Новости    Библиотека    Энциклопедия    Биографии    Карта сайта    Ссылки    О проекте




предыдущая главасодержаниеследующая глава

Дифференцирование

9.10. Определение. Пусть Е - открытое множество в Rn, f - отображение множества Е в пространство Rm и х∈E.

Если существует линейное преобразование А пространства Rn в пространство Rm, такое, что

(5)


то говорят, что f дифференцируемо в точке х, и пишут

(6)

f'(x) = A.

Если отображение f дифференцируемо в каждой точке х∈Е, то говорят, что fдифференцируемо на множестве Е.

Следующие комментарии приводятся для разъяснения и мотивировки этого определения.

(а) В (5), конечно, имеется в виду, что h∈Rn, а потому если норма |h| достаточно мала, то х+h∈E, так как E - открытое множество. Таким образом, f(x+h) имеет смысл, f (x+h)∈Rm, и так как A∈L(Rn, Rm), то Ah∈Rm. Таким образом,

f(x+h)-f(x)-Ah∈Rm.

Норма, фигурирующая в числителе дроби (5),- это норма пространства Rm, а в знаменателе - Rn-норма вектора h.

(b) В случае n = 1 новое определение производной сводится к прежнему (см. определение 5.1 и п. 5.16). Производная f'(х) определялась как вектор y∈Rm (если только он существует), для которого

(7)


Но всякому вектору у∈Rm можно (взаимно однозначно) сопоставить линейное преобразование Ту пространства R1 в Rm по формуле Tyh = hy. Заметим, что каждое T∈L(R1, Rm) имеет вид Т = Тy при некотором у (нужно просто взять у = T1). При этом

(c) Пусть f и Е - те же, что в определении 9.10, и пусть f дифференцируемо на Е. При каждом фиксированном х∈Е f(х) = A есть линейное преобразование пространства Rn в Rm, т. е. функция, сопоставляющая каждому вектору h∈Rn вектор f'(х) h = Ah∈Rm. С другой стороны, поскольку отображение f дифференцируемо в каждой точке множества Е, то каждой точке этого множества соответствует оператор f'(х) = А. Тем самым дифференцируемое отображение f индуцирует отображение (функцию) f' на Е со значениями в L(Rn, Rm).

(d) Соотношение (5) можно переписать в виде

(8)

f(x + h) = f(x) + f'(x)h + r(h),

где остаток r(h) мал в том смысле, что

(9)


Можно истолковать (8) так: при фиксированном х и малом h разность

f(x + h) - f(x)

приближенно равна f'(x) h, т. е. равна значению линейной функции в точке h.

Достаточно взглянуть на равенство (8), чтобы убедиться в непрерывности отображения f в любой точке, в которой оно дифференцируемо.

(e) Производную, определенную в (5) или в (8), часто называют полной производной отображения f в точке х, или дифференциалом отображения f в точке х.

Теперь мы решим вопрос о единственности, который, возможно, уже возник у читателя.

9.11. Теорема. Пусть Е и f - те же, что в определении 9.10, х∈E и (5) выполняется с A = A1 и с А = А2, где A1∈L(Rn, Rm) (i = 1, 2). Тогда А1 = А2.

Доказательство. Если В = А1 - А2, то неравенство


показывает, что при h→0. Отсюда следует, что при фиксированном h≠0

(10)


при t→0.

Ввиду того что В линейно, левая часть в (10) не зависит от t. Поэтому Bh = 0 при всех h∈Rn. Теорема доказана.

Правило дифференцирования сложной функции (см. теорему 5.5) легко распространяется на данную ситуацию. И формулировка, и доказательство совершенно такие же, как в одномерном случае.

9.12. Теорема. Пусть Е - открытое множество в пространстве Rn, f - отображение множества Е в пространство Rm, дифференцируемое в точке х0∈Е, g - отображение некоторого открытого множества, содержащего f(E), в пространство Rk, причем g дифференцируемо в точке f (х0). Тогда отображение F множества Е в пространство Rh, определенное равенством

F(x) = g(f(x)),

дифференцируемо в точке х0, и

(11)

F'(x0) = g'(f(x0))-f'(x0).

В правой части равенства (11) стоит произведение двух линейных преобразований, определенное в разделе 9.6.

Доказательство. Пусть y0 = f(x0), A = f'(х0), B = g'(y0), и пусть

u(x) = f(x)-f(x0)-A(x-x0), v(y) = g(y)-g(y0)-B(y-y0), r(х) = F(х) - F(х0)-ВА(х-х0).

Мы должны доказать, что F'(х0) = ВА, т. е. что

(12)


при х→х0.

Из определений отображения F и остатка r имеем

r(х) = g(f(x))-g(y0)-В(f(x)-у0)+В(f(х)-f(x0)-А(х-х0)),

так что

(13)

r(х) = v(f(х))+Bu(x).

Если ε>0, то из определения преобразований А и В следует, что существуют η>0 и δ>0, такие, что


если и


при Значит,

(14)


и

(15)


если

Теперь (12) следует из (13), (14) и (15).

9.13. Частные производные. Пусть f отображает открытое множество Е⊂Rn в пространство Rm и имеет компоненты f1,..., fm, определенные в теореме 4.10. Пусть (e1, ..., en} - стандартный базис пространства Rn. Определим на множестве Е функции Djfi равенствами

(16)


если, конечно, этот предел существует. Записывая fi(x) в виде fi{x1, ..., xn), мы видим, что Djfi есть производная функции fi по xj при фиксированном значении остальных переменных. Поэтому часто используется обозначение

(17)


вместо Djfi.

Если отображение f дифференцируемо в точке х, то определение производной f'(x) показывает, что

(18)


Переходя к координатам векторов, стоящих в (18), с h = ej, мы видим, что если f дифференцируемо в точке х, то все частные производные (Djfi) (x) существуют.

Обратное, вообще говоря, неверно даже в том случае, когда частные производные существуют во всех точках множества Е (упражнение 9); если, однако, частные производные к тому же непрерывны, то обратное верно (см. теорему 9.16).

Отметим, что f'(х)еj - это j-й столбец матрицы [f(x)]. Таким образом, (Djfi) (x) находится в i-й строке и j-м столбце матрицы [f'(х)].

9.14. Пример. Пусть f - дифференцируемое отображение интервала (a, b)⊂R1 в открытое множество E⊂Rn, пусть g - дифференцируемая вещественная функция, определенная в Е (т. е. g - дифференцируемое отображение множества Е в пространство R1). Положим h(t) = g(f(t)) при a<t<b. Согласно правилу дифференцирования сложной функции,

h'(t) = g'(f(t))f'(t) (a<t<b).

Ясно, что h'(t) - линейный оператор на R1, так как f'(t)∈L(R1, Rn) и g'(f(t))∈L(Rn, R1). Если рассматривать h'(t) как вещественное число, то оператор, о котором идет речь,- это оператор умножения на h'(t); ср. с 9.10 (b).

По отношению к стандартному базису пространства Rn [f'(t)] - это матрица из n строк и 1 столбца ("одностолбцовая матрица"), в i-й строке которой стоит f'i(t), где f1, ..., fn - компоненты отображения f, и при каждом х∈Е [g'(x)] - матрица из 1 строки и n столбцов ("однострочная матрица"), в j-м столбце которой стоит (Djg)(x). Значит, [h'(t)] - матрица из одной строки и одного столбца, единственным элементом которой служит вещественное число


Написанное равенство - часто встречающийся случай правила дифференцирования сложной функции.

9.15. Определение. Дифференцируемое отображение f открытого множества Е⊂Rn в пространство Rm называется непрерывно дифференцируемым на Е, если f' - непрерывное отображение множества Е в пространство L(Rn, Rm).

Говоря более отчетливо, в этом определении требуется, чтобы для любого х∈E и любого ε>0 существовало число δ>0, такое, что если у∈E и |y-x|<δ

Если это выполняется, то мы будем говорить, что f является ' - отображением на Е или что f∈'(E).

9.16. Теорема. Пусть f отображает открытое множество Е⊂Rn в пространство Rm. Тогда f∈'(E) в том и только в том случае, когда частные производные Djfi существуют и непрерывны на Е при 1≤i≤m, 1≤j≤n.

Доказательство. Если f∈'(E), то неравенство

в сочетании с (16) и (18) показывает, что каждая частная производная Djfi - непрерывная функция на Е.

Для доказательства обратного достаточно рассмотреть случай m = 1 (почему?). Зафиксируем х∈Е и ε>0. Ввиду того что множество Е открыто, существует открытый шар 5 с центром в точке х и радиусом r, целиком принадлежащий Е. Из непрерывности функций Djf следует, что r можно выбрать столь малым, чтобы иметь

(19)


(y∈S, 1≤j≤n.)

Пусть h = ∑hjej, пусть v0 = 0 и vk = h1e1 + ... + hkek при 1≤k≤n. Тогда

(20)


Ввиду того что |vk|<r при 1≤k≤n, а множество S выпукло, отрезки с концами x+vj-1 и x+vj лежат в S. Поскольку vj = vj-1+hjej, то по теореме 5.10 о среднем значении j-е слагаемое в (20) равно

(21)

hj(Djf)(x+vj-1jhjej)

при некотором θj∈(0,1), и потому оно в силу (19) отличается от hj(Djf)(x) менее, чем на |hj|ε/n. Согласно (20), отсюда следует, что


при всех h, таких, что

Это означает, что функция f дифференцируема в точке х и что f'(х) - линейная функция, которая ставит в соответствие число ∑ hj (Djf) (х) вектору h = ∑ hjej. Матрица [f'(х)] состоит из строки (D1f) (х), ..., (Dnf) (x), а так как функций D1f, ...,Dnf непрерывны на Е, то, как показывает заключительное замечание п. 9.9, f∈'(E).

предыдущая главасодержаниеследующая глава




ИНТЕРЕСНО:

Зачем математики ищут простые числа с миллионами знаков?

Задача построения новых оснований математики - унивалентные основания

Многомерный математический мир… в вашей голове

В школах Великобритании введут китайские учебники математики

Найдено самое длинное простое число Мерсенна, состоящее из 22 миллионов цифр

Как математик помог биологам совершить важное открытие

Математические модели помогут хирургам

Почему в математике чаще преуспевают юноши

Физики-практики откровенно не любят математику

В индийской рукописи нашли первое в истории упоминание ноля

Вавилонская глиняная табличка оказалась древнейшей «тригонометрической таблицей» в мире

Ученые рассказали о важной роли игр с пальцами в обучении детей математике
Пользовательского поиска

© Злыгостев Алексей Сергеевич, статьи, подборка материалов, оформление, разработка ПО 2001-2018
При копировании материалов проекта обязательно ставить ссылку на страницу источник:
http://mathemlib.ru/ 'MathemLib.ru: Математическая библиотека'
Рейтинг@Mail.ru