9.20.

9.19. Теорема. Пусть р, q, r - неотрицательные целые числа, X и Y - векторные пространства, dim X = r+p, dim Y =r+q, А - линейное преобразование пространства X в пространство Y ранга r. Тогда существуют векторные пространства Х1, Х2, содержащиеся в X, и пространства Y1, Y2, содержащиеся в Y, такие, что

(a) каждый х∈Х единственным образом представим в виде

x = x1 + x2, где x1&38712;X1, х2Х2;

(b) каждый у∉Y единственным образом представим в виде

у = y1 + у2, где y1Y1, y2Y2;

(c) 2 = 0 при каждом х2&38712;Х2;

(d) сужение преобразования А на Х1 - взаимно однозначное отображение пространства X1 на пространство Y1;

(e) dim X1 = dim Y1 = r.

Доказательство. По теореме 9.3 (с) пространство Y имеет базис {v1, ...,vr+q}, такой, что {v1, ..., vr} - базис множества значений У1 преобразования А. Пусть У2 - оболочка множества {vr+1, ..., vr+q}. (Заметим, что если q = 0, то Y2 состоит из одного лишь нулевого вектора. Некоторые утверждения, высказанные в ходе этого доказательства и в теореме 9.20, должны быть истолкованы аналогично, если одно или более из чисел р, q, r равны нулю. Мы предоставляем читателю подправить эти утверждения и истолковать их.)

Выберем векторы u1, ..., ur∈X, такие, что Auj = vj (1≤j≤r). Тогда {u1, ..., ur} - независимое множество; натянем на него пространство X1. Пусть Х2 - множество всех х∈Х, таких, что Aх = 0.

Ясно, что утверждения от (b) до (е) выполняются. Если х∈Х, то где c1, ..., cr - некоторые числа. Положим Тогда x1∈X1, Ax1 = Ax; значит, Aх2 = 0, или х2∈Х2. Согласно (с) и (d), Х1 и Х2 имеют только один общий вектор - нулевой. Поэтому представление х = x1 + x2 единственно, и (а) доказано. Следующая теорема еще раз иллюстрирует общий принцип, состоящий в том, что непрерывно дифференцируемое отображение F вблизи точки х ведет себя примерно так же, как линейное преобразование F'(х).

9.20. Теорема. Пусть X = Rr+p, Y = Rr+q, F есть ' - отображение открытого множества Е?№8834жX в пространство Y и F'(х) - линейное преобразование ранга r при любом х∈Е.

Зафиксируем точку а∈E, положим A = F'(a), выберем Х1, Х2, У1 и У2, как в теореме 9.19, и определим F1 и F2 равенством

(39)

F(x) = F1(x)+F2(x) (x∈E),

где F1(x)∈Y1, F2(x)∈Y2.

Тогда существует открытое множество U в пространстве X, такое, что а∈U, U⊂Е и

(a) F1(U) - открытое множество в Y1;

(b) для любого y∈F1(U) существует ровно один y2∈Y2, такой, что

y1+y2∈F(U).

Геометрический смысл утверждения (b) таков: F(U) - это "r-мерная поверхность" в Y, причем "над" каждой точкой множества F1(U) лежит ровно одна точка этой поверхности. Мы советуем читателю набросать чертеж для случаев, когда числа p, q, r принимают одно из значений 0, 1, 2.

Доказательство. Пусть Т - сужение отображения А на X1. Согласно 9.19 (d), T - линейное взаимно однозначное преобразование пространства X1 на Y1, а обратное преобразование Т-1 отображает Y1 на X1. Пусть Р - линейный оператор на X, определенный так: Рх = х2, если x = х1+x2, x1∈X1, х2∈Х2 (такого рода оператор называют проектором), и пусть

(40)

f(х) = T-1F'(х)+Рx (х∈E).

Согласно правилу дифференцирования сложной функции,

(41)

f'(a) = T-1F'1(a)+P.

При i = 1, 2 множество значений отображения Fi содержится в Yi. Поскольку Yi - замкнутое подпространство пространства Y, то из (18) ясно что F'i(a)h∈Yi при всех h∈X. Согласно (39), A = F'1(a) + F'2(a); а так как множество значений отображения А совпадает с Y1, то, по теореме 9.19 (b), A = F'1(a), и 9.19 (с) показывает, что Ah = Ah1, если h = h1 + h2, h1∈X1, h2∈Х2. Таким образом,

f'(a)h = T-1Ah + Ph = Т-1Аh1 + h2 = h1 + h2 = h.

Это значит, что f'(а) - тождественное отображение на X. Поэтому из теоремы об обратной функции следует, что существуют открытые множества U и V в X, такие, что а∈U, U⊂Е и f - взаимно однозначное отображение множества U на V. Более того (заменяя, если потребуется, V и V надлежащими множествами), можно добиться, чтобы V было выпуклым. Пусть g - отображение множества V на U, обратное к f. Положим

(42)

Φ(z) = F(g(z)) (z∈V).

Из того, что АР = 0, следует, что Af = AT-1F1 = F1, так что

F1(g(z)) = Af(g(z)) = Az = Az1.

Таким образом,

(43)

Φ(z) = Az1+φ(z) (z∈V),

где φ(z)∈Y2, z = z1+z2, z1∈X1, z2∈X2

Согласно (42) и (43), F1(U) - это множество всех точек Az1, где z∈V. Поскольку V открыто, а Y1 - множество значений отображения А, то утверждение (а) теоремы доказано.

Чтобы доказать (b), достаточно проверить, что Φ(z) зависит только от z1.

Зафиксируем z∈V. Согласно (42) и (43),

(44)

Φ'(z) = F'(g(z))g'(z)=A+φ'(z).

Ввиду того что g'(z) - обратимый линейный оператор на X, a F'(g (z)) - отображение ранга r, множество значений R отображения Φ'(z) - векторное пространство размерности r. Пусть Q - проектор пространства У на пространство Y1. Поскольку множество значений отображения φ'(z) содержится в Y2, то (44) показывает, что A = QΦ'(z). Таким образом, Q отображает пространство R на Y1, а так как размерность обоих этих пространств равна r, то Q взаимно однозначно на R. Таким образом,

(45)

из Ah = 0 следует, что Φ'(z) h = 0.

Если теперь z∈V, z+h2∈V, h2∈'X2, то положим

(46)

Λ(t) = Φ(z + th2) (0≤t≤1).

Поскольку V выпукло, это определение имеет смысл, а так как Ah2 = 0, то из (45) и (46) следует, что

(47)

Λ'(t) = Φ'(z + th2)h2 = 0 (0≤t≤1).

Таким образом, Λ(1) = Λ(0), так что Φ(z + h2) = Φ(z) и (b) установлено.

предыдущая главасодержаниеследующая глава




ИНТЕРЕСНО:

Многомерный математический мир… в вашей голове

В школах Великобритании введут китайские учебники математики

Найдено самое длинное простое число Мерсенна, состоящее из 22 миллионов цифр

Как математик помог биологам совершить важное открытие

Математические модели помогут хирургам

Почему в математике чаще преуспевают юноши

Физики-практики откровенно не любят математику

В индийской рукописи нашли первое в истории упоминание ноля

Вавилонская глиняная табличка оказалась древнейшей «тригонометрической таблицей» в мире

Ученые рассказали о важной роли игр с пальцами в обучении детей математике
Пользовательского поиска

© Злыгостев Алексей Сергеевич, статьи, подборка материалов, оформление, разработка ПО 2001-2017
При копировании материалов проекта обязательно ставить ссылку на страницу источник:
http://mathemlib.ru/ 'MathemLib.ru: Математическая библиотека'
Рейтинг@Mail.ru