Упражнения

1. Пусть

Доказать, что а имеет производные всех порядков в точке x = 0 и что f⁽ⁿ⁾(0) = 0 при n = 1, 2, 3, ...

2. Доказать следующие предельные соотношения:

(a)

(b&362;0);

(b)

(c)

(d)

3. Пусть f(x)f(у) = f(x+у) при всех вещественных x и y

(a) Предполагая, что f дифференцируема и отлична от тождественного нуля, доказать, что

где с - некоторое число.

(b) Доказать то же самое, предполагая, что f только непрерывна.

4. Пусть 0<x<^π/₂. Доказать, что

5. Доказать, что при вещественном х и n = 0, 1, 2, ...

Заметим, что это неравенство может быть неверным для других значений n. Например,

6. Пусть a_ij - число, стоящее в i-й строке и j-м столбце таблицы

так что

Доказать, что

7. Доказать, что

если а_ij≥0 при всех i и j. (Случай +∞ = +∞ не исключается.)

8. Вывести теорему Вейерштрасса о равномерном приближении многочленами из теоремы Фейера (рассмотреть разложение тригонометрического многочлена в степенной ряд).

9. Будем говорить, что f удовлетворяет условию Липшица в точке х, если существуют числа М и δ>0, такие, что

при

Доказать, что ряд Фурье функции f сходится к f(х) в точке х, если f удовлетворяет условию Липшица в этой точке.

Указание. Функции [f(х - t) - f(x)] D_n(t) равномерно ограничены в интервале (-δ, δ).

10. Если функция f дифференцируема в точке х, то она удовлетворяет условию Липшица в этой точке. Значит, дифференцируемость влечет за собой сходимость ряда Фурье.

11. Пусть

Доказать, что последовательность {r_n} сходится. (Ее предел, часто обозначаемый буквой γ, называется эйлеровой постоянной, γ = 0,5772 ... .)

12. Пусть

Доказать, что существует число С>0, такое, что

или, точнее, что последовательность

ограничена.

13. Если при всех х, то и при всех х и n.

14. Пусть при n = 1, 2, 3, ...,

Доказать, что

Указание:

15. Пусть f - функция ограниченной вариации на [-π, π]. Доказать, что если s_n есть n-я частная сумма Фурье функции f, то последовательность {s_n (x)} равномерно ограничена.

Указание. Воспользоваться двумя предыдущими результатами и упражнением 12 к гл. 6.

16. Доказать, что существует постоянная М, такая, что

Указание. Применить результат упражнения 15 к ряду Фурье функции

17. Пусть f - функция ограниченной вариации на [-π, π]. Доказать, что если при некотором х

то ряд Фурье функции f сходится в точке х к s.(Эта теорема принадлежит Дирихле.)

Указание. Допустим, не ограничивая общности, что s = 0, х = 0 и f - четная (для нечетной f положим s_n (f; 0) = 0 и f(0) = 0). Тогда f непрерывна в нуле. Выберем δ>0 так, чтобы полная вариация функции f на [0, δ] была мала, проинтегрируем по частям и применим упражнение 16, чтобы убедиться в малости интеграла

при всех n, а затем воспользуемся теоремой о локализации.

18. Доказать локальный вариант теоремы Фейера: если f∈ и если функция f непрерывна в точке х₀, то σ_n (f; х₀)→f(x₀) при n→#8734;.

19. Пусть а_n = n^i/_n-1, a b_n = log ⁿ/_n. Найти

20. Пусть f - функция, непрерывная на R¹, f(x + 2π) = f(x) и ^α/_π - иррациональное число. Доказать, что

при всех х.

Указание. Сначала доказать это для f(x) = e^ikx.

21. Сформулировать и доказать теорему о равномерном приближении непрерывной функции интегралами вида

которая содержала бы теоремы Вейерштрасса (7.24) и Фейера (8.15) как частные случаи.