Новости    Библиотека    Энциклопедия    Биографии    Карта сайта    Ссылки    О проекте




предыдущая главасодержаниеследующая глава

Равномерная сходимость и дифференцирование

Мы уже видели в примере 7.5, что из равномерной сходимости последовательности {fn} не следует даже поточечной сходимости последовательности {fn}. Таким образом, нужны более сильные предположения, чтобы заключить, что f'n→f' при fn→f.

7.17. Теорема. Пусть {fn} - последовательность дифференцируемых функций на [а, b], такая, что последовательность {fn(x0)} сходится при некотором х0∈[а, b]. Если последовательность {fn} сходится равномерно на [а, b], то и последовательность {fn} сходится равномерно на [а, b] к некоторой функции f, причем

(37) f'(x) = f'n(x) (a≤x≤b).

Доказательство. Пусть ε&362;0. Выберем такое N, что из n≥N, m≥N следует

(38)


и

(39)


(a≤t≤b).

Если мы применим теорему 5.20 о среднем значении к функции fn-fm, то, как показывает (39), мы получим

(40)


при любых х и t из [а, b] для n≥N, m≥N. Из неравенства


следует, в силу (38) и (40), что


а потому {fn} сходится равномерно на [a, b]. Пусть f(x) = fn(x) (a≤x≤b).

Зафиксируем точку х сегмента [a, b] и положим

(41)



при a≤t≤b, t≠x. Тогда

(42)


Первое неравенство в (40) показывает, что


(n≥N, m≥N),

поэтому {φn} сходится равномерно при t≠x. Поскольку {fn} сходится к f, то, в силу (41),

(43)

φn(t) = φ(t)

равномерно на множестве всех t, таких, что а≤t≤b, t≠x.

Применяя к последовательности {φn} теорему 7.11, заключаем на основании (42) и (43), что

а это, в силу определения функции φ(t), и есть (37).

Замечание. Если дополнительно предположить, что функции f'n непрерывны, то можно получить гораздо более короткое доказательство равенства (37), опирающееся на теорему 7.14 и на основную теорему интегрального исчисления.

7.18. Теорема. Существует вещественная непрерывная на вещественной прямой функция, которая нигде не дифференцируема.

Доказательство. Положим

(44)


и доопределим φ(х) для всех остальных вещественных х, полагая

φ(х + 2) = φ(х).

Тогда функция φ непрерывна на R1. Пусть

(45)


Поскольку 0≤φ≤1, то, как показывает теорема 7.10, ряд (45) сходится равномерно на R1, так что функция f непрерывна на R1 по теореме 7.12.

Зафиксируем теперь вещественное число х и положительное целое m. Существует целое k, такое, что

(46)

k≤4mx&38804;k+1.

Положим

(47)

αm = 4-mk, βm = 4-m(k+1).

и рассмотрим числа 4nβm и 4nαm. Если n>m, то их разность - четное целое; если n = m, то они целые, а их разность равна 1; если n<m, то между ними не лежит ни одно целое число. Значит,

(48)


Согласно (45) и (48),


следовательно,


или

(49)


Теорема 5.19 и неравенство (49) показывают, что функция f не дифференцируема в точке х, так как αm≤x≤βm и βmm→0 при m→∞.

предыдущая главасодержаниеследующая глава




ИНТЕРЕСНО:

Петер Шольц - самый молодым лауреат Филдсовской премии

Кашер Биркар - беженец из Ирана - стал лауреатом Филдсовской премии

Эмми Нётер — была великой женщиной и при этом величайшей женщиной-математиком

Зачем математики ищут простые числа с миллионами знаков?

Задача построения новых оснований математики - унивалентные основания

Многомерный математический мир… в вашей голове

В школах Великобритании введут китайские учебники математики

Найдено самое длинное простое число Мерсенна, состоящее из 22 миллионов цифр

Как математик помог биологам совершить важное открытие

Математические модели помогут хирургам

Почему в математике чаще преуспевают юноши

Физики-практики откровенно не любят математику

В индийской рукописи нашли первое в истории упоминание ноля

Вавилонская глиняная табличка оказалась древнейшей «тригонометрической таблицей» в мире

Ученые рассказали о важной роли игр с пальцами в обучении детей математике
Пользовательского поиска

© Злыгостев Алексей Сергеевич, статьи, подборка материалов, оформление, разработка ПО 2001-2018
При копировании материалов проекта обязательно ставить ссылку на страницу источник:
http://mathemlib.ru/ 'MathemLib.ru: Математическая библиотека'
Рейтинг@Mail.ru