Новости    Библиотека    Энциклопедия    Биографии    Карта сайта    Ссылки    О проекте




предыдущая главасодержаниеследующая глава

Тригонометрические функции

Положим, по определению,

(46) С(x) = 1/2[E(ix) + E(-ix)], S(x) = 1/2i[E(ix)-E(-ix)].

Мы покажем, что С(х) и S(x) совпадают с функциями cos x и sin x, определение которых обычно основывается на геометрических рассмотрениях. Согласно (25), Значит, как показывает (46), С(х) и S(x) вещественны при вещественных x. Кроме того,

(47) E(ix) = C(x) + iS(x).

Таким образом, С(х) и S(x) равны соответственно мнимой и вещественной части числа Е (ix), если x вещественно. Согласно (27),


так что

(48)


(x вещественно).

Из (46) можно усмотреть, что С(0) = 1, S(0) = 0, а (28) показывает, что

(49) С'(x)=-S(x), S'(x) = C(x).

Мы утверждаем, что существуют положительные числа x, такие, что С(x) = 0. Действительно, пусть это не так. Из того, что С(0) = 1, следует тогда, что С(x)>0 при всех x>0; значит, S'(x)>0, согласно (49), и, значит, функция S строго возрастает, а так как S(0) = 0, то S(x)>0 при x>0. Значит, если 0<x<y, то

(50)


Последнее неравенство следует из (48) и (47). Но (50) не может выполняться при больших у, так как S(x)>0, и мы получили противоречие.

Пусть x0 - наименьшее из положительных чисел x, таких, что С(x) = 0. Оно существует, так как множество нулей непрерывной функции замкнуто, а С(0)≠0. Определим число я равенством

(51) π = 2x0.

Тогда С (π/2) = 0 и, как показывает (48), S(π/2) = ±1. Но так как С(x)>0 в (0, π/2), то S возрастает в (0, π/2); значит, S(π/2) = 1. Таким образом,


и теорема сложения показывает, что

(52) E(πi) = -1, E(2πi) = 1;

значит,

(53) Е (z+2πi) = Е(z) (z - комплексное).π

8.7.Теорема. (а) Функция Е периодична с периодом 2πi.

(b) функции С и S периодичны с периодом 2π.

(c) Если 0<t<2π, то Е(it)≠1.

(d) Если z - комплексное число, a |z| = 1, то существует единственное число t∈[0, 2π), такое, что Е(it) = z.

Доказательство. Утверждение (а) следует из (53), а утверждение (b) следует из (а) и (46).

Пусть 0<t<π/2, а E(it) = x+iy, где x и у вещественны. Сделанное нами ранее показывает, что 0<x<1, 0<y<1. Заметим, что


Если Е(4it) вещественно, то х22 = 0, а так как, согласно (48), x2+y2 = 1, то х2 = y2 = 1/2 , значит, Е(4it) = -1. Тем самым (с) доказано.

Если 0≤t1<t2<2π, то


согласно (с). Тем самым доказано утверждение о единственности, содержащееся в (d).

Пусть z1 = x1 + iy1, х12 + у12 = 1, x1≥0, y1≥0. На [0, π/2] функция С убывает от 1 до 0; значит, C(t1) = x1 при некотором t1 на [0, π/2]. Из того, что C2 + S2 = 1, a S≥0 на [0, π/2], следует, что z1 = E (it1).

Наконец, допустим, что Положим z1 = -iz, если x<0, у≥0. Положим z1 = -z, если x<0, у<0. Положим z1 = iz, если x≥0, y<0. Тогда z1 удовлетворяет предположениям предыдущего абзаца, а так как i = E(πi/2), то мы видим, что z = E(i(t1+π/2)) или Е(i(t1 + π)) или E(i(t1 + /2)), в зависимости от того, какой из трех случаев рассматривается. Тем самым доказано утверждение (d), а с ним вся теорема.

Из (d) и (48) следует, что кривая γ, определенная равенством

(54) γ(t) = E(it) (0≤t≤2π),

- простая замкнутая кривая, множество значений которой - единичная окружность на плоскости. Длина кривой по теореме 6.35 равна


так как γ'(t) = iE(it). Такого результата, конечно, и следовало ожидать для окружности радиуса 1; он показывает, что π, определенное в (51), имеет обычный геометрический смысл.

Таким же точно образом мы увидим что при возрастании t от 0 до t0 точка γ(t) описывает дугу, лежащую на окружности и имеющую длину t0. Рассмотрение треугольника с вершинами

z1 = 0, z2 = γ(t0), z3 = C(t0)

показывает, что С(t) и S(t) на самом деле совпадают с cos t и sin t, если эти последние определены обычным способом как отношения сторон прямоугольного треугольника.

Следует подчеркнуть, что мы вывели основные свойства тригонометрических функций из (46) и (25), не привлекая геометрического понятия угла.

предыдущая главасодержаниеследующая глава




ИНТЕРЕСНО:

Зачем математики ищут простые числа с миллионами знаков?

Задача построения новых оснований математики - унивалентные основания

Многомерный математический мир… в вашей голове

В школах Великобритании введут китайские учебники математики

Найдено самое длинное простое число Мерсенна, состоящее из 22 миллионов цифр

Как математик помог биологам совершить важное открытие

Математические модели помогут хирургам

Почему в математике чаще преуспевают юноши

Физики-практики откровенно не любят математику

В индийской рукописи нашли первое в истории упоминание ноля

Вавилонская глиняная табличка оказалась древнейшей «тригонометрической таблицей» в мире

Ученые рассказали о важной роли игр с пальцами в обучении детей математике
Пользовательского поиска

© Злыгостев Алексей Сергеевич, статьи, подборка материалов, оформление, разработка ПО 2001-2018
При копировании материалов проекта обязательно ставить ссылку на страницу источник:
http://mathemlib.ru/ 'MathemLib.ru: Математическая библиотека'
Рейтинг@Mail.ru