Новости    Библиотека    Энциклопедия    Биографии    Карта сайта    Ссылки    О проекте




предыдущая главасодержаниеследующая глава

Дальнейшие теоремы об интегрировании

6.28. Определение. Теперь мы обратимся к интегрированию относительно любой функции ограниченной вариации, а не только относительно монотонной функции. Если α - вещественная функция ограниченной вариации на [а, b] и если α = β-γ, где β и γ - возрастающие функции, то естественное определение таково:

(47)


если только оба интеграла справа существуют в том смысле, в каком они были определены ранее.

Если α = β11 - другое разложение функции а в разность возрастающих функций, то β+γ1 = β1+γ, и поэтому [см. теорему 6.10 (е)]

(48)


Отсюда следует, что интеграл fdα, определенный в (47), не зависит от выбора разложения функции α, если только f принадлежит множествам (β) 1), (γ) и 1).

Поэтому в дальнейшем в этой главе мы будем рассматривать лишь два случая, когда все интересующие нас интегралы автоматически существуют:

(a) функция f непрерывна, функция α - ограниченной вариации;

(b) функции f и α - ограниченной вариации и α непрерывна.

В случае (а) мы сошлемся на теорему 6.8. В случае (b) условимся представлять α в виде разности только непрерывных монотонных функций [это можно сделать, согласно следствию 1 из теоремы 6.27]; разлагая f в разность монотонных функций, мы сошлемся на теорему 6.9.

Заметим, кроме того, что в обоих случаях теорема 6.14 применима в полном объеме.

Теперь мы могли бы, конечно, распространить это определение на векторнозначные функции f. Однако более интересным представляется другое обобщение, которое применяется в теории аналитических функций. Это обобщение получится, если обе функции f и α считать комплексиозначными.

Если f = f1+if2, α = α1+iα2, где f1, f2, α1, α2 - вещественные функции на [a, b], и если выполняется условие (а) или (b), то мы положим

(49)


Четыре интеграла, стоящие в правой части этого равенства, были определены в (47).

Обычные свойства аддитивности [теоремы 6.10 (а), (с), (е)] в этой ситуации легко проверяются. Рассмотрим теперь аналог теоремы 6.12 (b) [см. также теорему 6.20] для комплексных α.

6.29. Теорема. Пусть f и α - комплексные функции на [а, b], удовлетворяющие условиям (а) или (b) определения 6.28. Пусть v - функция полной вариации функции α на [а, b]. Тогда

(50)


Следствие.


Доказательство. Если выполнено (а), то функция |f| непрерывна. Если выполнено (b), то непрерывна функция v (теорема 6.26), а так как f - функция ограниченной вариации, то такова и функция |f|. Значит, второй интеграл в (50) существует в обоих случаях.

Для любого разбиения Р = {х0, x1, ..., хn} сегмента [a, b] имеем

(51)


если xi-1i≤xi при 1̤i≤n. При μ(Р)→0 первая сумма в (51) стремится к fdα, а последняя - к |f|dv по теореме 6.14. Тем самым неравенство (50) доказано.

6.30. Теорема. Пусть f и α - комплексные функции ограниченной вариации на [а, b], а функция f, кроме того, непрерывна. Тогда

(52)


Замечание. По аналогии с приемом суммирования по частям равенство (52) называют формулой интегрирования по частям. Часто оказывается удобным рассматривать αdf вместо fdα.

Доказательство. Выберем какое-нибудь разбиение Р = = {х0, х1, ...,хn) сегмента [а, b]. Выберем t1, ..., tn так, что xi-1≤ti≤xi, положим t0 = a, tn+1 = b, и пусть Q - разбиение {t0, t1, ..., tn+1} сегмента [а, b]. Тогда, суммируя по частям, получим


так как ti-1≤xi-1≤ti. Если μ(P)→0, то и μ(Q)→0, и теорема 6.14 показывает, что S(P, f, α)→ fdα, S(Q, α, f)→ αdf. Отсюда следует равенство (52).

Замечание. Если функция f непрерывна, а α-функция ограниченной вариации, то (52) можно использовать для определения интеграла αdf даже в том случае, когда f не есть функция ограниченной вариации. Это приводит еще к одному обобщению стильтьесовского процесса интегрирования, которое мы, однако, не будем в дальнейшем рассматривать.

В следующих двух теоремах мы должны будем ограничиться вещественными функциями - так же, как и в случае теорем о среднем в теории дифференцирования.

6.31. Теорема. (Первая теорема о среднем значении.) Если f непрерывна и вещественна, а α монотонно возрастает на [а, b], то существует точка х, такая, что а≤x≤b и

(53)


Доказательство. Положим

M = sup f(t), m = inf f(t) (a≤t≤b).

Тогда


Значит, существует число λ, такое, что m≤λ≤M и


В силу теорем 4.16 и 4.23 существует точка х, принадлежащая сегменту [а, b], для которой f(x) = λ, откуда и следует (53).

Замечание. Может случиться, что точку х нельзя выбрать так, что a<x<b. Например, если


a f непрерывна, то ь


6.32. Теорема. (Вторая теорема о среднем значении.) Пусть функция f монотонна, а α - функция ограниченной вариации, вещественная и непрерывная на [а, b]. Тогда существует такая тонка х∈[а, b], что


Доказательство. Согласно теоремам 6.30 и 6.31,


при некотором х∈[а, b].

6.33. Теорема. (Замена переменной.) Пусть f и φ непрерывны на [а, b], φ строго возрастает на [а, b], а ψ-функция, обратная к φ. Тогда

(54)


[Формально (54) получается, если положить у = φ(х), х = ψ(у).]

Доказательство. Для любого разбиения Р

a = x0≤x1≤x2≤...≤xn-1≤xn = b

положим уi = φ(хi) (i = 0,...,n) и рассмотрим разбиение Q:

φ(a) = y0≤y1≤...≤yn-1≤yn≤ = φ(b).

Полагая g(y) = f(ψ(y)), получаем

(55)


В силу равномерной непрерывности функции ф на [а, b] (теорема 4.19), если μ(Р)→0, то μ(Q)→0. Таким образом, если μ(Р)→0, то обе части равенства (55) стремятся к соответствующим частям равенства (54), поскольку функция g непрерывна. Доказательство закончено.

предыдущая главасодержаниеследующая глава




ИНТЕРЕСНО:

Зачем математики ищут простые числа с миллионами знаков?

Задача построения новых оснований математики - унивалентные основания

Многомерный математический мир… в вашей голове

В школах Великобритании введут китайские учебники математики

Найдено самое длинное простое число Мерсенна, состоящее из 22 миллионов цифр

Как математик помог биологам совершить важное открытие

Математические модели помогут хирургам

Почему в математике чаще преуспевают юноши

Физики-практики откровенно не любят математику

В индийской рукописи нашли первое в истории упоминание ноля

Вавилонская глиняная табличка оказалась древнейшей «тригонометрической таблицей» в мире

Ученые рассказали о важной роли игр с пальцами в обучении детей математике
Пользовательского поиска

© Злыгостев Алексей Сергеевич, статьи, подборка материалов, оформление, разработка ПО 2001-2018
При копировании материалов проекта обязательно ставить ссылку на страницу источник:
http://mathemlib.ru/ 'MathemLib.ru: Математическая библиотека'
Рейтинг@Mail.ru