Новости    Библиотека    Энциклопедия    Биографии    Карта сайта    Ссылки    О проекте




предыдущая главасодержаниеследующая глава

Интегрирование векторнозначных функций

6.18. Определение. Пусть f1, ..., fk - вещественные функции на [а, b], и пусть f = (f1, ..., fk) - соответствующее отображение сегмента [а, b] в пространство Rk. Пусть функция α монотонно возрастает на [а, b]. Мы будем говорить, что f∈(α), если fj(α) при j = 1, ..., k. В этом случае мы, по определению, полагаем


Иными словами, f dα - это точка пространства Rk, j-я координата которой равна fjd.

Ясно, что утверждения (а), (с), (е) теоремы 6.10 верны и для этих векторнозначных интегралов; нужно просто применить прежние результаты к каждой координате. То же верно в отношении теорем 6.15 - 6.17. Для иллюстрации сформулируем аналог теоремы 6.16.

6.19. Теорема. Если f и F отображают сегмент [а, b] в пространство Rk, f∈ на [а, b] и F' = f, то


Однако аналог теоремы 6.12 (b) связан с некоторыми новыми моментами, по крайней мере в доказательстве.

6.20. Теорема. Пусть f отображает [а, b] в пространстве Rk. Если f∈(α) для какой-нибудь монотонно возрастающей на [а, b] функции α, то |f|∈(α) и

(33)


Доказательство. Если f1, ..., fk - компоненты отображения f, то

(34)


По теореме 6.11 каждая из функций f2j принадлежит множеству (α), следовательно, этому множеству принадлежит и их сумма. Поскольку x2 - непрерывная функция от х, теорема 4.17 показывает, что квадратный корень - функция, непрерывная на сегменте [0, М] при каждом вещественном М. Если мы еще раз применим теорему 6.11, то увидим, что |f|∈(α).

Чтобы доказать (33), положим y = (y1, ..., yk), где уj = fjdα. Тогда у = fdα и


В силу неравенства Шварца,

(35)


(a≤t≤b).

значит, из теоремы 6.10 (b) следует, что

(36)


Если у = 0, то неравенство (33) тривиально. Если у≠0, то, разделив (36) на |у|, мы получим (33).

предыдущая главасодержаниеследующая глава




ИНТЕРЕСНО:

Зачем математики ищут простые числа с миллионами знаков?

Задача построения новых оснований математики - унивалентные основания

Многомерный математический мир… в вашей голове

В школах Великобритании введут китайские учебники математики

Найдено самое длинное простое число Мерсенна, состоящее из 22 миллионов цифр

Как математик помог биологам совершить важное открытие

Математические модели помогут хирургам

Почему в математике чаще преуспевают юноши

Физики-практики откровенно не любят математику

В индийской рукописи нашли первое в истории упоминание ноля

Вавилонская глиняная табличка оказалась древнейшей «тригонометрической таблицей» в мире

Ученые рассказали о важной роли игр с пальцами в обучении детей математике
Пользовательского поиска

© Злыгостев Алексей Сергеевич, статьи, подборка материалов, оформление, разработка ПО 2001-2018
При копировании материалов проекта обязательно ставить ссылку на страницу источник:
http://mathemlib.ru/ 'MathemLib.ru: Математическая библиотека'
Рейтинг@Mail.ru