Новости    Библиотека    Энциклопедия    Биографии    Карта сайта    Ссылки    О проекте




предыдущая главасодержаниеследующая глава

Теорема об обратной функции

Эта теорема утверждает, грубо говоря, что непрерывно дифференцируемое отображение f обратимо в окрестности любой точки х, в которой обратимо линейное преобразование f'(х).

9.17. Теорема. Пусть f есть ' - отображение открытого множества Е⊂Rn в пространство Rn, пусть отображение f'(a) обратимо при некотором а∈E, и пусть b = f(a). Тогда

(a) существуют открытые множества U и V в пространстве Rn, такие, что а∈U, b∈V, f взаимно однозначно на U и f(U) = V;

(b) если g - отображение, обратное к f [оно существует согласно (а)], заданное в V равенством

g(f(x)) = x (x∈V),

то g∈'(V).

Записывая равенство у = f (x) с помощью компонент, мы приходим к следующей интерпретации заключения теоремы: равенства

yi = fi(x1, ..., xn) (1≤i≤n)

определяют взаимно однозначное соответствие между достаточно малыми окрестностями точек а и b; при этом.x1, ..., хn являются непрерывно дифференцируемыми функциями от у1, ..., уn.

Доказательство. Пусть f'(а) = А. Выберем X так, чтобы 4λ ||A-1|| = 1. Ввиду того что f∈'(E), существует такой открытый шар U с центром в точке а, что

(22)


(x∈U).

Допустим, что х∈U и х+h∈U. Положим

F(t) = f(x+th)-tAh (0≤t≤1).

Вследствие выпуклости множества U, x+th∈U при 0≤t≤1, и из (22) следует, что


Последнее неравенство выполняется потому, что


в силу выбора числа X. Из теоремы 5.20 следует теперь, что


или

(23)


Отсюда следует, что

(24)


Подчеркнем, что неравенства (23) и (24) выполняются, если только x∈U и x+h∈U. В частности, из (24) следует, что отображение f взаимно однозначно на U.

Зафиксируем x0∈U и рассмотрим открытый шар S с центром в точке х0 радиуса r>0, замыкание которого лежит в U. Мы докажем, что f(S) содержит открытый шар с центром в точке f (х0) радиуса λr.

Чтобы сделать это, зафиксируем такой вектор у, что |у-f(х0)|<λr, и положим


(x∈).

Если то, как показывает (24),


Таким образом,

(25)

φ(x0)<λr<φ(x)

Ввиду того что φ - непрерывная функция, a - компактное множество, существует x*, такой, что φ(х*)≤φ(х) при всех х*. Согласно (25), x*∈S.

Положим w = y-f(x*). Поскольку А обратим, существует вектор h∈Rn, такой, что Ah = w. Выберем число t∈(0, 1), столь малое, что x*+th∈S. Тогда

(26)


и, как показывает (23),

(27)


Поскольку φ(х*+th) - норма суммы векторов, фигурирующих в левых частях равенства (26) и неравенства (27), и так как |w| = φ(х*), то

(28)


Таким образом, φ(х*) = 0, т. е. f(x*)=у.*

* (Эту часть доказательства можно еще немного сократить. Действительно, функция =|у-f(x)|2 достигает минимума в точке х*, принадлежащей S. Поэтому частные производные функции в этой точке обращаются в нуль. Отсюда следует, что В(y-f(x*)) = 0, где B∈L(Rn, Rn), [В] - матрица, транспонированная к [f'(x*)] и потому обратимая. Значит, y = f(x*).- Прим. перев.)

Тем самым доказано, что каждая точка множества f(U) имеет окрестность, содержащуюся в f(U). Поэтому f(U) - открытое подмножество пространства Rn. Полагая V = f(U), мы видим, что утверждение (а) теоремы доказано.

Чтобы доказать (b), выберем y∈V, y+k∈V и положим x = g(y),

h = g(y+k)-g(y).

Согласно теореме 9.8 (а), неравенству (22) и нашему выбору числа λ, оператор f'(х) имеет обратный, который мы обозначим через В. Применяя В к равенству


где при h→0, мы получим Bk = h + Br(h), или

(29)

g(y+k)-g(y)=Bk-B(r(h)).

Согласно (24), Таким образом, h→0 при k→0 (что одновременно доказывает непрерывность отображения g в точке у) и

(30)


при k→0.

Сравнение (30) и (29) показывает, что g дифференцируемо в точке у и что g'(у) = В. Иными словами,

(31)

g'(y) = {f'(g(y))}-1 (y∈V).

Кроме того, g - непрерывное отображение множества V на U, f' - непрерывное отображение множества V в множество Ω всех обратимых элементов множества L(Rn), а переход к обратному - непрерывное отображение множества Ω на множество Ω [по теореме 9.8 (b)]. Используя эти факты и равенство (31), мы получаем, что g'(V).

Теорема доказана.

Следующее утверждение вытекает непосредственно из теоремы [часть (а)]:

Следствие. Если f есть ' - отображение открытого множества Е⊂Rn в пространство Rn и если оператор f'(х) обратим при любом х∈Е, то f(W) - открытое подмножество пространства Rn, каково бы ни было открытое множество W⊂E.

Иными словами, f - открытое отображение множества Е в пространство Rn.

Предположения, сделанные в этом следствии, обеспечивают для каждой точки х∈Е существование такой окрестности, на которой отображение f взаимно однозначно. Можно сказать, что f локально взаимно однозначно. Однако f не обязано при этом быть взаимно однозначным на всем множестве Е. Пример приведен в упражнении 12.

предыдущая главасодержаниеследующая глава




ИНТЕРЕСНО:

Зачем математики ищут простые числа с миллионами знаков?

Задача построения новых оснований математики - унивалентные основания

Многомерный математический мир… в вашей голове

В школах Великобритании введут китайские учебники математики

Найдено самое длинное простое число Мерсенна, состоящее из 22 миллионов цифр

Как математик помог биологам совершить важное открытие

Математические модели помогут хирургам

Почему в математике чаще преуспевают юноши

Физики-практики откровенно не любят математику

В индийской рукописи нашли первое в истории упоминание ноля

Вавилонская глиняная табличка оказалась древнейшей «тригонометрической таблицей» в мире

Ученые рассказали о важной роли игр с пальцами в обучении детей математике
Пользовательского поиска

© Злыгостев Алексей Сергеевич, статьи, подборка материалов, оформление, разработка ПО 2001-2018
При копировании материалов проекта обязательно ставить ссылку на страницу источник:
http://mathemlib.ru/ 'MathemLib.ru: Математическая библиотека'
Рейтинг@Mail.ru