Новости    Библиотека    Энциклопедия    Биографии    Карта сайта    Ссылки    О проекте




предыдущая главасодержаниеследующая глава

Упражнения

1. Пусть


Доказать, что а имеет производные всех порядков в точке x = 0 и что f(n)(0) = 0 при n = 1, 2, 3, ...

2. Доказать следующие предельные соотношения:

(a)


(b&362;0);

(b)


(c)


(d)


3. Пусть f(x)f(у) = f(x+у) при всех вещественных x и y

(a) Предполагая, что f дифференцируема и отлична от тождественного нуля, доказать, что

f(x) = ecx,

где с - некоторое число.

(b) Доказать то же самое, предполагая, что f только непрерывна.

4. Пусть 0<x<π/2. Доказать, что


5. Доказать, что при вещественном х и n = 0, 1, 2, ...

|sin nx|≤n|sin x|.

Заметим, что это неравенство может быть неверным для других значений n. Например,


6. Пусть aij - число, стоящее в i-й строке и j-м столбце таблицы


так что


Доказать, что


7. Доказать, что


если аij≥0 при всех i и j. (Случай +∞ = +∞ не исключается.)

8. Вывести теорему Вейерштрасса о равномерном приближении многочленами из теоремы Фейера (рассмотреть разложение тригонометрического многочлена в степенной ряд).

9. Будем говорить, что f удовлетворяет условию Липшица в точке х, если существуют числа М и δ>0, такие, что

|f(y) - f(x)|<M|y - x|

при

Доказать, что ряд Фурье функции f сходится к f(х) в точке х, если f удовлетворяет условию Липшица в этой точке.

Указание. Функции [f(х - t) - f(x)] Dn(t) равномерно ограничены в интервале (-δ, δ).

10. Если функция f дифференцируема в точке х, то она удовлетворяет условию Липшица в этой точке. Значит, дифференцируемость влечет за собой сходимость ряда Фурье.

11. Пусть


Доказать, что последовательность {rn} сходится. (Ее предел, часто обозначаемый буквой γ, называется эйлеровой постоянной, γ = 0,5772 ... .)

12. Пусть


Доказать, что существует число С>0, такое, что

Ln> C log n (n = 1, 2, 3, ...),

или, точнее, что последовательность


ограничена.

13. Если при всех х, то и при всех х и n.

14. Пусть при n = 1, 2, 3, ...,

sn = c0 + c1 + ... + cn,

Доказать, что

|sn - σn|≤M.

Указание:


15. Пусть f - функция ограниченной вариации на [-π, π]. Доказать, что если sn есть n-я частная сумма Фурье функции f, то последовательность {sn (x)} равномерно ограничена.

Указание. Воспользоваться двумя предыдущими результатами и упражнением 12 к гл. 6.

16. Доказать, что существует постоянная М, такая, что


Указание. Применить результат упражнения 15 к ряду Фурье функции


17. Пусть f - функция ограниченной вариации на [-π, π]. Доказать, что если при некотором х


то ряд Фурье функции f сходится в точке х к s.(Эта теорема принадлежит Дирихле.)

Указание. Допустим, не ограничивая общности, что s = 0, х = 0 и f - четная (для нечетной f положим sn (f; 0) = 0 и f(0) = 0). Тогда f непрерывна в нуле. Выберем δ>0 так, чтобы полная вариация функции f на [0, δ] была мала, проинтегрируем по частям и применим упражнение 16, чтобы убедиться в малости интеграла


при всех n, а затем воспользуемся теоремой о локализации.

18. Доказать локальный вариант теоремы Фейера: если f∈ и если функция f непрерывна в точке х0, то σn (f; х0)→f(x0) при n→#8734;.

19. Пусть аn = ni/n-1, a bn = log n/n. Найти


20. Пусть f - функция, непрерывная на R1, f(x + 2π) = f(x) и α/π - иррациональное число. Доказать, что


при всех х.

Указание. Сначала доказать это для f(x) = eikx.

21. Сформулировать и доказать теорему о равномерном приближении непрерывной функции интегралами вида


которая содержала бы теоремы Вейерштрасса (7.24) и Фейера (8.15) как частные случаи.

предыдущая главасодержаниеследующая глава




ИНТЕРЕСНО:

Многомерный математический мир… в вашей голове

В школах Великобритании введут китайские учебники математики

Найдено самое длинное простое число Мерсенна, состоящее из 22 миллионов цифр

Как математик помог биологам совершить важное открытие

Математические модели помогут хирургам

Почему в математике чаще преуспевают юноши

Физики-практики откровенно не любят математику

В индийской рукописи нашли первое в истории упоминание ноля

Вавилонская глиняная табличка оказалась древнейшей «тригонометрической таблицей» в мире

Ученые рассказали о важной роли игр с пальцами в обучении детей математике
Пользовательского поиска

© Злыгостев Алексей Сергеевич, статьи, подборка материалов, оформление, разработка ПО 2001-2017
При копировании материалов проекта обязательно ставить ссылку на страницу источник:
http://mathemlib.ru/ 'MathemLib.ru: Математическая библиотека'
Рейтинг@Mail.ru