Новости    Библиотека    Энциклопедия    Биографии    Карта сайта    Ссылки    О проекте




предыдущая главасодержаниеследующая глава

Равномерная сходимость и непрерывность

7.11. Теорема. Пусть fn→f равномерно на подмножестве Е некоторого метрического пространства. Пусть х - предельная точка множества Е, и пусть

(15)


(n = 1, 2, 3, ...).

Тогда последовательность {An} сходится и

(16)


Иными словами, в данном случае

(17)


Доказательство. Пусть ε>0. В силу равномерной сходимости последовательности {fn}, существует такое N, что из n≥N, m≥N, t∈E следует неравенство

(18)


Полагая в (18) t→x, получаем


при n≥N, m≥N, так что {Аn} - последовательность Коши, и потому сходится. Обозначим ее предел через А.

Далее,

(19)


Выберем сначала n так, что

(20)


при всех t∈E (это возможно в силу равномерной сходимости) и что

(21)


Затем для этого n мы подберем такую окрестность V точки х, что из t∈V, t≠x следует

(22)


Подставляя неравенства (20), (21) и (22) в (19), мы получим


для всех t∈V, t≠x. Но это равносильно равенству (16).

7.12. Теорема. Если {fn} - последовательность функций, непрерывных на множестве Е, и если fn→f равномерно на Е, то и функция f непрерывна на множестве Е.

Этот очень важный результат сразу следует из теоремы 7.11.

Обратное неверно, т. е. последовательность непрерывных функций может неравномерно сходиться к непрерывной функции. Соответствующий пример дает последовательность (10) из п. 7.6 (для того чтобы убедиться в том, что эта последовательность сходится неравномерно, достаточно применить теорему 7.9). Тем не менее в некоторых случаях можно утверждать обратное. В частности, имеет место следующая теорема.

7.13. Теорема. Пусть множество Е компактно. Пусть {fn} - последовательность функций, непрерывных на Е, сходящаяся к непрерывной функции f на Е. Если fn(x)≥fn+1(x) при n = 1, 2, 3, ... и при любом х∈Е, то fn→f равномерно на Е.

Доказательство. Положим gn(x) = fn(x) - f(x). Тогда gn - непрерывная функция, gn→0 и gn≥gn+1. Мы должны доказать, что gn→0 равномерно на Е.

Пусть ε>0. При любом х∈Е существует целое число nх, такое, что


В силу непрерывности функций gn и монотонности последовательности {gn} существует открытое множество J(x), содержащее точку х и такое, что

(23)

0≤gn(t)≤ε,

если t∈J(x) и n≥nх.

Поскольку Е - компактное множество, существует конечное множество точек х1, ..., хm, таких, что

(24)

E⊂J(x1)⊍...⊍J(xm).

Полагая

N = max (nx1, nx2, ..., nxm)

на основании (23) и (24) мы заключаем, что

0≤gn(t)≤ε

при всех t∈Е, если n≥N. Тем самым доказано, что сходимость равномерна.

Отметим, что компактность здесь существенна. Например, если

(25)


(0<x<1, n = 1, 2, 3, ...),

то fn(х)→0 монотонно на (0, 1), но сходимость неравномерна.

предыдущая главасодержаниеследующая глава




ИНТЕРЕСНО:

Зачем математики ищут простые числа с миллионами знаков?

Задача построения новых оснований математики - унивалентные основания

Многомерный математический мир… в вашей голове

В школах Великобритании введут китайские учебники математики

Найдено самое длинное простое число Мерсенна, состоящее из 22 миллионов цифр

Как математик помог биологам совершить важное открытие

Математические модели помогут хирургам

Почему в математике чаще преуспевают юноши

Физики-практики откровенно не любят математику

В индийской рукописи нашли первое в истории упоминание ноля

Вавилонская глиняная табличка оказалась древнейшей «тригонометрической таблицей» в мире

Ученые рассказали о важной роли игр с пальцами в обучении детей математике
Пользовательского поиска

© Злыгостев Алексей Сергеевич, статьи, подборка материалов, оформление, разработка ПО 2001-2018
При копировании материалов проекта обязательно ставить ссылку на страницу источник:
http://mathemlib.ru/ 'MathemLib.ru: Математическая библиотека'
Рейтинг@Mail.ru