Новости    Библиотека    Энциклопедия    Биографии    Карта сайта    Ссылки    О проекте




предыдущая главасодержаниеследующая глава

Ряды Фурье

8.9. Определение. Тригонометрическим многочленом называется конечная сумма вида

(59)


(x вещественно),

где а0, ..., aN, b1, ..., bN - комплексные числа. Учитывая тождества (46), функцию (59) можно записать в виде

(60)


(x вещественно),

который для многих целей более удобен. Ясно, что каждый тригонометрический многочлен - периодическая функция с периодом 2π.

Если π - отличное от нуля целое число, то einx - производная функции einx/in, которая тоже имеет период 2π. Поэтому

(61)


Умножим (60) на е-imх, где m - целое число; интегрируя это произведение, получим на основании (61)

(62)


при |m|≤N. Если |m|>N, то интеграл в (62) равен нулю.

Из равенств (60) и (62) видно, что тригонометрический многочлен f, заданный равенством (60), оказывается вещественным в том и только в том случае, когда c-n = сn при n = 0, ..., N.

В соответствии с (60) мы определяем тригонометрический ряд как ряд вида

(63)


(x вещественно);

N-я частная сумма ряда (63) по определению равна правой части равенства (60).

Если f - функция, интегрируемая на [-π, π], то числа сm, заданные равенством (62) для всех целых чисел m, называются коэффициентами Фурье функции f, а ряд (63), составленный при помощи этих коэффициентов,- рядом Фурье функции f. Теперь возникает естественный вопрос: сходится ли ряд Фурье функции f к f, или, более общо, определяется ли функция f своим рядом Фурье. Иначе говоря, если мы знаем коэффициенты Фурье функции, то можем ли мы найти эту функцию, и если можем, то как?

Изучение таких рядов и, в частности, проблема представления заданной функции тригонометрическим рядом, имеет своим источником такие разделы физики, как теория колебаний и теория распространения тепла (книга Фурье "Аналитическая теория теплоты" была опубликована в 1822 г.). Многочисленные трудные и тонкие проблемы, возникшие при этом изучении, вызвали основательный пересмотр и перестройку всей теории функций вещественной переменной. Многие выдающиеся имена, и среди них имена Римана, Кантора и Лебега, тесно связаны с этой областью, о которой вполне можно сказать, что в наши дни она вместе со всеми ее обобщениями и ответвлениями занимает центральное положение в анализе.

Мы ограничимся некоторыми основными теоремами, для доказательства которых достаточны методы, развитые в предшествующих главах. Для более основательного исследования естественным и необходимым средством служит интеграл Лебега.

Сначала мы изучим более общие системы функций, обладающие свойством, аналогичным (61).

8.10. Определение. Пусть {φn} (n = 1, 2, 3, ... - последовательность комплексных функций на [а, b], такая, что

(64)


Тогда {φn} называется ортогональной системой функций на [а, b]. Если, кроме того,

(65)


при всех n, то система {φn} называется ортонормальной.

Например, функции (2π)-1/2einx образуют ортонормальную систему на [-π, π]. Таковы же и вещественные функции


Если {φn} - ортонормальная система на [а, b] и если

(66)


то мы будем называть число сn n-м коэффициентом Фурье функции f относительно системы {φn}. Мы будем писать

(67)


и будем называть этот ряд рядом Фурье функции f (относительно системы {φn}).

Заметим, что, употребляя в (67) символ ~, мы ничего не предполагаем о сходимости ряда; этот символ означает только, что коэффициенты задаются равенствами (66).

Следующие теоремы показывают, что частные суммы ряда Фурье функции f обладают некоторым свойством минимальности. Мы будем предполагать здесь, как и на протяжении всей остальной части главы, что f∈, хотя это условие может быть ослаблено.

8.11. Теорема. Пусть система {φn} ортонормальна на [а, b]. Пусть

(68)


есть n-я частная сумма ряда Фурье функции f, и пусть

(69)


Тогда

(70)


и равенство имеет место тогда и только тогда, когда

(71)

γm = cm (m = 1, ..., n).

Иначе говоря, среди всех функций tn функция sn дает наилучшее среднеквадратичное приближение к функции f.

Доказательство. Пусть ∫ обозначает интеграл по сегменту [а, b], ∑ - сумму от 1 до n. Тогда


по определению {сm},


так как система {φm} ортонормальна, и поэтому


последнее выражение достигает минимума тогда и только тогда, когда γm = cm.

Если в этой выкладке считать γm = cm, то мы получим

(72)


так как ∫|f - tn|2≥0.

8.12. Теорема. Если {φn} - ортонормальная система на [а, b] и если


то

(73)


В частности,

(74) cn = 0.

Доказательство. Полагая в (72) n→∞, мы получаем неравенство (73) - так называемое "неравенство Бесселя".

Для тригонометрического ряда Фурье, т. е. для ряда (63), коэффициенты которого определяются из (62), неравенство (73) принимает вид

(75)


Впоследствии мы увидим, что на самом деле в (75) имеет место равенство.

При изучении тригонометрических рядов Фурье мы встретимся с двумя тригонометрическими многочленами:

(76)


Первый из них называют ядром Дирихле, а второй - ядром Фейера.

8.13. Теорема. При n = 0, 1, 2, ... имеем

(77)


(78)


(79)


Кроме того, Кn(х)≥0 и

(80)


(0<δ≤|x|≤π).

Доказательство. Согласно (76),

(81)

eix-1)Dn(x) = ei(n+1)x-e-inx.

Чтобы получить (77), умножим обе части равенства (81) на e-ix/2. Подставляя (81) в определение ядра Кn, получаем


откуда следует (78). Значит, Кn>0 и выполняется (80); (79) следует непосредственно из (76).

Начиная с этого места мы будем иметь дело только с тригонометрической системой. Предположим, что функция f, первоначально определенная на [-π, π], продолжена на R1 как 2π - периодическая функция*.

* (Такое продолжение невозможно, если f(-π)≠f(π), однако функция , такая, что (х) = f(х) (х∈(-π, π)) и (-π) = (π) = 0, уже может быть продолжена с периодом 2π на всю ось, а ее коэффициенты Фурье, как легко видеть, равны соответствующим коэффициентам функции f.- Прим. перев.)

Коэффициенты Фурье функции f задаются равенством (62); значит, n-я частная сумма sn ее ряда Фурье равна


Иными словами,

(82)


Вследствие периодичности всех участвующих в этом равенстве функций безразлично, по какому интервалу мы будем интегрировать, лишь бы его длина была равна 2π. Именно поэтому и равны интегралы в (82).

8.14. Теорема. Если f∈ на [-π, π] и 0<δ<π, то

(83)


Обычно это равенство называют теоремой о локализации. Оно показывает, что поведение последовательности {sn(x)}, поскольку речь идет о сходимости, зависит только от значений функции f, принимаемых в некоторой (произвольно малой) окрестности точки х. Таким образом, два ряда Фурье могут вести себя одинаково в одном интервале, а в некотором другом интервале вести себя совершенно по-разному. Мы сталкиваемся здесь с замечательным контрастом между рядами Фурье и степенными рядами (теорема 8.5).

Доказательство. Зафиксируем х, и пусть g(t) = 0 при |t|<δ,

(84)


(δ≤|t|≤π).

Согласно (77),


Оба последних интеграла стремятся к нулю при n→∞ согласно (74), так как функции g(t)cos(t/2) и g(t)sin(t/2) интегрируемы. Отсюда и следует (83).

Таким образом, изучение сходимости последовательности {sn (f; х)} сводится к изучению интеграла

(85)


при сколь угодно малом δ>0. Известны несколько достаточных условий сходимости ряда Фурье; доказательства двух из них намечены в упражнениях 9 и 17. Нельзя, очевидно, ожидать, что ряд Фурье любой функции будет сходиться к значению этой функции в любой точке. Действительно, если значения двух функций отличаются только в конечном множестве точек, то интегралы, определяющие их коэффициенты Фурье, будут одинаковыми, и, значит, такие функции имеют один и тот же ряд Фурье.

Здесь имеются трудные проблемы. Не известно даже, верно или нет следующее невинно звучащее утверждение: "для любой непрерывной функции f существует точка х, в которой ряд Фурье функции f сходится". Известно, что существуют непрерывные функции, ряд Фурье которых расходится на несчетном множестве точек. Однако положение весьма улучшается при рассмотрении вместо частных сумм sn (х) их средних арифметических

(86)


Следующая теорема принадлежит Фейеру.

8.15. Теорема. Если f непрерывна (и, конечно, периодична с периодом 2π) и если {σn} - последовательность средних арифметических частных сумм ряда Фурье функции f, то

σn(x) = f(x)

равномерно на R1.

Заметим по этому поводу, что из теоремы Стона-Вейерштрасса следует существование некоторой последовательности тригонометрических многочленов, равномерно сходящейся к f. Действительно, отождествляя точки х и х+2π, мы можем считать, что периодические функции определены на единичной окружности К. Тригонометрические многочлены, т. е. функции вида (60). образуют алгебру функций на К, удовлетворяющую предположениям теоремы 7.31.

Доказательство. Согласно (86), (82) и (76), имеем

(87)


и потому из (79) следует, что

(88)


Пусть дано ε>0. Выберем М так, что |f(х)|≤М при всех х. Ввиду того что функция f равномерно непрерывна, мы можем выбрать δ>0 так, что из |х - y|<δ следует

(89)


Согласно (80), мы можем затем выбрать N так, чтобы из n≥N и δ≤|t|≤π следовало

(90)


Из (89) следует, что

(91)


при всех n, так как Kn(t)>0, а из (90) получаем

(92)


как только n≥N. Наконец, комбинируя (88), (91) и (92), получаем


при всех х и всех n≥N. Доказательство закончено.

Заметим, что если бы мы попытались доказать то же самое для sn(x) вместо σn(х), т. е. если бы мы заменили Kn(t) ядром Dn(t), то мы столкнулись бы с интегралом

(94)


который стремится к ∞ при n→∞. (Упражнение 12.)

Именно этим свойством ядер Dn вызваны трудности, встречающиеся в теории сходимости рядов Фурье.

Следствие 1. Если две непрерывные 2π - периодические функции f и g имеют один и тот же ряд Фурье, то f(x) = g(x) при всех х.

Действительно, если σn(х) - среднее арифметическое для этого ряда Фурье, то σn(х)→f (x), σn(x)→g(x) при каждом х.

Следствие 2. Если функция f непрерывна и если


при любом целом n, то f(x) = 0 при всех х.

Это вытекает из следствия 1, если положить там g = 0.

8.16. Теорема. Пусть функции f и g непрерывны (и периодичны с периодом 2π) и

(95)


Если sn есть n-я частная сумма ряда Фурье функции f, то

(96)


(97)


(98)


Это утверждение известно как теорема Парсеваля.

Доказательство. Пусть задано число ε>0. Теорема Фейера показывает, что существует N, такое, что |f(x) - σn(x)|<ε при всех х и при всех n>N. По теореме 8.11


если n>N, и тем самым доказано (96). Далее,

(99)


и неравенство Шварца показывает, что

(100)


Произведение в фигурных скобках стремится к нулю при n→∞, согласно (96). Сравнивая (99) и (100), получаем (97). Наконец, (98) - это частный случай (f = g) равенства (97).

Условие непрерывности в этой теореме может быть значительно ослаблено. Окончательный вариант теоремы 8.16 будет дан в гл. 10.

предыдущая главасодержаниеследующая глава




ИНТЕРЕСНО:

Многомерный математический мир… в вашей голове

В школах Великобритании введут китайские учебники математики

Найдено самое длинное простое число Мерсенна, состоящее из 22 миллионов цифр

Как математик помог биологам совершить важное открытие

Математические модели помогут хирургам

Почему в математике чаще преуспевают юноши

Физики-практики откровенно не любят математику

В индийской рукописи нашли первое в истории упоминание ноля

Вавилонская глиняная табличка оказалась древнейшей «тригонометрической таблицей» в мире

Ученые рассказали о важной роли игр с пальцами в обучении детей математике
Пользовательского поиска

© Злыгостев Алексей Сергеевич, статьи, подборка материалов, оформление, разработка ПО 2001-2017
При копировании материалов проекта обязательно ставить ссылку на страницу источник:
http://mathemlib.ru/ 'MathemLib.ru: Математическая библиотека'
Рейтинг@Mail.ru