Глава 9. Функции нескольких переменных

Линейные преобразования

Эту главу мы начнем с рассмотрения множеств векторов в евклидовом пространстве Rⁿ. Излагаемые здесь алгебраические факты без изменений переносятся на конечномерные векторные пространства над любым полем скаляров. Однако для наших целей мы вполне можем оставаться в привычных рамках евклидовых пространств

9.1.Определения. (а) Множество X⊂Rⁿ называется векторным пространством, если х + у∈Х и сх∈Х, каковы бы ни были х∈Х, у∈Х и число с.

(b) Если x₁, ..., x_kẄRⁿ, a c₁, ..., c_k - числа, то вектор c₁x₁ + ... + c_kx_k называется линейной комбинацией векторов x₁, ..., x_k. Если S⊂Rⁿ и если Е - множество всех линейных комбинаций элементов S, то мы будем говорить, что Е натянуто на S или что Е - оболочка S.

Заметим, что каждая оболочка есть векторное пространство.

(c) Множество, состоящее из векторов x₁, ..., x_k (для такого множества мы будем использовать обозначение {x₁, ..., x_k}), называется независимым, если из соотношения c₁x₁ + ... + c_kx_k = 0 следует, что c₁ = ... = с_k = 0. В противном случае это множество называется зависимым.

Отметим, что независимое множество не может содержать нулевого вектора.

(d) Если векторное пространство X содержит независимое множество, состоящее из r векторов, но не содержит никакого независимого множества из r + 1 векторов, то говорят, что X имеет размерность r и пишут dim X = r.

Множество, состоящее из одного элемента 0,- векторное пространство; размерность его равна нулю.

(e) Независимое подмножество пространства X, оболочка которого равна X, называется базисом пространства X.

Заметим, что если B = {x₁, ..., х_r} - базис пространства X, то каждый элемент х∈X допускает единственное представление вида х = ∑c_jx_j. Такое представление существует, так как Х натянуто на В, и единственно, так как множество В независимо. Числа с₁, ... , с_r называются координатами вектора х по отношению к базису В.

Наиболее известным примером базиса служит множество {e₁, ... , е_n}, где е_j - вектор пространства Rⁿ, j-я координата которого равна 1, а прочие координаты равны нулю. Если x∈Rⁿ, х = (х₁, ... , х_n), то х = ∑x_je_j. Мы будем называть множество {е₁, ..., е_n} стандартным базисом пространства Rⁿ.

9.2. Теорема. Пусть r - положительное целое число. Если векторное пространство X натянуто на множество, состоящее из r векторов, то dim X≤r.

Доказательство. Если это неверно, то существует векторное пространство X, содержащее независимое множество Q = {y₁, ... , y_r+1} и натянутое на множество S₀, состоящее из r векторов.

Пусть 0≤i<r, и допустим, что построено множество S_i, оболочкой которого служит пространство X и которое состоит из векторов у_j с 1≤j≤i и из некоторого набора r - i векторов множества S₀, скажем х₁, ..., x_{r - i}. (Иными словами, S_i получается из множества S₀ заменой i из его элементов элементами множества Q без изменения оболочки.) Поскольку X натянуто на S_i, то y_i+1 принадлежит оболочке множества S_i, значит, существуют числа а₁, ..., a_i+1, b₁, ..., b_r-i, где a_i+1 = 1, такие, что

Если бы все b_k были равны нулю, то, в силу независимости множества Q, и все а_j были бы нулями. Но a_i+1= 1. Следовательно, некоторый вектор x_k∈S_i есть линейная комбинация других элементов множества T_i = S_i∪{y_i+1}. Удалим этот вектор х_k из T_i и обозначим оставшееся множество через S_i+1. Тогда оболочка множеств S_i+1 и T_i равна X, так что S_i+1 обладает теми же свойствами, что и S_i (только i нужно заменить на i+1).

Начиная с S₀, мы построим таким образом множества S₁, ..., S_r. Последнее из них состоит из у₁, ..., у_r, и наше построение показывает, что его оболочка равна X. Но множество Q независимо, значит, у_r+1 не принадлежит оболочке множества S_r. Это противоречие доказывает теорему.

Следствие. dim Rⁿ = n.

Доказательство. Пространство Rⁿ натянуто на множество {е₁, ...,е_n}. Поэтому, как показывает теорема,

Но множество {e₁, ..., е_n} - независимое, и потому dim Rⁿ ≥ n.

9.3. Теорема. Пусть X - векторное пространство и dim X = n.

(c) Если 1≤r≤n и {у₁, ... , у_r} - независимое множество в X, то X имеет базис, в состав которого входят все векторы y₁, ..., y_r.

Доказательство. Пусть Е = {x₁, ..., х_n}. Множество {x₁, ..., х_n, у) зависимо при любом у∈Х, так как dim X = n. Если Е независимо, то у принадлежит оболочке множества Е; значит, X натянуто на Е. Обратно, если множество Е зависимо, то один из его элементов можно удалить, не меняя оболочки. Значит, X не может быть оболочкой множества Е по теореме 9.2. Тем самым (а) доказано.

Пространство X содержит независимое множество, состоящее из n векторов, так как dim X = n, а согласно (а), каждое такое множество образует базис пространства X; теперь (b) вытекает из 9.1 (d) и 9.2.

Чтобы доказать (с), допустим, что {х₁, ..., x_n} - базис пространства X. Пространство X натянуто на множество

причем множество S зависимо, так как оно содержит больше, чем n векторов. Рассуждение, использованное при доказательстве теоремы 9.2, показывает, что один из векторов x_i равен линейной комбинации остальных элементов множества S. Удалив этот вектор x_i из S, мы получим множество, оболочка которого все еще совпадает с X. Повторяя этот процесс r раз, мы получим базис пространства X, содержащий векторы {y₁, ..., y_r} согласно (а).

9.4. Определение. Отображение А векторного пространства X в векторное пространство Y называется линейным преобразованием, если

каковы бы ни были х, х₁, х₂∈Х и число с. Заметим, что часто пишут Ах вместо А(х), если A - линейное преобразование.

Заметим еще, что если A - линейное преобразование, то A0 = 0. Линейные преобразования пространства X в X часто называют линейными операторами на X^*. Если A - линейный оператор на X, который (i) взаимно однозначен; (ii) отображает пространство X на X, называют обратимым. В этом случае на X можно определить оператор А^-1, положив A^-1(Aх) = х при всех x∈Х. Очевидно, что в этом случае A(A^-1х) = х при всех х∈Х и А^-1 - линейный оператор.

^* (Столь же часто этот термин употребляют применительно к линейным преобразованиям пространства X в отличное от него пространство У.- Прим. перев.)

Важное свойство линейных операторов на конечномерных векторных пространствах состоит в том, что каждое из условий (i) и (ii) влечет за собой другое.

9.5. Теорема. Линейный оператор А на конечномерном векторном пространстве X взаимно однозначен в том и только в том случае, когда множество его значений совпадает со всем X.

Доказательство. Пусть {x₁, ...,x_n} - базис пространства X. Из свойств линейности оператора А следует, что его множество значений R(A) натянуто на множество Q = {Ax₁, ..., Ах_n). Из теоремы 9.3. (а) мы заключаем, что R(A) = X тогда и только тогда, когда Q - независимое множество. Мы должны показать, что это происходит тогда и только тогда, когда оператор А взаимно однозначен.

Допустим, что оператор А взаимно однозначен и что ∑c_iA_ix_i = 0. Тогда A( ∑c_ix_i) = 0, значит, ∑c_ix_i = 0, значит, с₁ = ... = с_n = 0, и мы заключаем, что множество Q независимо.

Пусть, обратно, Q независимо и A(∑c_ix_i) = 0. Тогда ∑c_iAx_i = 0, значит, c₁ = ... = с_n = 0, и мы заключаем: А_х = 0 только тогда, когда х = 0. Если теперь Ах = Ау, то А (х - у) = Ах - Ау = 0, так что х - у = 0, и потому А взаимно однозначен.

9.6. Определение.(а). Пусть L(X, Y) - множество всех линейных отображений векторного пространства X в векторное пространство Y. Вместо L (X, X) мы будем писать просто L (X). Если А₁, A₂∈L(X, Y) и если с₁, с₂ - числа, то определим отображение c₁A₁ + c₂A₂ равенством

Ясно, что тогда c₁A₁ + c₂A₂∈L (X, Y).

(b) Если X, Y, Z - векторные пространства, A∈L(X, Y) и B∈L(Y, Z), то мы определим произведение ВА равенством

Тогда BA∈L(X, Z).

Заметим, что, вообще говоря, ВА≠АВ даже в том случае, когда X = Y = Z.

(с) Нормой ||A|| оператора А∈L (Rⁿ, R^m) называется верхняя грань множества всех чисел где х пробегает множество всех векторов пространства Rⁿ, таких, что

Отметим, что неравенство

выполняется при всех x∈Rⁿ. Кроме того, если λ таково, что при всех х∈Rⁿ, то

9.7. Теорема. (а) Если A∈L(Rⁿ, R^m), то и А - равномерно непрерывное отображение пространства Rⁿ в пространство R^m.

(b) Если A, B∈L(Rⁿ, R^m), а с - число, то

Если расстояние между А и В определить как ||А - В||, то L(Rⁿ, R^m) становится метрическим пространством.

(с) Если A∈L(Rⁿ, R^m) и B∈L(R^m, R^k) то

Доказательство.(а) Пусть {е₁, ..., е_n} - стандартный базис в Rⁿ, и пусть х = ∑c_ie_i, , так что |с_i|≤1 при i = 1, ..., n. Тогда

так что

Мы видим, что отображение A равномерно непрерывно, так как если х, y∈Rⁿ. Неравенство в (b) следует из того, что

вторая часть утверждения (b) проверяется тем же способом. Если

то выполняется неравенство треугольника

и легко проверить, что ||A-В|| обладает остальными свойствами расстояния (определение 2.17).

Наконец, (с) следует из неравенства

Имея в пространстве L(Rⁿ, R^m) метрику, мы можем перенести на это пространство такие понятия, как непрерывность, открытое множество и т. д. Наша следующая теорема использует эти понятия.

9.8. Теорема. Пусть Ω - множество всех обратимых линейных операторов на Rⁿ.

(b) Ω - открытое подмножество пространства L(Rⁿ), и отображение А→A^-1 непрерывно на Ω. (Оно, очевидно, взаимно однозначно отображает множество Ω на себя и является обратным к самому себе.)

Доказательство. Из того что при всех x∈Rⁿ, следует, что

при всех х∈Rⁿ. Это показывает, что оператор В взаимно однозначен, значит, B∈Ω по теореме 9.5. Но это верно при любом В, для которого ||В - A||<α; поэтому множество Ω открыто.

Заменяя в приведенном выше неравенстве х вектором В^-1у, получим

так что Тождество

и теорема 9.7 (с) показывают теперь, что

и тем самым доказано утверждение о непрерывности, так как β→0 при В→А.

9.9. Матрицы. Пусть {х₁, ..., х_n} и {у₁, ..., у_m} - базисы векторных пространств X и Y соответственно. Тогда любому преобразованию A∈L(X, Y) соответствуют числа а_ij, такие, что

(1)

Удобно представлять себе эти числа расположенными в прямоугольную таблицу из m строк и n столбцов, называемую матрицей:

Заметим, что координаты a_ij вектора Ax_j (по отношению к базису {у₁, ...,у_m}) находятся в j-м столбце матрицы [А]. Используя эту терминологию, можно сказать, что множество значений преобразования А натянуто на векторы-столбцы матрицы [А].

Если х = ∑ c_jx_j, то, в силу линейности преобразования A и равенства (1), получаем

Таким образом, i-я координата вектора Ах равна

Заметим, что в (1) суммирование производится по первому индексу элемента a_ij, тогда как, вычисляя координаты, мы суммируем по второму индексу.

Пусть теперь дана матрица из m строк и n столбцов с вещественными элементами a_ij. Если отображение А определить равенством (2), то ясно, что A∈L(X, Y) и что [А] - исходная матрица. Таким образом, имеется взаимно однозначное соответствие между множеством L(X,Y) и множеством всех вещественных матриц из m строк и n столбцов. Подчеркнем, однако, что [А] зависит не только от A, но и от выбора базисов в X и в У. Одно и то же преобразование А порождает различные матрицы, если менять базисы, и обратно. Мы не станем развивать эту мысль, так как мы обычно будем иметь дело с фиксированными базисами. (Некоторые замечания по этому поводу можно найти в п. 9.26.)

Если Z - третье векторное пространство с базисом {z₁, ..., z_p}, если А задано равенством (1) и если

то

и так как

то из независимости множества {z₁, ..., z_p} следует, что

(3)

Это показывает, как найти матрицу [ВА] из р строк и n столбцов, зная матрицы [В] и [A]. Если мы определим произведение [В][А] как [ВА], то равенство (3) описывает обычное правило перемножения матриц.

Наконец, допустим, что {х₁, ..., х_n} и {у₁, ..., у_m} - стандартные базисы пространств Rⁿ и R^m и что А задано равенством (2). Неравенство Шварца показывает, что

Таким образом,

(4)

Применяя (4) к В-А вместо А, где A, B∈L(Rⁿ, R^m), мы видим, что если элементы матрицы а_ij - непрерывные функции некоторого параметра, то то же верно в отношении А. Точнее, если S - метрическое пространство, а₁₁, ..., а_mn - вещественные функции, непрерывные на S, и если при любом p∈S A_p - линейное преобразование пространства Rⁿ в пространство R^m, матрица которого составлена из элементов a_ij (р), то отображение р→А_р - непрерывное отображение пространства S в пространство L (Rⁿ, R^m).