Новости    Библиотека    Энциклопедия    Биографии    Карта сайта    Ссылки    О проекте




предыдущая главасодержаниеследующая глава

Интеграл как предел сумм

До сих пор мы определяли интеграл при помощи сумм U(P, f, α), L(P, f, α). Однако числа Mi, mi, появляющиеся в этих суммах, не обязательно служат значениями функции f (они действительно оказываются значениями функции f, если f непрерывна). Сейчас мы покажем, что интеграл ∫ f da можно рассматривать как предел последовательности сумм, в которых Mi и mi заменены значениями функции f. Как и выше, а монотонно возрастает, а f ограничена и вещественна на [а, b].

6.13. Определение. Пусть Р - какое-нибудь разбиение сегмента [а, b]. Выберем точки t1, ..., tn так, что xi-1≤ti≤xi (i = 1, ..., n), и рассмотрим сумму

(22)


Положим, по определению,

(23)


если для любого ε>0 существует δ>0, такое, что при μ(P)<δ имеем

(24)


Отметим, что обозначение S (Р, f, α) на самом деле неполно, так как сумма (22) зависит еще и от выбора точек ti удовлетворяющих условию xi-1≤ti≤xi. Но это не может привести ни к какому недоразумению, если мы будем помнить, что соотношение (23) означает справедливость неравенства (24) при всяком Р и всяком допустимом выборе точек ti, если только μ(P) <δ.

6.14. Теорема. (а) Если lim S(P, f, α) при μ(P)→0 существует, то f∈(α) и

(25)


(b) Если (i) f непрерывна или если (ii) f&38712;(α) и α непрерывна на [а, b], то выполняется соотношение (25).

Упражнение 4 покажет, что требование непрерывности в утверждении (b) не может быть опущено.

Доказательство. Допустим сначала, что предел в левой части равенства (25) существует и равен А. Пусть задано число ε>0.

Существует δ>0, такое, что при μ(P)<δ имеем

(26)


Выберем такое Р. Если мы заставим точки ti пробегать сегменты [xi-1,xi] и возьмем верхнюю и нижнюю грани чисел S (Р, f, α), полученных таким образом, то, принимая во внимание (26), мы придем к неравенству


По теореме 6.6 f∈(α) это завершает доказательство утверждения (а), так как


Часть (i) утверждения (b) содержится в теореме 6.8. Чтобы доказать часть (ii), допустим, что f∈(α), функция α непрерывна и ε>0. Существует разбиение Р*, такое, что

(27)

U(P*, f, α)<∫ fdα + ε/4

Положим

M = sup |f(x)| (a≤x≤b).

Поскольку функция а равномерно непрерывна на [a, b], существует δ1&362;0, обладающее следующим свойством: если Р - любое разбиение сегмента [а, b], такое, что μ(P)<δ1, то Δαi<ε/4Mn при всех i, где n - число сегментов разбиения Р*. Пусть Р - любое разбиение, такое, что μ(P)<δ1. Рассмотрим сумму U(P, f, α). Вклад в эту сумму тех сегментов разбиения Р, внутри которых содержится точка разбиения Р*, не превышает величины


В соединении с (27) это дает

(28)


при всех Р, для которых μ(P)<δ1.

Точно таким же способом мы можем показать, что существует число δ2>0, такое, что

(29)


при всех Р, для которых μ(P)<δ2.

Выбирая δ = min (δ1, δ2), мы видим, что неравенства (28) и (29) выполняются при каждом Р, таком, что μ(Р)<δ. Поскольку, очевидно,

L(P, f, α) ≤ S(P, f, α) ≤ U(P, f, α),

из (28) и (29) следует, что



а из этих двух последних неравенств видно, что


при всех Р, таких, что μ(P)<δ. Доказательство закончено.

предыдущая главасодержаниеследующая глава




ИНТЕРЕСНО:

Зачем математики ищут простые числа с миллионами знаков?

Задача построения новых оснований математики - унивалентные основания

Многомерный математический мир… в вашей голове

В школах Великобритании введут китайские учебники математики

Найдено самое длинное простое число Мерсенна, состоящее из 22 миллионов цифр

Как математик помог биологам совершить важное открытие

Математические модели помогут хирургам

Почему в математике чаще преуспевают юноши

Физики-практики откровенно не любят математику

В индийской рукописи нашли первое в истории упоминание ноля

Вавилонская глиняная табличка оказалась древнейшей «тригонометрической таблицей» в мире

Ученые рассказали о важной роли игр с пальцами в обучении детей математике
Пользовательского поиска

© Злыгостев Алексей Сергеевич, статьи, подборка материалов, оформление, разработка ПО 2001-2018
При копировании материалов проекта обязательно ставить ссылку на страницу источник:
http://mathemlib.ru/ 'MathemLib.ru: Математическая библиотека'
Рейтинг@Mail.ru