Новости    Библиотека    Энциклопедия    Биографии    Карта сайта    Ссылки    О проекте




предыдущая главасодержаниеследующая глава

Упражнения

1. Пусть функция α возрастает на [а, b], а≤x0≤b, α непрерывна в точке х0, f(x0) = 1 и f(х) = 0, если х≠х0. Доказать, что f∈(α) и fdα = 0.

2. Пусть f≥0, непрерывна на [а, b] и f(x) dx = 0. Доказать, что f(x) = 0 при всех x∈[a, b] (ср. с упражнением 1).

3. Определим три функции β1, β2, β3 следующим образом: βj(х) = 0, если x<0, βj(x) = 1, если х>0 при j = 1, 2, 3; β1(0) = 0, β2(0) = 1, β3(0) = 1/2. Пусть f - ограниченная функция на [-1, 1].

(а) Доказать, что f∈1) тогда и только тогда, когда f (0+) = f(0), и что в этом случае

(b) Сформулировать и доказать аналогичный результат для β2.

(c) Доказать, что f∈3) тогда и только тогда, когда f непрерывна в точке 0.

(d) Пусть f непрерывна в точке 0. Доказать, что


4. Используя обозначения упражнения 3, доказать, что β21), несмотря на то что lim S(P, β2, β1) при μ(P)→0 не существует.

5. Пусть {хn} - последовательность различных точек интервала (0, 1), и пусть cn>0, ∑ cn<+ ∞. Положим


где функция β1 определена так же, как в упражнении 3. Пусть f непрерывна на (0, 1). Доказать, что


Указание. Положим α2 = α-α1. Согласно упражнению 3, Кроме того, где

6. Пусть f отображает сегмент [а, b] в пространство Rk, причем f - функция ограниченной вариации. Доказать, что функция vf непрерывна в точке х∈[а, b] тогда и только тогда, когда функция f непрерывна в этой точке.

7. Пусть f(x) = 0 при всех иррациональных х, f(х) = 1 при всех рациональных х. Доказать, что f∉ на [а, b] при любых а, b, таких, что а<b.

8. Показать, что


где [x] - наибольшее из целых чисел, не превосходящих х (см. определение в упражнении 2 гл. 4).

9. Вычислить функции положительной, отрицательной и полной вариации функций

(a) f(x) = 3x2-2x3 (-2≤x≤2),

(b) f(x) = [x]-x (0≤x≤2).

10. Пусть f - вещественная функция ограниченной вариации на [a, b], р и q - функции положительной и отрицательной вариации функции f, p1 и q1 - возрастающие функции на [a, b] и f = p1-q1. Тогда V(p)≤V(p1) и V(q)≤V(q1), где V обозначает полную вариацию на [а, b].

11. Пусть g∈ на [а, b]. Положим


и g+(t) = max (g(t), 0), g-(t)= - min(g(t), 0). Доказать, что f - функция ограниченной вариации на [а, b] и что ее функции вариации задаются равенствами




12. Пусть f - функция ограниченной вариации на сегменте (0, 2π] и f(2π) = f(0). Доказать, что каждый из интегралов



нe превосходит V(f)/n по абсолютной величине.

Указание. Проверить, что


13. Пусть γ1, γ2, γ3 - кривые в комплексной плоскости, определенные на [0, 2π) равенствами




Показать, что эти три кривые имеют одно и то же множество значений, что γ1 и γ2 спрямляемы, что длина кривой γ1 равна 2π, длина кривой γ2 равна 4π, а кривая γ3 не спрямляема.

14. Пусть γ1 - кривая в Rk, заданная на [а, b]; пусть φ - непрерывное взаимно однозначное отображение сегмента [с, d] на сегмент [а, b], такое, что φ(с) = а. Положим, по определению, γ2(s) = γ1(φ(s)). Доказать, что дуга γ2 - простая замкнутая спрямляемая кривая тогда и только тогда, когда то же самое верно в отношении γ1. Доказать, что γ2 и γ1 имеют одну и ту же длину.

15. Пусть α возрастает на [а, b], f и g - комплексные функции, причем f∈(α), g∈(α) на [а, b]. Доказать неравенство Шварца


Указание. Следовать доказательству теоремы 1.62. Вывести аналогичный результат, предполагая только, что α - функция ограниченной вариации.

16. Если f∈ [a, b] для любого b>а и фиксированного α, то положим


если этот предел существует; в этом случае мы будем говорить, что интеграл сходится.

Доказать так называемый "интегральный признак" сходимости рядов: если f(x)≥0 и f монотонно убывает при x≥1, то


сходится в том и только в том случае, когда сходится ряд


17. Пусть функции f и g непрерывны на [а, b] и α - функция ограниченной вариации на [а, b]. Положим


Доказать, что


(a≤x≤b).

18. Если γ - спрямляемая кривая в комплексной плоскости, заданная на [0, 1], и если f - комплексная непрерывная функция, заданная на множестве значений кривой γ, то положим, по определению,


Пусть γ(0) = A, γ(1) = В. Доказать, что


(n = 0, 1, 2, 3, ...).

Указание. Рассмотреть случай A = 0. При n = 0 результат тривиален. Допустим, что он верен при некотором n. Положим f = γn, g = γ, α = γ и определим β, как в упражнении 17. По предположению индукции,


Применить упражнение 17 и проинтегрировать по частям.

19. Положим


(a) Доказать, что при х>0.

Указание. Положить t2 = u и воспользоваться второй теоремой о среднем значении.

(b) Найти верхний и нижний пределы функции xf(x) при х→ ∞.

предыдущая главасодержаниеследующая глава




ИНТЕРЕСНО:

Петер Шольц - самый молодым лауреат Филдсовской премии

Кашер Биркар - беженец из Ирана - стал лауреатом Филдсовской премии

Эмми Нётер — была великой женщиной и при этом величайшей женщиной-математиком

Зачем математики ищут простые числа с миллионами знаков?

Задача построения новых оснований математики - унивалентные основания

Многомерный математический мир… в вашей голове

В школах Великобритании введут китайские учебники математики

Найдено самое длинное простое число Мерсенна, состоящее из 22 миллионов цифр

Как математик помог биологам совершить важное открытие

Математические модели помогут хирургам

Почему в математике чаще преуспевают юноши

Физики-практики откровенно не любят математику

В индийской рукописи нашли первое в истории упоминание ноля

Вавилонская глиняная табличка оказалась древнейшей «тригонометрической таблицей» в мире

Ученые рассказали о важной роли игр с пальцами в обучении детей математике
Пользовательского поиска

© Злыгостев Алексей Сергеевич, статьи, подборка материалов, оформление, разработка ПО 2001-2018
При копировании материалов проекта обязательно ставить ссылку на страницу источник:
http://mathemlib.ru/ 'MathemLib.ru: Математическая библиотека'
Рейтинг@Mail.ru