Новости    Библиотека    Энциклопедия    Биографии    Карта сайта    Ссылки    О проекте




предыдущая главасодержаниеследующая глава

Вводные замечания

7.1. Определение. Пусть {fn}, n = 1, 2, 3, ... - последовательность функций, определенных на множестве Е, и пусть последовательность чисел {fn(x)} сходится при каждом х∈Е. Тогда мы можем определить функцию f, полагая

(1)


(x∈E).

В подобных случаях мы будем говорить, что последовательность {fn} сходится на множестве Е и что f - предел, или предельная функция, последовательности {fn}. Иногда мы будем говорить, что последовательность {fn} сходится к функции f поточечно на множестве Е, если выполнено условие (1). Аналогично, если ряд ∑ fn(х) сходится при любом х∈Е, то мы полагаем, по определению,

(2)


(x∈E).

причем функция f называется суммой ряда ∑fn.

Главная из возникающих в связи с этими определениями проблем такова: выяснить, сохраняются ли важнейшие свойства функций при выполнении предельных операций (1) и (2). Например, если функции fn непрерывны, или дифференцируемы, или интегрируемы, то верно ли то же самое в отношении предельной функции? Каковы соотношения между, скажем, f'n и f' или между интегралами от fn и от f?

Непрерывность функции f в точке х означает, что


Значит, спросить, будет ли предел последовательности непрерывных функций непрерывной функцией, это все равно, что спросить, верно ли равенство


т. е. важен ли порядок, в котором осуществляются предельные переходы. В левой части равенства (3) мы сначала устремляем n к ∞ , затем t к х; в правой части -сначала t→x, а затем n→∞ .

Мы покажем сейчас на примерах, что, вообще говоря, два предельных перехода нельзя переставить без того, чтобы это не повлияло на результат. Затем мы докажем, что при некоторых условиях порядок, в котором выполняются операции предельного перехода, не имеет значения.

Наш первый и простейший пример связан с "двойной последовательностью".

7.2. Пример. Для m = 1, 2, 3, ..., n = 1, 2,3, ... положим


Тогда при каждом фиксированном n


так что

(4)


С другой стороны, при каждом фиксированном m


так что

(5)


7.3. Пример. Пусть

(х вещественно, n = 0, 1, 2, ...),

и пусть

(6)


Так как fn(0) = 0, то и f(0) = 0. Ряд (6) представляет сумму геометрической прогрессии, и при х≠0 эта сумма равна 1+x2. Значит,


так что сходящийся ряд, составленный из непрерывных функций, может иметь разрывную сумму.

7.4. Пример. При m = 1, 2, 3, ... положим


Если m! x - целое число, то fm(x) = 1. Для всех остальных значений х имеем fm(x) = 0. Теперь положим


Если х - иррациональное число, то fm(x) = 0 при всех m, значит, f(x) = 0. Если x - рациональное число, скажем, x = p/q, то при m≥q произведение m! х - целое число, так что f(x) = 1. Значит,


Таким образом, мы получили всюду разрывную предельную функцию, которая не интегрируема по Риману (упражнение 7, гл. 6).

7.5. Пример. Пусть

(9)


(x вещественно, n = 1, 2, 3, ...)

и


Тогда f'(x) = 0, но


так что {f'n} не сходится к f'. Например,


при n→∞, тогда как f'(0) = 0.

7.6. Пример. Пусть

(10)

fn(x) = n2x(1-x2)n (0≤x≤1, n 1, 2, 3, ...).

Если 0⊾х≤1, то


по теореме 3.20 (d). Ввиду того что fn(0) = 0 при всяком n,

(11)


(0≤x≤1).

Простое вычисление показывает, что


Таким образом, несмотря на (11),


Если в (10) заменить коэффициент n2 на n, то (11) все еще выполняется, но теперь


тогда как


Таким образом, предел интеграла не обязан совпадать с интегралом от предела даже тогда, когда оба эти предела конечны.

После этих примеров, показывающих, что беззаботная перестановка порядка предельных переходов может привести к ошибке, мы определим новый вид сходимости, более сильный, чем поточечная сходимость, описанная в определении 7.1. Этот новый вид сходимости позволит нам прийти к положительным результатам.

предыдущая главасодержаниеследующая глава




ИНТЕРЕСНО:

Зачем математики ищут простые числа с миллионами знаков?

Задача построения новых оснований математики - унивалентные основания

Многомерный математический мир… в вашей голове

В школах Великобритании введут китайские учебники математики

Найдено самое длинное простое число Мерсенна, состоящее из 22 миллионов цифр

Как математик помог биологам совершить важное открытие

Математические модели помогут хирургам

Почему в математике чаще преуспевают юноши

Физики-практики откровенно не любят математику

В индийской рукописи нашли первое в истории упоминание ноля

Вавилонская глиняная табличка оказалась древнейшей «тригонометрической таблицей» в мире

Ученые рассказали о важной роли игр с пальцами в обучении детей математике
Пользовательского поиска

© Злыгостев Алексей Сергеевич, статьи, подборка материалов, оформление, разработка ПО 2001-2018
При копировании материалов проекта обязательно ставить ссылку на страницу источник:
http://mathemlib.ru/ 'MathemLib.ru: Математическая библиотека'
Рейтинг@Mail.ru