Равномерная сходимость и дифференцирование

Мы уже видели в примере 7.5, что из равномерной сходимости последовательности {f_n} не следует даже поточечной сходимости последовательности {f_n}. Таким образом, нужны более сильные предположения, чтобы заключить, что f'_n→f' при f_n→f.

7.17. Теорема. Пусть {f_n} - последовательность дифференцируемых функций на [а, b], такая, что последовательность {f_n(x₀)} сходится при некотором х₀∈[а, b]. Если последовательность {f_n} сходится равномерно на [а, b], то и последовательность {f_n} сходится равномерно на [а, b] к некоторой функции f, причем

(37) f'(x) = f'_n(x) (a≤x≤b).

Доказательство. Пусть ε&362;0. Выберем такое N, что из n≥N, m≥N следует

(38)

и

(39)

(a≤t≤b).

Если мы применим теорему 5.20 о среднем значении к функции f_n-f_m, то, как показывает (39), мы получим

(40)

при любых х и t из [а, b] для n≥N, m≥N. Из неравенства

следует, в силу (38) и (40), что

а потому {f_n} сходится равномерно на [a, b]. Пусть f(x) = f_n(x) (a≤x≤b).

Зафиксируем точку х сегмента [a, b] и положим

(41)

при a≤t≤b, t≠x. Тогда

(42)

Первое неравенство в (40) показывает, что

(n≥N, m≥N),

поэтому {φ_n} сходится равномерно при t≠x. Поскольку {f_n} сходится к f, то, в силу (41),

(43)

φ_n(t) = φ(t)

равномерно на множестве всех t, таких, что а≤t≤b, t≠x.

Применяя к последовательности {φ_n} теорему 7.11, заключаем на основании (42) и (43), что

а это, в силу определения функции φ(t), и есть (37).

Замечание. Если дополнительно предположить, что функции f'_n непрерывны, то можно получить гораздо более короткое доказательство равенства (37), опирающееся на теорему 7.14 и на основную теорему интегрального исчисления.

7.18. Теорема. Существует вещественная непрерывная на вещественной прямой функция, которая нигде не дифференцируема.

Доказательство. Положим

(44)

и доопределим φ(х) для всех остальных вещественных х, полагая

Тогда функция φ непрерывна на R¹. Пусть

(45)

Поскольку 0≤φ≤1, то, как показывает теорема 7.10, ряд (45) сходится равномерно на R¹, так что функция f непрерывна на R¹ по теореме 7.12.

Зафиксируем теперь вещественное число х и положительное целое m. Существует целое k, такое, что

(46)

Положим

(47)

и рассмотрим числа 4ⁿβ_m и 4ⁿα_m. Если n>m, то их разность - четное целое; если n = m, то они целые, а их разность равна 1; если n<m, то между ними не лежит ни одно целое число. Значит,

(48)

Согласно (45) и (48),

следовательно,

или

(49)

Теорема 5.19 и неравенство (49) показывают, что функция f не дифференцируема в точке х, так как α_m≤x≤β_m и β_m-α_m→0 при m→∞.