Новости    Библиотека    Энциклопедия    Биографии    Карта сайта    Ссылки    О проекте




предыдущая главасодержаниеследующая глава

Алгебраическая замкнутость поля комплексных чисел

Теперь мы в состоянии дать простое доказательство того факта, что поле комплексных чисел алгебраически замкнуто, т. е. что каждый отличный от постоянной многочлен с комплексными коэффициентами имеет комплексный корень.

8.8.Теорема. Пусть а0, ..., аn - комплексные числа, n≥1, аn≠0, Тогда существует такое комплексное число z, что P(z) = 0.

Доказательство. Не ограничивая общности, допустим, что аn = 1. Положим

(55)


(z - комплексное).

Если |z| = R, то

(56)


Правая часть неравенства (56) стремится к ∞, когда R→ ∞. Значит, существует такое R0, что |Р(z)|>μ, если |z|>R0. Ввиду того что функция |Р| непрерывна на замкнутом круге с центром в нуле радиуса R0, мы заключаем на основании теоремы 4.16, что |P(z0)| = 1 при некотором z0.

Мы утверждаем, что μ = 0.

Если это не так, то положим Тогда Q - многочлен, отличный от постоянной, Q (0) = 1 и |Q(z)|>1 при всех z. Существует наименьшее целое из всех чисел k, 1≤k≤n, таких, что

(57)

Q(z) = 1 + bkzk + ... + bnzn, bk ≠0

Обозначим это число через k.

По теореме 8.7 (d) существует вещественное θ, такое, что

(58)


Тогда если r>0. При достаточно малом r выражение в скобках положительно, значит, |Q (re)|<1, и мы пришли к противоречию. Таким образом, μ = 0, т. е. P(z0) = 0.

предыдущая главасодержаниеследующая глава




ИНТЕРЕСНО:

Зачем математики ищут простые числа с миллионами знаков?

Задача построения новых оснований математики - унивалентные основания

Многомерный математический мир… в вашей голове

В школах Великобритании введут китайские учебники математики

Найдено самое длинное простое число Мерсенна, состоящее из 22 миллионов цифр

Как математик помог биологам совершить важное открытие

Математические модели помогут хирургам

Почему в математике чаще преуспевают юноши

Физики-практики откровенно не любят математику

В индийской рукописи нашли первое в истории упоминание ноля

Вавилонская глиняная табличка оказалась древнейшей «тригонометрической таблицей» в мире

Ученые рассказали о важной роли игр с пальцами в обучении детей математике
Пользовательского поиска

© Злыгостев Алексей Сергеевич, статьи, подборка материалов, оформление, разработка ПО 2001-2018
При копировании материалов проекта обязательно ставить ссылку на страницу источник:
http://mathemlib.ru/ 'MathemLib.ru: Математическая библиотека'
Рейтинг@Mail.ru