Новости    Библиотека    Энциклопедия    Биографии    Карта сайта    Ссылки    О проекте




предыдущая главасодержаниеследующая глава

Показательная и логарифмическая функции

Положим, по определению,

(25)


Признак Даламбера показывает, что этот ряд сходится при каждом комплексном z. Применяя теорему 3.50 об умножении абсолютно сходящихся рядов, получаем


откуда вытекает важная теорема сложения

(26) Е (z+w) = E(z)E(w) (z, w комплексные).

Одно из ее следствий таково:

(27) Е(z)Е(- z) = E(z - z) = E(0) = 1 (z комплексное).

Это показывает, что Е(z)≠ при всех z. Согласно (25), Е(х)>0, если х>0; (27) показывает, что Е(х)>0 при всех вещественных х. В силу (25), Е(х)→+∞ при х→+∞, а (27) показывает, что Е(х)→0 при x→-∞ вдоль вещественной оси. В силу (25), из 0<x<y следует, что Е(х)<Е(у); из (27) следует Е(-у)<Е(-х); значит, функция Е строго возрастает на всей вещественной оси.

Теорема сложения показывает также, что

(28)


последнее равенство следует прямо из (25). Повторяя (26), получаем

(29)

E(z1 + ... + zn) = E(z1)...E(zn);

Положим здесь z1 = ...= zn = 1. Поскольку Е(1) = е, где е - число, введенное в определении 3.30, то мы получаем

(30)

E(n) = en (n = 1, 2, 3, ...).

Если р = n/m, где n, m - положительные целые числа, то

(31)


так что

(32) E(p) ep (р>0, р - рационально).

Из (27) следует, что Е(-р) = е, где р - положительное и рациональное. Таким образом, (32) выполняется при всех рациональных р.

В упражнении 7 к гл. 1 мы предложили такое определение:

(33)

xy = sup xp,

где верхняя грань берется по всем рациональным р, таким что p<y для любого вещественного у и х>1. Если&мы таким образом определим при любом вещественном х

(34) ex = sup ep (p<x, p - рационально),

то из непрерывности и монотонности функции E, а также из равенства (32) получится

(35)

Е(х) = ех

при всех вещественных х. Равенство (35) объясняет, почему функцию Е называют показательной.

На самом деле вместо (34) вполне можно воспользоваться равенством (35) для определения ех; равенство (35) - гораздо более удобная отправная точка для исследования свойств функции ех. Сейчас мы увидим, что и (33) можно заменить более удобным определением (см. (43)).

Вернемся к обычному обозначению ех вместо Е(x) и подытожим то, что было доказано до сих пор.

8.6.Теорема. Пусть ех определяется на R1 равенствами (35) и (25). Тогда

(a) функция ех непрерывна и дифференцируема в любой вещественной точке;

(b) (ех)' = ех;

(c) ех - строго возрастающая функция и ех>0;

(d) ex+y = exey;

(e) ех→+∞ при х→+∞, ех→0 при х→-∞;

(f) xne-x = 0 при любом n.

Мы уже доказали все утверждения от (а) до (е); (25) показывает, что


при x>0, так что


откуда и следует (f). Утверждение (f) означает, что ех стремится к +∞ при x→+∞ "быстрее", чем любая степень х.

Функция Е, будучи строго возрастающей и дифференцируемой на R1, имеет обратную функцию L, которая тоже строго возрастает и дифференцируема и область определения которой совпадает с Е(R1), т. е. с множеством всех положительных чисел. Функция L определяется из равенства

(36) E(L(y)) = y (y>0)

или из равенства

(37) L(E(x)) = x (x -вещественно).

Дифференцируя (37), получаем (ср. с теоремой 5.5)

L'(E(x))*E(x) = 1.

Записывая у = Е(х), имеем

(38)


(y>0).

Полагая в (37) x = 0, мы видим, что L(1) = 0. Значит, из (38) следует

(39)


Очень часто равенство (39) принимают за отправную точку в теории логарифма и показательной функции. Полагая u = Е(х), v = E(y), получаем из (26)

L(uv) = L(E(x)*E(y)) = L(E(x + y)) = x + y,

так что

(40) L(uv) = L(u) + L(v) (u>0, v>0).

Это показывает, что L обладает известным свойством, которое делает логарифмы средством, полезным для вычислений. Обычное обозначение для L(x), конечно, log x.

Что касается поведения функции log x при x→+ ∞ и при x→0, то теорема 8.6 (е) показывает, что

log x→+ ∞ при x→+ ∞, log x→+-∞ при x→0.

Легко видеть, что

(41) хn = Е(nL(х)),

если x>0, а n - целое. Подобным же образом, если m - положительное целое, то

(42)


так как каждая из частей равенства (42) после возведения в m-ю степень превращается в соответствующую часть равенства (37). Объединяя (41) и (42), получаем

(43)

xα = E(αL(x)) = eαlogx

при любом рациональном α.

Определим теперь xα при любом вещественном α и любом x>0 равенством (43). Непрерывность и монотонность функций Е и L показывают, что это определение приводит к тому же результату, что предложенное ранее. Утверждения, сформулированные в упражнениях с 4-го по 7-е гл. 1-тривиальные следствия равенства (43).

Продифференцировав (43), получаем, по теореме 5.5,

(44)


Заметим, что раньше мы использовали (44) только для целых значений α, а в этом случае (44) легко следует из теоремы 5.3 (b).

Доказать равенство (44), исходя непосредственно из определения производной, если xα определено, как в (33), весьма затруднительно.

Хорошо известная формула интегрирования для хα следует из (44), если α≠-1, и из (38), если α = -1. Мы хотим доказать еще одно свойство функции log x, а именно

(45)


при каждом α>0. Иначе говоря, log x→+∞ при x→+∞ "медленнее", чем любая положительная степень x.

Действительно, если 0<ε<α, а x>1, то


откуда и следует (45). Мы могли бы также воспользоваться теоремой 8.6 (f) для вывода равенства (45).

предыдущая главасодержаниеследующая глава




ИНТЕРЕСНО:

Многомерный математический мир… в вашей голове

В школах Великобритании введут китайские учебники математики

Найдено самое длинное простое число Мерсенна, состоящее из 22 миллионов цифр

Как математик помог биологам совершить важное открытие

Математические модели помогут хирургам

Почему в математике чаще преуспевают юноши

Физики-практики откровенно не любят математику

В индийской рукописи нашли первое в истории упоминание ноля

Вавилонская глиняная табличка оказалась древнейшей «тригонометрической таблицей» в мире

Ученые рассказали о важной роли игр с пальцами в обучении детей математике
Пользовательского поиска

© Злыгостев Алексей Сергеевич, статьи, подборка материалов, оформление, разработка ПО 2001-2017
При копировании материалов проекта обязательно ставить ссылку на страницу источник:
http://mathemlib.ru/ 'MathemLib.ru: Математическая библиотека'
Рейтинг@Mail.ru