Новости    Библиотека    Энциклопедия    Биографии    Карта сайта    Ссылки    О проекте




предыдущая главасодержаниеследующая глава

Интегрирование и дифференцирование

В этом разделе мы все еще будем заниматься вещественными функциями. Мы покажем, что интегрирование и дифференцирование являются в некотором смысле взаимно обратными операциями.

6.15. Теорема. Пусть f∈ на [а, b]. Для а≤х≤b положим


Тогда функция F непрерывна на [а, b]*; более того, если функция f непрерывна в точке х0∈[а, b], то функция F дифференцируема в точке х0 и

F'(x0) = f(x0).

* (Функция F не определена в точке a, ибо символу не приписывалось никакого смысла (в п. 2.19 при определении сегмента как одномерной клетки сегменты вида [а, а] были исключены из рассмотрения). Для того чтобы все утверждения теоремы были верными, следует считать, что F(а) = 0.- Прим. перев.)

Доказательство. Функция f ограничена, так как f∈. Допустим, что |f(t)|≤M, если a≤t≤b. При а≤x&360;y&38804;b имеем


по теореме 6.10 (с) и (d). Мы видим, что для данного ε>0


если только |y-x|<ε/M. Этим доказана непрерывность (и более того, равномерная непрерывность) функции F.

Допустим теперь, что функция f непрерывна в точке х0. Для заданного ε>0 выберем δ>0 так, что


если |t-x0|<δ и а≤t≤b. Тогда при

x0-δ<s≤x0≤t<x0+δ и a≤s<t≤b

мы по теореме 6.10 (d) имеем


Следовательно, F'(x0) = f(x0).

6.16. Теорема. Если f∈ на [а, b] и существует дифференцируемая функция F на [а, b], такая, что F' = f, то


Эту теорему обычно называют основной теоремой интегрального исчисления. Ее постоянно применяют при вычислении интегралов.

Доказательство. Для данного разбиения Р сегмента [а, b] выберем ti (i = 1, ..., n) так, что xi-1≤ti≤xi и

F(xi)-F(xi-1)=(xi-xi-1)f(ti).

Это возможно по теореме 5.10. Тогда


а последняя сумма стремится к f(x)dx, когда μ(P)→0, по теореме 6.14 (где α(х) = х).

6.17. Теорема. Если /?М и <х'?М на [а, ], то f∈>(α) и


Эта теорема описывает одну из ситуаций, когда интеграл Стильтьеса сводится к интегралу Римана.

Доказательство. Заметим сначала, что по теореме 6.12 fα'∈. Пусть ε>0. Выберем М так, что |f|≤M. Поскольку fα'∈ и α'∈, из теоремы 6.14 (b) следует, что существуют δ1>0 и δ2>0, такие, что

(30)


если μ(P)<δ1 и xi-1≤ti̤xi и


если μ(P)<δ2 и xi-1≤ti̤xi.

Если si - другая точка, такая, что xi-1≤si̤xi, то мы имеем

(31)


когда μ(P)<δ2 и xi-1≤ti̤xi, xi-1≤si̤xi.

Выберем теперь Р так, что μ(P)<δ = min(δ1, δ1,), и пусть ti∈[xi-1, xi]. По теореме 5.10 существуют точки si∈[xi-1, xi], такие, что Δαi = α'(si)Δxi. Тогда

(32)


Согласно (30) и (31), левая часть равенства (32) отличается от fα' меньше, чем на (2M + 1)ε. Это означает, что


принимая во внимание теорему 6.14 (a), мы приходим к требуемому заключению.

предыдущая главасодержаниеследующая глава




ИНТЕРЕСНО:

Петер Шольц - самый молодым лауреат Филдсовской премии

Кашер Биркар - беженец из Ирана - стал лауреатом Филдсовской премии

Эмми Нётер — была великой женщиной и при этом величайшей женщиной-математиком

Зачем математики ищут простые числа с миллионами знаков?

Задача построения новых оснований математики - унивалентные основания

Многомерный математический мир… в вашей голове

В школах Великобритании введут китайские учебники математики

Найдено самое длинное простое число Мерсенна, состоящее из 22 миллионов цифр

Как математик помог биологам совершить важное открытие

Математические модели помогут хирургам

Почему в математике чаще преуспевают юноши

Физики-практики откровенно не любят математику

В индийской рукописи нашли первое в истории упоминание ноля

Вавилонская глиняная табличка оказалась древнейшей «тригонометрической таблицей» в мире

Ученые рассказали о важной роли игр с пальцами в обучении детей математике
Пользовательского поиска

© Злыгостев Алексей Сергеевич, статьи, подборка материалов, оформление, разработка ПО 2001-2018
При копировании материалов проекта обязательно ставить ссылку на страницу источник:
http://mathemlib.ru/ 'MathemLib.ru: Математическая библиотека'
Рейтинг@Mail.ru