Новости    Библиотека    Энциклопедия    Биографии    Карта сайта    Ссылки    О проекте




предыдущая главасодержаниеследующая глава

Теорема о неявной функции

Если x = (x1, ..., xn)∈Rn и y = (y1, ..., ym)∈Rm, то через (х, у) мы будем обозначать точку (или вектор)


В этом разделе первый элемент в (х, у) или в подобном символе всегда будет обозначать вектор пространства Rn, а второй - вектор пространства Rm.

Пусть A∈L(Rn+m, Rn), и пусть

(32)

А(h, 0) = 0 эквивалентно h = 0.

Заметим, что по теореме 9.5 отображение h⊂A(h, 0) есть линейное взаимно однозначное отображение Rnна себя. Далее, при всяком k∈Rm и b∈Rn уравнение А (х, k) = b имеет единственное решение. Действительно, существует такое х, что А (х, 0) = b-A(0, k), т. е. A(х, k) = b, а если А(х1, k) = А(х2, k), то A(х12, 0) = 0 и, в силу (32), x1 = x2.

В частности, если А удовлетворяет условию (32), то уравнение

(33)

A(x,y) = 0

имеет при каждом у∈Rm одно и только одно решение х∈Rn.

Теорема о неявной функции утверждает, что подобное заключение справедливо и в отношении некоторых (не обязательно линейных) непрерывно дифференцируемых отображений. Прежде чем сформулировать ее, заметим, что если [A] - матрица (из n строк и n+m столбцов) отображения A по отношению к стандартным базисам, то (32) означает в точности, что векторы, стоящие в первых n столбцах матрицы [A], линейно независимы. Пользуясь этим критерием, можно проверять, выполняется ли (32).

9.18. Теорема. Пусть f есть ' - отображение открытого множества Е⊂Rn+m в пространство Rn. Допустим, что (а, b)∈Е, f(a, b) = 0, A = f'(а, b) и А удовлетворяет условию (32). Тогда существуют окрестность W точки b (W⊂Rm) и единственная функция g'(W) со значениями в Rn, такие, что g(b) = а и

(34)

f(g(y),y) = 0 (y∈W).

Функция g определена неявно равенством (34), отсюда и название теоремы. Ее можно сформулировать в терминах, относящихся к системе n уравнений с n+m неизвестными:

(35) f1(x1, ..., xn, y1, ..., ym) = 0, . . . fn(x1, ..., xn, y1, ..., ym) = 0.

Наше предположение об А теперь означает, чго квадратная матрица из n строк и n столбцов, такая, что на пересечении ее i-й строки и j-го столбца стоит имеет независимые столбцы. Если это выполняется и если х = а, у = b удовлетворяют уравнению (35), то (35) можно разрешить относительно х1, ... , хn при каждом у, достаточно близком к b.

Доказательство. Пусть F - отображение, ставящее в соответствие точке (х, у)∈Е точку (z, w)∈Rn+m, определенную равенством

(36)

z = f(x, у), w = y.

Тогда F'(E) поскольку f(a, b) = 0, то

f(a + h, b + k) = A(b, k) + r(h, k),

где r - остаток, участвующий в определении f'. Из того что

F(a + h, b + k) - F(a, b) = (f((a + h), b + k), k),

следует, что F'(a, b) - линейный оператор на Rn+m, который вектору (h, k) ставит в соответствие вектор (A (h, k), k). Если при таком отображении образ какого-нибудь вектора равен нулю, то A (h, k) = 0 и k = 0, а потому A (h, 0) = 0 и из (32) следует, что h = 0. Это значит, что оператор F'(а, b) взаимно однозначен и, следовательно, обратим (теорема 9.5).

Поэтому к F применима теорема об обратной функции: существуют открытые множества U и V в Rn+m, содержащие (а, b) и (0, b) и такие, что F взаимно однозначно отображает U на V; согласно (36), отображение, обратное к F, имеет вид

(37)

x = φ(z, w), y = w ((z, w)738712;v),

где φ∈'(V). Иными словами,

(38)

f(φ(z, w), w) = z ((z,w)∈V).

Если мы теперь обозначим через W такую окрестность точки b, что (0, w)∈V при w∈W, и положим g(y) = φ(0, y) при у∈W, то при z = 0 в (38) мы получим (34).

Ясно, что g (b) = а, так как φ(0, b) = а. Единственность функции g следует из того, что отображение F взаимно однозначно: если (х, у)∈U, *, у)∈U, a f(x, y) = f(x*, у), то F(x, y) = F(x*, у), а потому х* = х.

предыдущая главасодержаниеследующая глава




ИНТЕРЕСНО:

Петер Шольц - самый молодым лауреат Филдсовской премии

Кашер Биркар - беженец из Ирана - стал лауреатом Филдсовской премии

Эмми Нётер — была великой женщиной и при этом величайшей женщиной-математиком

Зачем математики ищут простые числа с миллионами знаков?

Задача построения новых оснований математики - унивалентные основания

Многомерный математический мир… в вашей голове

В школах Великобритании введут китайские учебники математики

Найдено самое длинное простое число Мерсенна, состоящее из 22 миллионов цифр

Как математик помог биологам совершить важное открытие

Математические модели помогут хирургам

Почему в математике чаще преуспевают юноши

Физики-практики откровенно не любят математику

В индийской рукописи нашли первое в истории упоминание ноля

Вавилонская глиняная табличка оказалась древнейшей «тригонометрической таблицей» в мире

Ученые рассказали о важной роли игр с пальцами в обучении детей математике
Пользовательского поиска

© Злыгостев Алексей Сергеевич, статьи, подборка материалов, оформление, разработка ПО 2001-2018
При копировании материалов проекта обязательно ставить ссылку на страницу источник:
http://mathemlib.ru/ 'MathemLib.ru: Математическая библиотека'
Рейтинг@Mail.ru